Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình ĐẠI SỐ: CHƯƠNG III: THỐNG KÊ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu. 2/ Đơn vị điều tra. 3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X ). 4/ Giá trị của dấu hiệu ( kí hiệu là x ). 5/ Dãy giá trị của dấu hiệu (số các giá trị của dấu hiệu kí hiệu là N). 6/ Tần số của giá trị (kí hiệu là n). 7/ Tần suất của một giá trị của dấu hiệu được tính theo công thức =    . Tần suất f thường được tính dưới dạng tỉ lệ phần trăm. 8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu). 9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt). 10/ Số trung bình cộng của dấu hiệu. 11/ Mốt của dấu hiệu. B. KĨ NĂNG: - Biết được dấu hiệu cần tìm hiểu của mỗi bài toán và số các giá trị là bao nhiêu? - Tìm được số các giá trị khác nhau và tần số tương ứng của chúng. - Biết lập bảng tần số, vẽ biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt và từ đó rút ra một số nhận xét. - Biết tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. C. BÀI TẬP: Bài 1: Một bạn học sinh đã ghi lại một số việc tốt (đơn vị: lần ) mà mình đạt được trong mỗi ngày học, sau đây là số liệu của 10 ngày. Ngày thứ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số việc tốt 2 1 3 3 4 5 2 3 3 1 a) Dấu hiệu mà bạn học sinh quan tâm là gì ? b) Hãy cho biết dấu hiệu đó có bao nhiêu giá trị ? c) Có bao nhiêu số các giá trị khác nhau ? Đó là những giá trị nào ? d) Hãy lập bảng “tần số”. Bài 2: Năm học vừa qua, bạn Minh ghi lại số lần đạt điểm tốt ( từ 8 trở lên ) trong từng tháng của mình như sau: Tháng 9 10 11 12 1 2 3 4 5 Số lần đạt điểm tốt 4 5 7 5 2 1 6 4 5 a) Dấu hiệu mà bạn Minh quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? b) Lập bảng “tần số” và rút ra một số nhận xét. c) Hãy vẽ biểu đồ bằng đoạn thẳng. Bài 3: Một cửa hàng bán Vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán được hàng ngày ( trong 30 ngày ) được ghi lại ở bảng sau. 20 35 15 20 25 40 25 20 30 35 30 20 35 28 30 15 30 25 25 28 20 28 30 35 20 35 40 25 40 30 a) Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 1 Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình b) Lập bảng “tần số”.Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. c) Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 4: Điểm kiểm tra Toán ( 1 tiết ) của học sinh lớp 7B được lớp trưởng ghi lại ở bảng sau: Điểm số (x) 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số (n) 1 2 6 13 8 10 2 3 N = 45 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ? b) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút ra một số nhận xét. c) Tính điểm trung bình đạt được của học sinh lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 5: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi lại như sau: 6,5 7,3 5,5 4,9 8,1 5,8 7,3 6,5 5,5 6,5 7,3 9,5 8,6 6,7 9,0 8,1 5,8 5,5 6,5 7,3 5,8 8,6 6,7 6,7 7,3 6,5 8,6 8,1 8,1 6,5 6,7 7,3 5,8 7,3 6,5 9,0 8,0 7,9 7,3 5,5 a) Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ? b) Lập bảng “tần số”. Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ? c) Tính điểm trung bình môn Toán cả năm của học sinh lớp 7A . Tìm mốt của dấu hiệu. .CHƯƠNG IV: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Khái niệm về biểu thức đại số, khái niệm về biến và cho ví dụ về biểu thức đại số. 2/ Tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của biến. 3/ Các khái niệm về đơn thức, bậc của đơn thức. Nhân hai đơn thức và viết một đơn thức thành đơn thức thu gọn. 4/ Khái niệm về đơn thức đồng dạng. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. 5/ Khái niệm về đa thức. Thu gọn một đa thức. Bậc của một đa thức. Cộng, trừ đa thức. 6/ Đa thức một biến, sắp xếp một đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do, khái niệm hằng số. 7/ Cộng, trừ đa thức một biến. 8/ Nghiệm của một đa thức. B. KĨ NĂNG: - Biết tìm bậc của một đơn thức và đa thức. - Thực hiện thành thạo phép nhân hai đơn thức, cộng, trừ các đơn thức đồng dạng, cộng, trừ đa thức. - Biết tìm nghiệm của một đa thức. C. BÀI TẬP: * Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số: Bài 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.        = −           = −          = −           = −           = − −           = K = 3 2 3 4 5 2 . . 4 5 x x y x y     −  ÷  ÷     L = ( ) 5 4 2 2 5 3 8 . . 4 9 x y xy x y     − −  ÷  ÷     Phương pháp: Bước 1: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn. Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn. Bài 2: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất. 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 15 7 8 12 11 12A x y x x y x x y x y= + − − + − 5 4 2 3 5 4 2 3 1 3 1 3 2 3 4 2 B x y xy x y x y xy x y= + + − + −                   = − + + +                 = + − − − Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 2 Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình Phương pháp: Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng. Bước 2: Xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn. * Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số : Bài 1 : Tính giá trị biểu thức a) A = 3x 3 y + 6x 2 y 2 + 3xy 3 tại 1 1 ; 2 3 x y= = − b) B = x 2 y 2 + xy + x 3 + y 3 tại x = –1; y = 3             = − − − + + tại x =0,5 và y = -1.                    = − + − + + + tại x = 0,1 và y = -2. Phương pháp : Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số. Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số. Bước 3: Tính giá trị biểu thức số. Bài 2 : Cho đa thức P(x) = x 4 + 2x 2 + 1; Q(x) = x 4 + 4x 3 + 2x 2 – 4x + 1; Tính : P(–1); P( 1 2 ); Q(–2); Q(1); * Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến Bài 1 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được . a) A = 4x 2 – 5xy + 3y 2 ; B = 3x 2 + 2xy - y 2                             = − + − + = − − + − −                         = − + − = − − + + Phương pháp : Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức. Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc. Bước 3: Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để kết hợp các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng. Bài 2 : Tìm đa thức M, biết : a. M + (5x 2 – 2xy) = 6x 2 + 9xy – y 2 b)                 − − + = − Phương pháp : a) M + ( Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu ⇒ M = ( Đa thức tổng ) - ( Đa thức đã biết ) ⇒ M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ ) c) ( Đa thức bị trừ ) – M = Đa thức hiệu ⇒ M = ( Đa thức bị trừ ) – ( Đa thức hiệu ) * Dạng 4: Cộng , trừ đa thức một biến: Bài 1: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau: a) A(x) = 3x 4 –   x 3 + 2x 2 – 3 ; B(x) = 8x 4 +   x 3 – 9x +   Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); b)                    = − + − − = − − + Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 3 Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x) c)               !       = − + − + = − + − − Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x) Phương pháp: Cách 1: - Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. - Sau đó thực hiện tương tự như các bước ở phép cộng, trừ đa thức nhiều biến. Cách 2: ( Thực hiện theo cách sắp xếp ) Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] * Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến 1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x) Phương pháp : Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó. Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức. 2. Tìm nghiệm của đa thức một biến Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau. F(x) = 3x – 6; H(x) = –5x + 30 G(x)=(x-3)(16-4x) K(x)=x 2 -81 M(x) = x 2 +7x -8 N(x)= 5x 2 +9x+4 Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức bằng 0. Bước 2: Giải bài toán tìm x. Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức. Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 * Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x 0 ) = a Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2 Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x 2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1. Phương pháp : Bước 1: Thay giá trị x = x 0 vào đa thức. Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a. Bước 3: Tính được hệ số chưa biết. HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Định lí tổng ba góc trong một tam giác. Tính chất góc ngoài của tam giác. + VABC có µ µ ·   + + =A B ACB (đ/I tổng ba góc trong một tam giác) + Tính chất của góc ngoài Acx: · µ µ = +ACx A B 2/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân. * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC ⇒ VABC cân tại A. * Tính chất: + AB = AC + µ µ µ     − = = A B C Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 4 x C B A C B A Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình + µ µ =B C + µ µ    = −A B 3/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều: * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC ⇒ VABC là tam giác đều. * Tính chất: + AB = AC = BC + µ µ µ  = = =A B C 4/ Tam giác vuông: * Định nghĩa: Tam giác ABC có µ  =A ⇒ VABC là tam giác vuông tại A. * Tính chất: + µ µ  + =B C * Định lí Pytago: VABC vuông tại A ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 * Định lí Pytago đảo: VABC có BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ VABC vuông tại A 5/ Tam giác vuông cân: * Định nghĩa: Tam giác ABC có µ  =A và AB = AC ⇒ VABC là vuông cân tại A. * Tính chất: + AB = AC = c + BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ BC = c + µ µ  = =B C 6/ Ba trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác: + Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c). VABC và VDEF có: =   =   =  AB DE AC DF BC EF ⇒ VABC = VDEF ( c-c-c) +Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c). VABC và VDEF có: µ µ =   =   =  AB DE B E BC EF ⇒ VABC = VDEF ( c-g-c) +Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g). VABC và VDEF có: µ µ µ µ  =  =   =  B E BC EF C F ⇒ VABC = VDEF ( g-c-g) 7/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. + Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông. Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 5 C B A C B A C B A D E F C B A D E F C B A D E F C B A D E F C B A Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình VABC ( µ  =A ) và VDEF ( µ  =D ) có: =   =  AB DE AC DF ⇒ VABC = VDEF ( Hai cạnh góc vuông ) + Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn. VABC ( µ  =A ) và VDEF ( µ  =D ) có: µ µ =    =   AC DF C F hoặc µ µ =    =   AB DE B E ⇒ VABC = VDEF ( Cạnh góc vuông- góc nhọn ) + Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn. VABC ( µ  =A ) và VDEF ( µ  =D ) có: µ µ =    =   BC EF C F hoặc µ µ =    =   BC EF B E ⇒ VABC = VDEF ( Cạnh huyền - góc nhọn ) + Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông. VABC ( µ  =A ) và VDEF ( µ  =D ) có: =   =  CB EF AC DF hoặc =   =  CB EF AB DE ⇒ VABC = VDEF ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông ) B. KĨ NĂNG: - Biết vận dụng các trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. - Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân. - Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán. CHƯƠNG III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Xét ABCV có µ µ µ µ B C AC AB B C AC AB  > ⇔ >   = ⇔ =   2. Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.  A d B d AH d∉ ∈ ⊥ . Khi đó AB > AH hoặc AB = AH ( điều này xảy ra B H⇔ ≡ ). Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 6 D E F C B A D E F C B A D E F C B A C B A d H B A C d H B A Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình   A d B d C d AH d∉ ∈ ∈ ⊥ . Khi đó AB AC HB HC AB AC HB HC > ⇔ >   = ⇔ =  3. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. * Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có : AB + AC > BC hoặc AB + AC = BC ( điều này xảy ra ⇔ A nằm giữa B và C ). 4. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. * Trong ABCV , ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại điểm G và   GA GB GC AD BE CF = = = * Điểm G là trọng tâm của ABCV . 5. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. * Trong ABCV , ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm I cách đều ba cạnh : IK = IL = IM * Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp ABCV . 8. Tam giác ABC cân tại A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác. 9. Tam giác ABC đều thì đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác. Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách đều ba đỉnh và ba cạnh của tam giác đều. B. KĨ NĂNG: - Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học ở chương III vào giải toán. Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau: - Cách1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v. 2. Chứng minh tam giác cân: - Cách1: Chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. - Cách 2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác … - Cách 3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v. 3. Chứng minh tam giác đều: - Cách 1: Chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau. - Cách 2: Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 60 0 . 4. Chứng minh tam giác vuông: - Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông. - Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo. - Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”. 5. Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy: - Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz. Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 7 C A B C B A G F E D C B A I K L M C B A Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình - Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy. 6. Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng). C. BÀI TẬP: Bài 1 : Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng? c) Chứng minh: · · =ABG ACG ? ( Học sinh tự làm ) Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh : ∆ ABM = ∆ ACM b) Từ M vẽ MH ⊥ AB và MK ⊥ AC. Chứng minh BH = CK c) Từ B vẽ BP ⊥ AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh ∆ IBM cân. Hướng dẫn: a) Chứng minh : ∆ ABM = ∆ ACM ( Theo trường hợp c-c-c hoặc c-g-c hoặc g-c-g ) b) Chứng minh BH = CK Chứng minh BHM CKM= V V ( Cạnh huyền – góc nhọn ) ⇒ BH = CK ( Hai cạnh tương ứng ) c) Chứng minh ∆ IBM cân. Chứng minh · · · · · ·   IMB KMC IBM IMB IBM KMC  =  =  =   Bài 3 : Cho ∆ ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH ⊥ AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : a) AB // IK b) ∆ AKI cân c) · · BAK AIK= d) ∆ AIC = ∆ AKC Hướng dẫn: a) Chứng minh AB và IK cùng vuông góc với AC. b) Xét ∆ AKI cần c/m AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao. ⇒ ∆ AKI cân tại A. hoặc c/m AHI AHK=V V ( Hai cạnh góc vuông ) ⇒ AI = AK ⇒ ∆ AKI cân tại A c) C/m · · "BAK v AIK cùng bằng với · AKI d) C/m ∆ AIC = ∆ AKC ( c-g-c) ( · ·   " #$AI AK IAC KAC AC l c chung= = ) Bài 4 : Cho ∆ ABC cân tại A ( µ 0 90A < ), vẽ BD ⊥ AC và CE ⊥ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE b) Chứng minh ∆ AED cân c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh · · ECB DKC= Hướng dẫn: a) Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE ( Cạnh huyền – góc nhọn ) b) Từ câu a ⇒ AE = AD ( hai cạnh tương ứng ) ⇒ ∆ AED cân tại A. c) Cần c/m HE = HD ( C/m nhiều cách ) ⇒ H thuộc đường trung trực của ED.(1) Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 8 I P K H M C B A H K B A I C H E D K C B A Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình Và AE = AD ( cmt ) ⇒ A thuộc đường trung trực của ED.(2) Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của ED. d) C/m · · "ECB v DKC cùng bằng với · CBD ( C/m nhiều cách ). Bài 5 : Cho ∆ ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : a) HB = CK b) · · AHB AKC= c) HK // DE d) ∆ AHE = ∆ AKD e) Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI ⊥ DE. Hướng dẫn: a) C/ m BHD CKE=V V ( Cạnh huyền – góc nhọn) · ·   BD CE HBD KCE =    =   ⇒ HB = CK ( Hai cạnh tương ứng ) b) C/m ABH ACK=V V ( c-g-c ) d) C/m ∆ AHE = ∆ AKD ( c-g-c ) ⇒ · · AHB AKC= ( Hai góc tương ứng ) c) C/ m : DH là khoảng cách từ D đến HK. EK là khoảng cách từ E đến HK Mà DH = EK ( BHD CKE=V V ở câu a ) ⇒ HK // DE ( D và E nằm cùng phía đối với HK ). Do đó: AI là đường trung trực của DE. ⇒ AI ⊥ DE. Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh: a) MA = MB b) OM là đường trung trực của AB. c) Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH? Hướng dẫn: a) C/m OAM OBM=V V ( c-g-c ) ⇒ MA = MB ( hai cạnh tương ứng ) b) C/m tương tự như câu c bài 4 hoặc áp dụng tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên cũng là đường trung trực. c) Áp dụng định lí Pytago để tính OH. Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 90 0 , vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) ∆ ABM = ∆ ECM b) EC ⊥ BC c) AC > CE Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 9 E D I K H C B A · ·    %& '  AB AC HBA KCA HB CK c =   =   =  · ·    AH AK HAE KAD AE AD =   =   =   ( )  * +, -. / 0' "  * +, -. / 0' e C m ID IE I thu trung tr c DE V AD A E Athu trung t r c DE = ⇒ = ⇒ t M A x y B O Nguyễn Bá Ngọc. Thăng Bình d) BE //AC Hướng dẫn: a) C/m ∆ ABM = ∆ ECM ( c-g-c ) b) ⇒ · · =ABC ECM ( vì ∆ ABM = ∆ ECM ờ câu a ) Mà · 0 90=ABC (gt) ⇒ · 0 90=ECM ⇒ EC ⊥ BC c) AB = EC ( . . . ) Mà AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. AC là đường xiên kẻ từ A đến BC. ⇒ AC > AB ( Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ) Do đó AC > EC d) C/m BME CMA=V V ( c-g-c ) ⇒ · · =MEB MAC và ở vị trí so le trong ⇒ BE //AC Bài 8 : Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC) a) Chứng minh BH = HC và · · BAH CAH= b) Tính độ dài BH biết AH = 4 cm. c) Kẻ HD ⊥ AB ( d ∈ AB), kẻ EH ⊥ AC (E ∈ AC).Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao? ( Học sinh tự làm ) Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. a) Chứng minh rằng VADE là tam giác cân . b) Kẻ BH ⊥ AD ( H ∈ AD ), kẻ CK ⊥ AE ( K ∈ AE ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK. c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ? d) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. e) Khi ·  =BAC và BD = CE = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác ADE và xác định dạng của tam giác IBC. ( Xem lại bài giải của bài tập 70/ sgk/ 141 tập 1 ) Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN. a) Chứng minh rằng VAMN là tam giác cân . b) Kẻ BH ⊥ AM ( H ∈ AM ), kẻ CK ⊥ AN ( K ∈ AN ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK. c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao ? d) Khi ·  =MAN và BM = MN = CN, hãy tính số đo các góc của tam giác ABC. ( Cách chứng minh và tính toán tương tự như bài 9 ) Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.Chứng minh: a) Các hình chiếu của BD và CE trên BC bằng nhau. b) BE = CD. c) =V VBMD CME d) AM là tia phân giác của góc BAC. e)  BC DE BE + > Hướng dẫn: a) Vẽ DH BC EK BC⊥ ⊥ ⇒ BH và CK là hai hình chiếu của BD và CE trên cạnh BC. C/m BDH CEK=V V ( cạnh huyền –góc nhọn ) ⇒ BH = CK b) C/m ABE ACD=V V ( c-g-c ) ⇒ BE = CD c) C/m =V VBMD CME ( g-c-g ) Cần C/m BD = CE ; · · MDB MEC= Và · · MBD MCE= ( vì ABE ACD=V V ở câu b ) d) C/m AMB AMC=V V ( c-c-c hoặc c-g-c ) ⇒ · · MAB MAC= ⇒ AM là tia phân giác của góc BAC. Thực hiện: Tổ: Toán - Lý TRANG 10 M E C B A M E D K H C B A . sau: 6,5 7, 3 5,5 4,9 8,1 5,8 7, 3 6,5 5,5 6,5 7, 3 9,5 8,6 6 ,7 9,0 8,1 5,8 5,5 6,5 7, 3 5,8 8,6 6 ,7 6 ,7 7,3 6,5 8,6 8,1 8,1 6,5 6 ,7 7,3 5,8 7, 3 6,5 9,0 8,0 7, 9 7, 3 5,5 a) Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ? b) Lập bảng. lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 5: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi lại như sau: 6,5 7, 3 5,5 4,9 8,1 5,8 7, 3 6,5 5,5 6,5 7, 3 9,5 8,6 6 ,7 9,0 8,1 5,8 5,5 6,5 7, 3 5,8 8,6 6 ,7 6 ,7 7,3 6,5 8,6 8,1 8,1 6,5 6 ,7 7,3 5,8 7, 3 6,5 9,0 8,0 7, 9 7, 3 5,5 a). nghĩa tính chất của tam giác đều: * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC ⇒ VABC là tam giác đều. * Tính chất: + AB = AC = BC + µ µ µ  = = =A B C 4/ Tam giác vuông: * Định nghĩa: Tam giác