1 GIỚI THIỆU Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về bất phương trình chứa căn: Bµi 1. (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:   22 x 3x 2x 3x 2 0, x .     Bµi 2. (Đề thi đại học  Khối B năm 2012): Giải bất phương trình: 2 x 1 x 4x 1 3 x, (x ).      Bµi 3. (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4, x .      Bµi 4. (Đề thi đại học  Khối A năm 2010): Giải bất phương trình:   2 xx 1, x . 1 2 x x 1      ĐỊNH HƯỚNG Nhận thấy: 1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai. 2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai. 3. Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau. 4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn. Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình).  Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải.  Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập. 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI VÝ dô 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:   22 x 3x 2x 3x 2 0, x .     BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau: f(x). g(x) 0 , với f(x) và g(x) có nghĩa g(x) 0 . g(x) 0 f(x) 0             .  Giải Bất phương trình tương đương với: 2 2 2 2x 3x 2 0 2x 3x 2 0 x 3x 0                  1 x 2 x 2 x2 x 1/2 x3 x0                               x3 x 2 . x 1/ 2         Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là     1 ; 2 3; . 2          HOẠT ĐỘNG 1: Giải bất phương trình: a. (x 1) 2x 1 3(x 1), x .     2 b. (x 1) (x 1) 3x x 1 0, x .       DẠNG CƠ BẢN 1 Với bất phương trình f(x) g(x) ta có phép biến đổi tương đương:         2 f(x) 0 g(x) 0 . f(x) g (x) (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*). VÝ dô 2: Giải bất phương trình: 2 x 1 2(x 1), x .    hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 3 ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giải được.  Giải Bất phương trình tương đương với: 2 22 2(x 1) 0 x 1 0 2(x 1) (x 1)           2 x1 x1 x 2x 3 0            x1 x1 1 x 3            x1 . 1 x 3       Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3]  {1}. HOẠT ĐỘNG 2: Giải các bất phương trình: 2 a. x 3x 10 x 2, x .     2 b. x 2x 15 x 3, x .     VÝ dô 3: Giải bất phương trình:     22 x 3 3x 1, x . ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương  Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác:  Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x 0 )h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:  Nhận xét rằng x 0 = 1 là nghiệm của bất phương trình.  Biến đổi bất phương trình về dạng:     22 x 3 2 3x 3        2 2 2 x 3 4 3 x 1 x 3 2         2 2 1 (x 1) 3 0. x 3 2  Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với    2 t x 3, t 3.  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Với điều kiện 3x 2  1  0 tức 1 x, 3  ta biến đổi phương trình về dạng:      2 22 x 3 3x 1     42 9x 7x 2 0        22 x 1 9x 2 0 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 4    2 x 1 0 x 1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +). Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:     22 x 3 2 3x 3        2 2 2 x 3 4 3 x 1 x 3 2         2 2 1 (x 1) 3 0. x 3 2 (*) Nhận xét rằng:   2 11 2 x 3 2     2 1 30 x 3 2 nên (*) được biến đổi về dạng:  2 x 1 0 x 1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +). Cách 3: Đặt    2 t x 3, t 3. Suy ra x 2 = t 2  3. Bất phương trình có dạng: t  3(t 2  3)  1  3t 2  t  10  0  (3t + 5)(t  2)  0     t3 t 2 0    2 x 3 2  x 2 + 3  4  x 2  1 x 1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +). HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình:     22 a. x 8 4x 1, x R.    b. x 1 5 x, x . VÝ dô 4: Giải bất phương trình:     3 1 x x 5, x . ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc ba  Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:  Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x 0 )h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:  Nhận xét rằng x 0 = 2 thoả mãn VT = VP.  Biến đổi bất phương trình về dạng: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 5     3 1 x 3 x 2      3 3 1 x 9 x2 1 x 3       3 3 x8 x 2 0 1 x 3          2 3 x x 1 (x 2) 1 0 1 x 3  Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x  1 nhận xét:  VP là hàm đồng biến.  VT là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với:           3 32 1 x 0 x 5 0 1 x (x 5)              3 32 x1 x 5 0 x x 10x 24 0              2 x1 x5 (x 2)(x x 12) 0           x1 x5 x 2 0           x1 x5 x2  2  x  1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]. Cách 2: Với điều kiện 1  x 3  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:     3 1 x 3 x 2      3 3 1 x 9 x2 1 x 3       3 3 x8 x 2 0 1 x 3          2 3 x x 1 (x 2) 1 0 1 x 3  x + 2  0  x  2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]. Cách 3: Với điều kiện x  1 nhận xét:  VP là hàm đồng biến.  VT là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]. hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 6  Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một trong các cách: Cách 1: Biến đổi tương đương. Lưu ý cách nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x 0 )h(x) bằng phép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay. Cách 2: Đặt ẩn phụ. Một hoặc nhiều ẩn phụ. Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số. Sử dụng đạo hàm. Cách 4: Đánhgiá. HOẠT ĐỘNG 4: Giải các bất phương trình:     3 a. x 3 3x 1, x .    b. x 2 3x 4, x . VÝ dô 5: Với a > 0, giải bất phương trình:     22 x a x a, x . ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với: x = a.cost, t  [0; ].  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng: 22 xa   ax            222 22 )xa(xa 0xa 0xa             0x ax axa       0xa ax Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a Cách 2: Điều kiện a  x  a. Đặt x = a.cost, với t  [0, ]  22 xa  = a.sint. Khi đó, bất phương trình có dạng: a.cost + a.sint  a  cost + sint  1  cos(t 4  )  2 1 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 7          0t t 2       1tcos 0tcos1       atcos.a 0tcos.aa       ax 0xa . Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a. HOẠT ĐỘNG 5: Giải bất phương trình: 2 22 22 2a x a x , x . xa      DẠNG CƠ BẢN 2 Với bất phương trình f(x) g(x) ta có phép biến đổi tương đương:      f(x) 0 (I) : g(x) 0 hoặc      2 g(x) 0 (II) : f(x) g (x). (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*). VÝ dô 6: Giải bất phương trình:    2x 1 1 x, x . ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:  Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x 0 )h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:  Nhận xét rằng x 0 = 0 thoả mãn VT = VP.  Biến đổi bất phương trình về dạng:      2x 1 1 x 0      2x 1 1 x0 2x 1 1        2 x 1 0 2x 1 1  Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:  VT là hàm đồng biến.  VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Bất phương trình tương đương với: hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 8 2x 1 0 (I): 1 x 0      hoặc   2 1 x 0 (II): . 2x 1 1 x          Ta lần lượt:  Giải (I) ta được: 1 x 2 x1         x > 1. (1)  Giải (II) ta được:      2 x1 x 4x 0       x1 0 x 4   0 x 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +). Cách 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức 1 x 2  , ta biến đổi bất phương trình về dạng:      2x 1 1 x 0      2x 1 1 x0 2x 1 1        2 x 1 0 2x 1 1 x 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +). Cách 3: Điều kiện 2x + 1  0 tức 1 x. 2  Đặt   t 2x 1, (t 0) . Suy ra 2 t1 x. 2   Bất phương trình có dạng: 2 t1 t1 2    t 2 + 2t  3 > 0       t1 t 3 (loai)   2x 1 1  2x + 1 > 1  x > 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +). Cách 4: Nhận xét rằng:  VT là hàm đồng biến.  VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +). HOẠT ĐỘNG 6: Giải bất phương trình:    x 2 4 x, x . hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 9 VÝ dô 7: Giải bất phương trình: 11 x x , x . 42     ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Giải được bằng phương pháp chia khoảng.  Giải Bất phương trình tương đương với: 1 (I) : x 0 2  hoặc 2 1 x0 2 (II): . 11 x x (*) 42               Giải (I) ta được 1 x. 2  (1) Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):  Với 1 x0 4  tức 1 x 4  thì: 2 11 xx 42        x 2 + 2x  0  2  x  0, thoả mãn.  Với 1 x0 4  tức 1 x 4  thì: 2 11 xx 42       2 1 x0 2    , vô nghiệm Suy ra, nghiệm của (*) là 2  x  0. Và hệ (II) có dạng: 1 x 2 2 x 0          1 x 0. 2     (2) Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0]. HOẠT ĐỘNG 7: Giải bất phương trình: 1 x 1 x , x . 4     hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 10 VÝ dô 8: Giải bất phương trình:       22 x 3x 6 3x 9x 8, x . ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Nếu sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn  Để giải được bất phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:  Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với     2 t x 3x 6, t 0.  Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x 0 )h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:  Nhận xét rằng x 0 = 1 là nghiệm của phương trình.  Biến đổi phương trình về dạng:       22 x 3x 6 2 3x 9x 6           2 2 2 x 3x 6 4 3(x 3x 2) x 3x 6 2            2 2 1 (x 3x 2) 3 0 x 3x 6 2  Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:         22 x 3x 6 3 x 3x 6 10. Đặt     2 t x 3x 6, (t 0) ta được:  2 t 3t 10     2 3t t 10 0     5 t2 3 t2     2 x 3x 6 2     2 x 3x 2 0  1  x  2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2]. Cách 2: Ta có biến đổi:       22 x 3x 6 2 3x 9x 6           2 2 2 x 3x 6 4 3(x 3x 2) x 3x 6 2            2 2 1 (x 3x 2) 3 0. x 3x 6 2 (*) Nhận xét rằng:     2 11 2 x 3x 6 2       2 1 30 x 3x 6 2 [...]... 2  Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0 HOẠT ĐỘNG 12: Giải bất phương trình: x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x  4 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI VÝ dô 13: Giải bất phương trình: x  9  5  2x  4, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Dễ thấy chưa thể sử dụng ngay phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần biến đổi: x  9  2x  4  5 Tới đây, ta sẽ nhận được bất phương trình dạng...  a 2  a Vậy, bất phương trình có nghiệm  x  a 2 HOẠT ĐỘNG 18: Giải bất phương trình: a 3 x  2 x 1  x  2 x 1  , x  2 b x  x 2  1  x  x 2  1  2, x  3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN CÓ BẬC KHÁC NHAU VÝ dô 19: Giải bất phương trình: x  1  3 x 1, x  (1) ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Trước tiên, đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Từ đây, bằng phép khai phương ta thấy... x   1  2 Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (0; +) HOẠT ĐỘNG 10: Giải bất phương trình: 2x 2  x  21, x  (3  9  2x )2 VÝ dô 11: Giải bất phương trình: x+ 2x x2  4 >3 5 (1) ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình  Giải Điều... 0, x  4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI VÝ dô 20: (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x 1  x 1  2x  4, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là bất phương trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng f (x) > g(x) + h(x) , do đó các bước thực hiện bao gồm: B-íc 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình (*)... là nghiệm bất phương trình Trường hợp 2: Với x  1 thì: (1)  (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x)  2 (1  x)(4  x) Với x = 1, bất phương trình nghiệm đúng Với x < 1, bất phương trình có dạng:  2 x  3 x  2 4  x  2  x  4  x  4  x  3 x Nhận xét rằng với x < 1 thì VT < 0 và VP > 0, phương trình vô nghiệm Vậy, bất phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x  4 HOẠT ĐỘNG 21: Giải bất phương trình: 2... nghiệm của bất phương trình là: (;  20 )  ( 5 ; 5 )  ( 20 ; +) HOẠT ĐỘNG 11: Giải bất phương trình: x 35 x  , x x 2  1 12 VÝ dô 12: Giải bất phương trình: x21  2x x 2  2x ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Bất phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản f(x)  g(x) thành h(x) f(x)  g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Nhận... dạng:  x2  3x  2  0  1  x  2 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2] HOẠT ĐỘNG 8: Giải bất phương trình: x2  3x  5  2x2  6x  5, x  VÝ dô 9: Giải bất phương trình: 2x  2x  2, x  2x  1  1 ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phương trình về dạng cơ bản  Giải Điều kiện: 2 x  1  0 1... x  Giải bất phương trình: x  2  x 2  5  3, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Bất phương trình chứa hai căn bậc hai với lõi là các hàm số bậc hai Nên không thể sử dụng phương pháp bình phương Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x0" rồi chuyển về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:  Nhận xét rằng x0 = 3 thoả mãn VT = VP  Biến đổi bất phương trình về dạng:... 2  1 Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là 0;    4;     4 HOẠT ĐỘNG 15: Giải bất phương trình: 5 1 5 x  2x  , x 2x 2 x VÝ dô 16: Giải bất phương trình: 2x 2  6x  8  x  x  2, x  ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Biến đổi bất phương trình về dạng: 2(x  2)2  2x  x2 + x Sử dụng hai ẩn phụ:  u  x  0  v  x  2   Giải Điều kiện x  0 Biến đổi bất phương trình về dạng:... hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [ , Cách 2: Trục căn thức, ta biến đổi bất phương trình về dạng: (3 + 9  2x )2 < 2(x + 21)  9  2x < 4  x < 7 2 Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [ , Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t = 9  2x , 0  t  3 suy ra 2x = t29  x = 1 2 (t 9) 2 Khi đó bất phương trình có dạng: 35 hoctoancapba.com . Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0. HOẠT ĐỘNG 12: Giải bất phương trình: x 2 + 4x  (x + 4) 2 x 2x 4 . 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI VÝ dô 13: Giải bất phương trình: . Giải bất phương trình:   2 xx 1, x . 1 2 x x 1      ĐỊNH HƯỚNG Nhận thấy: 1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai. 2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn. Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau. 4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn. Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức,