TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ BÀI T P V NHÀẬ Ề B T Đ NG TH C VÀ MIN, MAX.Ấ Ẳ Ứ Bài 1 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ CMR: 3 2 2 2 4 + + ≤ + + + + + + x y z x y z x y z x y z Bài 2 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: xyz=1ố ươ CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Bài 3 : Cho 3 s không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.ố CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Bài 4 : Cho 3 s d ng tùy ý a,b,c:ố ươ Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +     Bài 5 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ Tìm Min c a: ủ 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +             Bài 6 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn đi u ki n: ố ươ ề ệ xyz=1. Ch ng minh r ng:ứ ằ 2 2 2 3 3 3 1 x y z P x y y z y z z x z x x y = + + ≥ + + + + + + Bài 7 : Cho 3 s th c a,b,c tùy ý. Ch ng minh r ng:ố ự ứ ằ 2 2 2 2 2 2 (*) 1 . 1 1 . 1 1 . 1 a c a b b c a c a b b c − − − ≤ + + + + + + + Bài 8 : Cho 4 s th c a,b,c,d thõa mãn: ố ự a 2 +b 2 =1; c – d =3. Ch ng minh:ứ 9 6 2 4 F ac bd cd + = + − ≤ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ườ ủ ọ ệ 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ Bài 9 : Cho: 0;a c b c ≥ ≥ ≥ Ch ng minh:ứ ( ) ( )c a c c b c ab − + − ≤ Bài 10 : Cho x,y,z thu c kho ng (0;1) thõa mãn đi u ki n: xy + yz + zx = 1. Tìm Min c a:ộ ả ề ệ ủ 2 2 2 1 1 1 x y z P x y z = + + − − − Bài 11: Cho x, y, z >1 và tho mãn đi u ki nả ề ệ : xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).ị ớ ấ ủ ể ứ Bài 12. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x y x x − + + − − = + − − + Bài 13. Cho 4 s b t kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR: ố ấ 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 52 2 2 4 8 20 4 5a a b b a c b d ac bd c d c d − + − + + + + + − − + + − + + ≥ Bài 14: Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: ố ươ 3 -x + 3 -y + 3 -z =1. CMR: 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 x y z x y z x y z y z x z x y + + + + + + + ≥ + + + Bài 15: Tìm Min c a: ủ 2 2 2 x y z H y z z x x y = + + + + + Trong đó: 2 2 2 2 2 2 , , 0 2010 x y z x y y z z x >    + + + + + =   Bài 16 : Tìm Min, Max c a:ủ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + Bài 17 : Cho 3 s th c thõa mãn: xố ự 2 + y 2 + z 2 =1. Page 2 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ Tìm Min, Max c a: ủ ( ) ( )P x y z xy yz zx = + + − + + Bài 18 : Cho 2 s d ng x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min c a: ố ươ ủ 4 1 4 A x y = + Bài 19 : CMR: V i m i tam giác ABC ta luôn có:ớ ọ 1 os 1 os 1 os 2 2 2 3 3 A A A c c c A A A + + + + + > Bài 20 : Cho 2 s không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c a: ố ủ 1 1 x y S y x = + + + ………………….H t…………………ế BT Viên môn Toán hocmai.vn Tr nh Hào Quangị Page 3 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ HDG Đ LUY N T P S 08Ề Ệ Ậ Ố Ki n th c v B t đ ng th c và tìm Min, Max đôi khi còn xa l v i nhi u b n. Khiế ứ ề ấ ẳ ứ ạ ớ ề ạ đ ng đ n ph n này các b n th ng th y r t ng i làm. K c vi c đ c m t bài gi i c aụ ế ầ ạ ườ ấ ấ ạ ể ả ệ ọ ộ ả ủ ai đó các b n luôn đ t ra các câu h i: Vì sao l i tách nh th mà không tách ki u khác?ạ ặ ỏ ạ ư ế ể Sao mình ch ng minh BĐT nó l i có chi u quay l i…Đây là ki n th c đã làm quen tứ ạ ề ạ ế ứ ừ c p II, trong quá trình h c các b n ph i rèn luy n nhi u, tham kh o nhi u bài gi i hay,ấ ọ ạ ả ệ ề ả ề ả nhi u th thu t bi n đ i thì m i t m yên tâm đ c. Tôi có đôi đi u nh v y. Mong cácề ủ ậ ế ổ ớ ạ ượ ề ư ậ b n ôn t p th t t t!ạ ậ ậ ố Bài 1 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ CMR: 3 2 2 2 4 + + ≤ + + + + + + x x x x y z x y z x y z Gi i:ả Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 4 1 2 4 1 1 3 2 4 4 4 1 2 4 x y z x y x z x y x z x x x x y z x y x z y y y x y y z x z VT x y z x y y z x y y z x z z z z x y z x z y z   = ≤ +   + + + + + + +      ≤ +    + + + +         + + +  ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =      + + + + + + +          =≤ +   + + + +     D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=zấ ả ỉ Bài 2 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn: xyz=1ố ươ CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Gi i:ả Ta có: Page 4 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ 2 2 3 2 1 1 4 9 3 1 3 ( ) 3( ) 3 3 ( ) 1 4 4 4 4 2 1 1 4 x y x y xyz y z x y z x y z y VT x y z z z x z x  + + ≥  +   − + + + + + + −  + ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =  +   + + ≥  +   D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=1ấ ả ỉ Bài 3 : Cho 3 s không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.ố CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Gi i:ả Đ t: ặ ( ) 1 1 1 1 3 6 6 6 6 (1) 1 18 4 , , 0 4 à : 2 2 2 3 3 (1) 1 4 ó : 2 1 1 3 2 3. 3. 3 3. 3 3 x y z a a b c b V a b c abc c Ta c a a a a a VT a b c abc  = >   = ⇒ + + + + + ≥   =   =    + = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +     ≥ = D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=0ấ ả ỉ Bài 4 : Cho 3 s d ng tùy ý a,b,c:ố ươ Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +     Gi i:ả Page 5 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2 ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 6 1 1 à 2 6 6 12 12 a b c A a b b c c a b c a V a b ab a b ab a b b c c a ab bc ca abc a b c V A abc Min A b c a abc abc   = + + + + + + + +     + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ + + ≥     + + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =         D u “=” x y ra khi và ch khi a=b=c=1.ấ ả ỉ Bài 5 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ Tìm Min c a: ủ 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +             Gi i:ả Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 ì : 3 ( ) à 1 . 2 2 2 ( ) 3 1 9 9 3 ( ) . . 2 2 2 ( ) x y z x y z x y z x y z P x y z xyz xyz xyz xyz xyz V x y z xyz V xyz xyz xyz xyz P xyz MinP xyz   + + + + + + = + + + = + = + + +       + + ≥ + = + + ≥     ⇒ ≥ = ⇒ = D u “=” x y ra khi và ch khi x=y=z=1ấ ả ỉ Bài 6 : Cho 3 s d ng x,y,z thõa mãn đi u ki n: ố ươ ề ệ xyz=1. Ch ng minh r ng:ứ ằ 2 2 2 3 3 3 1 x y z P x y y z y z z x z x x y = + + ≥ + + + + + + Gi i:ả Page 6 of 15 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ì : à : 0 2 . x x V x y y z x xy y x y x y y z z x M x y x xy y x xy y y yz z z zx x x y z y z x x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x x y y z z x P x xy y y yz z z zx x V = + + + + − − − − = − ⇒ + + = + + + + + + + + ⇔ + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + ⇔ = + + + + + + + + 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 1 ì : ( ) . à : 3 2 2 ( ) 2 2 1. 3 3 x y x xy y x xy y x y m x xy y x xy y x xy y x y x y P x y z xyz P x xy y + − + − + = + ≥ + + + + + + + + ⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥ + + Bài 7 : Cho 3 s th c a,b,c tùy ý. Ch ng minh r ng:ố ự ứ ằ 2 2 2 2 2 2 (*) 1 . 1 1 . 1 1 . 1 a c a b b c a c a b b c − − − ≤ + + + + + + + Gi i:ả Đ t:ặ [ ] tan tan (*) sin( ) sin( ) sin( ) tan ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( ) sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( ) a b c V c c c c α β α β β γ α γ γ α γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ =   = ⇒ ⇔ − + − ≥ −   =  − = − + − = − − + − − ≤ − − + − − ≤ − + −  Đi u ph i ch ng minh. ề ả ứ Bài 8 : Cho 4 s th c a,b,c,d thõa mãn: ố ự a 2 +b 2 =1; c – d =3. Ch ng minh:ứ 9 6 2 4 F ac bd cd + = + − ≤ Gi i:ả G i: ọ Page 7 of 15 . Tel: ạ (094)-2222-408 Hà N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ BÀI T P V NHÀẬ Ề B T Đ NG TH C VÀ MIN, MAX. Ấ Ẳ Ứ Bài 1 : Cho 3 s d ng tùy ý x,y,z.ố ươ CMR: 3 2 2 2 4 + + ≤ + + + + + + x y z x y. N i, ngày 12 tháng 06 năm 2010ộ HDG Đ LUY N T P S 08Ề Ệ Ậ Ố Ki n th c v B t đ ng th c và tìm Min, Max đôi khi còn xa l v i nhi u b n. Khiế ứ ề ấ ẳ ứ ạ ớ ề ạ đ ng đ n ph n này các b n th ng. + Trong đó: 2 2 2 2 2 2 , , 0 2010 x y z x y y z z x >    + + + + + =   Bài 16 : Tìm Min, Max c a:ủ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + Bài 17 : Cho 3 s th c thõa mãn: xố