Đang tải... (xem toàn văn)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình
Phần mở đầu Lý do chọn đề tài: Dạng toán Giải bải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình ở chơng trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trờng THCS là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh. Do đặc trng cuả loại toán này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và thờng đ- ợc kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học Hầu hết các bài toán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc mối liên quan giữa các đại lợng để lập đợc phơng trình hoặc hệ ph- ơng trình. Trong phân phối chơng trình toán ở trờng THCS thì ở lớp 8 học sinh mới đợc học khái niệm về phơng trình, nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán từ các lớp dới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn. Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn liền với nội dung thực tế. Vì vậy mà việc chọn ẩn thờng là những đại lợng có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải bài toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc trong thực tế từ những lý do dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này. Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà cha biết phân loại dạng toán, cha khai thác đợc phơng pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn , mỗi liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này. Vì thế muốn giải đợc bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của những ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập. Vì vậy khi hớng dẫn cho học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập PT, hệ PT phải dựa trên các nguyên tắc sau: + Yêu cầu về giải bài toán 1 + Quy tắc giải bài toán về cách lập phơng trình + Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng ( tăng giảm, thêm bớt ) + Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc PT, hệ PT dễ dàng. Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT vì thế tôi đã chọn đề tài Dạy giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT Trong quá trình giảng dạy tại trờng THCS tôi không ngừng học hỏi từ bạn bè đồng nghiệp, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là đợc sự hớng dẫn tận tình của Giáo s Lê Mậu Hải Giảng viên khoa Toán - Tin trờng ĐHSP Hà Nội đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. 2 Nội dung Ch ơng I Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phơng pháp nghiên cứu - Dựa vào phân phố chơng trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành về ch- ơng trình toán THCS với nội dung: Phơng trình và hệ PT - Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT * Nội dung quy tắc gồm các bớc sau: B ớc 1: Lập PT ( gồm) + Chọn ẩn ( Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn) + Biểu thị các số liệu cha biết và đã biết qua ẩn + Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập PT, hệ PT B ớc 2: Giải PT hoặc hệ PT ( Chọn cách giải cho phù hợp) B ớc 3: Nhận định kết quả và trả lời - So sánh kết quả tìm đợc với điều kiện cuả ẩn xem có phù hợp không rồi trả lời kết quả. II. Yêu cầu về giải một bài toán 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, không sai sót dù là nhỏ nhất. Muốn vậy giáo viên phải cho học sinh hiểu kỹ đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức cơ bản, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách ký hiệu ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và phù hợp với thực tế. Ví dụ 1: Bẩy năm trớc tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi ngời bao nhiêu tuổi. 3 + Phân tích đề bài: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Nên nếu tuổi con là x thì tuổi mẹ là 3x Bẩy năm về trớc tuổi mẹ là 3x 7, tuổi con là x 7 Giải: Gọi tuổi con năm nay là x Tuổi mẹ năm nay là 3x ( x * N , y * N ; x>7 tuổi) Trớc đây 7 năm tuổi con là x 7 Trớc đây 7 năm tuổi mẹ là 3x 7 Vì trớc đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có PT: 3x 7 = 5(x - 7) +4 3x 7 = 5x 35 +4 3x 5x = - 35 + 4 + 7 - 2x = -24 x = 12 ( TMĐK) Vậy năm nay tuổi con là 12 tuổi và tuổi mẹ là 36 tuổi 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bớc phải có Loogic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình, từ đó tìm đợc các giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn hay không. Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải. Ví dụ 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5m. Tính chu vi của mảnh đất đó. Biết diện tích của mảnh đất là 500m 2 *Phân tích đề bài: Nếu chiều dài cuả mảnh đất HCN là x (m) chiều rộng là x 5 (m) 4 Khi đó diện tích của mảnh đất HCN là x (x - 5)(m 2 ) * Giải: Gọi chiều dài mảnh đất HCN là x ( 0<x<500; m) Chiều rộng của mảnh đất HCN là 500m 2 nên ta có a = 1 x.(x-5) = 500 b = 5 x 2 5x 500 = 0 b = - 500 = b 2 4ac = (-5) 2 4.1.(-500) = 25 +2000 2025 = 2025 PT có hai nghiệm phân biệt = 2025 = 45 x 1 = a b 2 + = 2 455 + = 25 (T/m ĐK) Vậy chiều dài của mảnh đất HCN là 25(m) Chiều rộng của mảnh đất HCN là 25 5 = 20(m) Chu vi mảnh đất HCN là: ( 20 +25).2 = 90(m) Chú ý: ở bài toán này giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh loại nghiệm x = -10. Chỉ lấy nghiệm x = 25 3. Yêu cầu 3: Lời giải phải giải thích đầy đủ mang tính toán diện. Hớng dẫn học sinh không đ- ợc bỏ sót khả năng, chi tiết nào, không thừa, không thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ cha. Kết quả cảu bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách cha. Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào trờng hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng Ví dụ 3: Một cạnh của tam giác có chiều cao bằng 4 3 cạnh đáy nếu chiều cao tăng thêm 3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam, giác đó bằng 9/10 diện tích tam giác ban đầu. Tính chiều cao và diện tích của tam giác ban đầu. * Phân tích đề bài 5 Dù chiêu cao và cạnh đáy cuả tam giác thay đổi nhng diện tích cuả tam giác vẫn đợc tính theo công thức. s = Cạnh đáy x chiều cao 2 Giải: Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là x ( x>5 ; cm) Chiều cao của tam giác ban đầu là 4 3 x (cm) Diện tích tam giác ban đầu là ( xx 4 3 . ) : 2 = 2 8 3 x Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là 3 4 3 + x (cm) Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì đáy mới là x 5 (cm) Diện tích cuả tam giác mới là ( ) 2:53 4 3 + xx ( cm 2 ) Theo đầu bài ta có PT: ( ) 2:53 4 3 + xx = 2 8 3 10 9 x x 2 10x 200 = 0 a = 1 b = -10 b = -5 c = - 200 ' = b 2 ac ' = (-5) 2 1(-200) = 25 + 200 225 ' = 225>0 PT có 2 n 0 phân biệt ' = 225 = 15 x 1 = a b '' + = 1 155 + = 20 (T/m đk) x 2 = a b '' = 1 205 = -15 ( loại) Vậy cạnh đáy của tam giác ban đầu là 20 cm Chiều cao của tam giác ban đầu là 4 3 .20 = 15 (cm) 4. Yêu cầu 4: 6 Lời giải bài toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thức trình độ của học sinh, đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng đợc Ví dụ 4: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác đợc 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác đợc 57 tấn than do đó đội đã hoàn thành kế hoạch trớc một ngày và còn vợt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than. Giải: Gọi x là số tấn than mà đội phải khai thác theo kế hoạch ( x nguyên, dơng) Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là 50 x Thực tế đội khai thác đợc x + 13 ( tấn) Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là 57 13 + x Theo đầu bài ta có PT: 1 5057 13 = + xx (x+ 13)50 = x57- 2850 50x + 650 = x57 2850 7x = 3500 x = 500 ( T/m) Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bầy khoa học, mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc, nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trớc. Ví dụ 5: 7 Chiều cao của một tam giác vuông là 2,4m. Chia cạnh huyền làm hai loại hơn kém nhau là 1,4m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. A * Phân tích đề bài: Xét tam giác ABC vuông tại A. Giải sử AC>AB CH> BH. Và AH 2 = BH.CH ( theo hệ thức lợng ) Giải: Gọi độ dài BH là x ( x>0; m) Độ dài CH là x+ 1,4 (m) Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: AH 2 = HB. HC 2,4 2 = x ( x+ 1,4) x 2 + 1,4x 5,76 = 0 = ( 1,4) 2 4.1. ( - 5,76) = 1,96 + 23,04 = 25 = 5 >0 x 1 = 2 54,1 + = 1,8 x 2 = 2 54,1 = -3,2 ( loại) Vậy BH = 1,8m CH = 1,8 + 1,4 = 3,2m BC = 1,8 + 3,2 = 5(m) 6. Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bớc lập luận không đợc chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần phải thử lại kế quả và tìm các n 0 của bài toán, tránh bỏ sót n 0 đặc biệt là PT bậc 2, hệ PT Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25m, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35m. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Giải: 8 B C H Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là x,y (0<x<35 ; 0<y<35,m) Vì tổng độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác là 35 nên ta có: x+ y = 35 (1) Mặt khác theo định lý pitago áp dụng vào tam giác đã cho ta có: x 2 + y 2 = 25 2 = 625 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT: x + y = 35 x + y = 35 x 2 + y 2 = 625 x.y = 300 x,y là nghiệm của hệ PT: t 2 35t + 300 = 0 Giải ra ta đợc t 1 = 20; t 2 = 15 ( T/m đk) Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là 15 và 20 Chú ý: ở bài toán này khi tìm ra hai kết quả là 15 và 20, học sinh sẽ lúng túng chọn 1 hay hai đáp số: ( x = 15; y = 20) hoặc ( x = 20; y = 15) Thực tế hai tam giác vuông này đều là một,. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo điều kiện thì các nghiệm tìm đợc đều hợp lý. Ch ơng II 9 Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình , hệ phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán. I. Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT Trong chơng trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT có thể phân loại nh sau: 1. Loại toán về chuyển động 2. Loại toán có liên quan đến số học 3. Loại toán về năng suất lao động 4. Loại toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng 5. Loại toán về tỷ lệ chia phần ( thêm bớt, tăng, giảm .) 6. Loại toán có liên quan đến hình học 7. Loại toán liên quan đến vật lý hóa học 8. Loại toán về xác định các hệ số cuả một đa thức 9. Dạng toán có cha tham số 10. Một số bài toán khác. II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT 1. Phần giai đoạn: - Với bài toán bậc nhất một ẩn: Là dạng bài toán sau đây khi xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng ax+ b = 0 ( a 0). - Với bài toán bằng cách lập phơng trình bậc 2 là bài toán sau khi xây dựng ph- ơng trình biến đổi tơng đơng về dạng ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) - Với bài toán giải toán bằng hệ PT bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến đổi tơng đơng về dạng nguyên ( nh mẫu số ) có dạng : ax + by = c (Trong đó a; a; b; b không đồng thời bằng 0) a x + b y = c Để đảm bảo 6 yêu cầu về bái toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT thì bài taosn có thể chai thành các giai đoạn nh sau: 10 [...]... nh: Chọn ẩn, phân tích bài toán, biểu diễn các đại lợng, lập PT * Kỹ năng: Vận dụng giải một số dạng toán bậc nhất, toán chuyển động, toán năng suất, toán quan hệ số * Thái độ tích cực làm việc dới sự hớng dẫn cuả giáo viên, hợp tác trong nhóm II Chuẩn bị * Đối với giáo viên: Máy chiếu, bút d , phiếu học tập * Đối với học sinh: Bút d , ôn tập cách giải bài toán bằng cách lập PT III Tiến trình lên lớp:... các em là giải PT hệ PT nh thế nào mà chủ yếu gợi ý cho các em xây dựng đợc PT, hoặc hệ PT từ các bài toán thực tế để từ đó giúp các em dễ dàng hơn trong việc nhận dạng và giải bài toán thực tế bằng cách lập PT hoặc hệ PT Chơng V Phần dạy thực nghiệm Tiết 51: Giải bài toán bằng các lập PT ( tiếp) I Mục tiêu: * Kiến thức: - Củng cố các bớc giải bài toàn bằng cách lập PT, chú ý đi sâu ở bớc lập PT - Cụ... cách giải, phần này thờng mở rộng cho học sinh kh , giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bài toán khác, ta có thể - Giữ nguyên ẩn s , thay đổi các yếu tố khác - Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển t duy học sinh - Giải bài toán bằng cách khác, Tìm cách giải hay nhất 11 Chơng III Những loại bài toán và hớng dẫn học sinh giải bài toán I Dạng toán. .. đề bài, phân tích hét giải thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập PT Tức là chọn ẩn nh thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn Giai đoạn 3: Lập phơng trình dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình. .. 11x + 11y = 99 Giải hệ ta đợc x = 1; y = 8 ( TMĐK) 3 Bài toán 3: Tìm hai số biết tổng là 17 và bình phơng cuả hai số đó là 157 * Phân tích đề bài Bài toán có thể giải bằng cách lập Pt và hệ PT Cách 1 2 Quá trình Cha bình phơng Bình phơng Cha bình phơng Bình phơng x x2 x x2 (17 x) (17 - x)2 Y y2 Giải Cách 1: Gọi số thứ I là x số thứ 2 là 17 x 16 X2 + ( 17 - x)2 = 157 x + y = 17 Theo đầu bài ta có PT:... THCS Mỗi dạng toán đều có các đặc điểm khác nhau và còn có thể chia thành các dạng nhỏ trong mỗi dạng Nhng chúng đều chung cơ sở là các bớc giải của Giải bài toán bằng cách lập PT 32 ở mỗi dạng tôi đều chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu và hớng dẫn các em việc xây dựng PT theo 3 loại + Bài toán đa về PT bậc nhất 1 ẩn + Bài toán đa về PT bậc nhất 2 ẩn + Bài toán đa về hệ PT Với các... trình ở dạng đã biết, đã giải đợc Giai đoạn 4: Giải PT phải vận dụng các kỹ thuật giải PT đã biết để tìm nghiệm cuả PT Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của PT, để xác định lời giải của bài toán, tức là xét nghiệm cuả PT với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm ( sau khi đã thử lại) Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách. .. việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập PT ở đây mới chỉ nêu cách giải đại điện cho các dạng PT bậc nhất, bậc 2 Trong các bài toán về chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lơng vận tốc, quãng đờng và thời gian Thông thờng một trong 3 đại lợng đó đợc chọn là ẩn số Một đại lợng đã đợc xác định là phải biểu thị đại lợng còn lại theo ẩn dựa vào mỗi liên hệ trong bài toán. .. triệu dân) Theo đầu bài ta có PT: 1,8 % x + 2%y 0,0 01 = 0,0 384 Từ (1); (2) ta có hệ PT: (2) (1) 1,8 %x + 2%y 0,0 01 = 0,0 384 Giải hệ ta đợc x+y=2 (2) x = 0,3 y = 1,7 ( TMĐK) Vậy số dân đầu năm 2002 cuả tỉnh đó ở vùng thành thị là 300.000 ngời Số dân tăng là: 1,8 % 300000 = 5700 ( ngời) Vậy số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là: 300.000 + 5.400 = 305.400 ngời * Tóm lại: Với dạng toán này học sinh... là Theo đầu bài ta có hệ PT: (cm3) y 7 (cm3) x + y = 124 10 x y + 89 7 = 15 Giải hệ PT ta đợc x = 89; y = 35 ( TMĐK) Vậy trong hợp kim có 89g đồng và 35g kẽm * Tóm lại: Đối với dạng toán có liên quan đến Vật l , hóa học học sinh cần nắm vững kiến thức vật l , hóa học Từ đó có thể áp dụng để thiếp lập các PT theo yêu cầu cuả đề bài VIII Dạng toán về xác định các hệ số của một đa thức 1 Bài toán 1: Xác . toán: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình , hệ phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán. I. Phân loại dạng toán: Giải bài toán bằng cách lập. giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT vì thế tôi đã chọn đề tài Dạy giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT Trong quá trình giảng dạy