GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 1 Đề 1: NGUYỄN GIA THIỀU 2000 – 2001 Bài 1: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 333 3a b c abc++− . 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 A xyxyxy = −− + ++. 3) Giải phương trình: 32 34560xxx++−=. 4) Giải bất phương trình: 3 2 2 x x − > + . Bài 2: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC không trùng A và C. Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, BE = BC. 1) Chứng minh rằng CD = AE và CD AE ⊥ . 2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên AC. 3) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó. Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vuông góc với CM. Nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH ( N thuộc BC). 1) Chứng minh r ằng tam giác DHC đồng dạng với tam giác NHB. 2) Chứng minh AM.NB = NC.MB Đề 2 NGUYỄN GIA THIỀU 2000 – 2001 Bài 1: 1) Tính giá trị của biểu thức: 2 32 2 25 2 : 10 25 2 xy xx yy −− − +−− Biến 22 942 3x y xy xy x+−=−−. 2) Giải phương trình: 32 23220xxx++−=. Bài 2: 1) Chứng minh rằng: 22 3330xxyy xy++−−+≥. 2) Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) abcabc abc abc+− −+ −++ ≤ với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD. Gọi K là điểm bất kì nằm giữa C và D. Gọi P và Q theo thứ tự là các điểm đối xứng của K qua tâm M và N. 1) Chứng minh Q, A, B, P thẳng hàng. 2) Gọi G là giao điểm của PN và QN. Chứng minh GK luôn đi qua điểm I cố định khi thay đổi trên đoạn CD. Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 2 1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC. 2) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF. Đề 3 NGUYỄN DU QUẬN GÒ VẤP 2000 – 2001 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 22 121 3 333 xyy−+− 2) 32 584xxx−+− Bài 2: Tìm x, y, z thỏa mãn: 222 4212414xyzxyz++=+−−. Bài 3: Cho biểu thức: 2 2232 123 263 :2 11 1 2 xxxx A x xxxxxx ++− ⎛⎞ =+− + −+ ⎜⎟ −+ − + ⎝⎠ 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm điều kiện của x để A có giá trị âm. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, ta vẽ các hình vuông ABDE và ACGH. 1) Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân. 2) Kẻ đường cao AI của tam giác ABC. Chứng tỏ các đường thẳng AI, DE, GH đồng qui. Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh BM MK ⊥ Đề 4 NGUYỄN DU QUẬN NHẤT 2000 – 2001 Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 22 2ab ac b bc c+++ +. 2) 42 23xx+− 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 23451xxxx−−−−+ Bài 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức với x + y = 2001 ( ) ( ) ( ) ()() 5523 662 xx yy xy A x xyy xy ++ ++ − = ++ ++ Bài 3: Thực hiện phép tính: ()()()()()() ab bc ca bcca caab abbc + ++ ++ −− − − −− . Bài 4: Cho 1abc++= và 111 0 abc ++= . Chứng minh 222 1abc + +=. Bài 5: Với sợi dây , em hãy nêu cách kiểm tra xem một tấm gỗ hình tứ giác có dạng hình chữ nhật. Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng PQ song song CD. Đề 5 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 3 HOA LƯ 2000 – 2001 Bài 1: Cho x, y, z là ba số khác 0 thỏa mãn 2002 111 1 2002 xyz xyz ++= ⎧ ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Chứng minh rằng trong ba số x, y, z tồn tại hai số đối nhau. Bài 2: Cho a, b, c là ba số thỏa điều kiện: 222 0 14 abc abc ++= ⎧ ⎨ + += ⎩ Hãy tính giá trị của biểu thức: 444 1 A abc=+ + + Bài 3: Tìm ba số x, y, z sao cho: 22 5 4 10 22 26 0xyxyx xyz + −+−++++= Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) ( ) ( ) 222 2 14aba ab++≥ với mọi a, b 2) 11 4 abab +≥ + với mọi a, b > 0. 3) 111111 333 2 2 2abbccaabcbcacab ++≥ + + +++ ++++++ với mọi a, b, c > 0. Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD ta lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho: A ECF BE DF = . Chứng minh rằng nếu đường chéo đi qua trung điểm I của đoạn thẳng EF thì AC chia đôi diện tích của tứ giác ABCD. Đề 6 QUẬN 9, 2000 – 2001 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: 1) 2 321 x x−−. 2) 32 6116 x xx+++ Bài 2: 1) Giải phương trình: () 21 2 0 22 x xxxx + +− = −− 2) Giải bất phương trình sau: 47 2 21 x x + < − . Bài 3: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 111 1 111 x xy y yz z xz + += ++ ++ ++ . Bài 4: 1) Với mọi số hữu tỉ a, b chứng minh rằng: 43 34 0aababb + ++≥. 2) Cho 22 78710xxyy++ =. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 22 x y+ . Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng qua A song song với BC, cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AC tại Q. Chứng minh PQ // CD. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 4 Bài 6: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm M, N, P. Lần lượt đặt diện tích các tam giác ANP, MPB, MNC, ABC là 123 ,,,SSSS. 1) Chứng minh: 1 . . SANAP SACAB = . 2) Chứng minh S 1 . S 2 . S 3 2 123 1 64 SSS S≤ . Đề 7 NGUYỄN GIA THIỀU 2001 – 2002 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 333 3a b c abc−++ . 2) ( ) ( ) ( ) 22 23 64aaaa a++ +++. Bài 2: Giải phương trình: 1) 842 2220xxxx−+−+= 2) 22 2 12 36 56 815 13405xx xx x x ++ = −+ −+ − + Bài 3: 1) Chứng minh bất đẳng thức: 222 22 a b c d e ab ac ad ae + ++ +≥ ++ +. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 A xx = + và giá trị tương ứng của x. 3) Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 34 1 x x B x + = + và giá trị tương ứng của x. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ đường phân giác AA 1 của góc A và đường trung tuyến CC 1 của tam giác. Biết rằng AA 1 = 2CC 1 . Tính số đo góc n A CB . Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, biết góc n 30 o AOB = . Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 6: Trên hai cạnh AB và BC của hình vuông ABCD lấy hai điểm P và Q theo thứ tự sao cho BP = BQ. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống CP. Chứng minh rằng n 90 o DHQ = . Đề 8 HOA LƯ 2001 – 2002 Bài 1: Tính giá trị của biểu thức x y A x y − = + biết rằng: ( ) 22 20,0xyxyxxy − =≠+≠. Bài 2: Giải phương trình: 2 221 x xmx−−=− với m là tham số. Bài 3: Cho a, b là hai số thỏa mãn: 2 2 2 1 24 4 b a a + +=. Chứng minh 2ab ≥− . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 4: 1) Cho các số [] ,, 0,1abc∈ . Chứng minh rằng 23 1ab c abbcca + +− −−≤ . GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 5 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 432 2321 P xxxx = ++++. Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng 222 A BCD ACBD ADBC CDDBDC+−= ( hệ thức Stewart). - Nếu D là trung điểm BC, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa trung tuyến và các cạnh của tam giác. - Nếu AD là phân giác góc A, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa phân giác và các cạnh của tam giác. Đề 9 NGUYỂN DU QUẬN NHẤT 2001 – 2002 Bài 1: Cho 111 0 xyz ++= . Tính 222 yz xz xy x yz ++ . Bài 2: Giải phương trình: 1) 32 220xxx+−−= 2) 2 31 2 4268 xx x xxx +− += −− −− Bài 3: 1) Chứng minh bất đẳng thức: 222 a b c ab ac bc + +≥ ++. 2) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh: 111abc bc ac ab a b c + +≥++ Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD và BE vuông góc nhau tại O. Cho AC = b, BC = a. Tính diện tích hình vuông cạnh AB. Đề 10 HOÀNG HOA THÁM 2001 – 2002 Bài 1: Giải phương trình và bất phương trình sau: 1) 154xx−+ − = 2) ( ) ( ) 2 13 1 23 xx xx −− ≤ ++ Bài 2: Chứng minh rằng: 1) 222 4142124 x yz x yz+++≥++ với mọi x, y, z 2) Với a, b, c là ba số dương: bc ac ab abc abc ++≥++ Bài 3: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3yx x = ++ 2) Tìm giá trị lớn nhất của 15yx = −−+ Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 2 (đơn vị độ dài).Gọi AM, BN và CP là trung tuyến của tam giác. 1) Tính: 222 A MBNCP++ . GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 6 2) Chứng minh rằng 45 A MBNCP<++< . Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA và CA lấy hai điểm di động M và N sao cho BM = CN. Gọi I là trung điểm của NM. Điểm I di động trên đường nào? Đề 11 QUẬN 9, 2001 – 2002 Bài 1: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 10 16xx − + . 2) Tìm giá trị nguyên của x để A B# . Biết 3 10 7 5, 2 3 A xxBx = −− =−. Bài 2: 1) Giải bất phương trình sau: 2 1mx m x + <−. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 544xx A x − + = với x khác 0. 3) Tìm giá trị lớn lớn nhất của 2 41 5 x B x + = + . Bài 3: Cho tứ giác ABC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. 1) Chứng minh 2 A BCD NQ + ≤ . 2) Trong trường hợp 2 A BCD NQ + = thì tứ giác ABCD là hình gì? Trong trường hợp này, vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt MP tại O cắt BC tại F. Chứng minh O là trung điểm của EF. Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AM và CD. Chứng minh rằng: 222 111 A BAMAP =+ . Đề 12 QUẬN NHÁT, 2001 – 2002 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 22 4946 x yxy−+− 2) 2 2001.2002xx−− Bài 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0abc + +=. Chứng minh rằng: 32 2 3 0aacabcbcb+−++=. Bài 3: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) 123410xx xx++ +++≥ với mọi giá của x. Bài 4: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: 2 32 44 248 xx xxx ++ + −− với x = 2002. Bài 5: 1) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AD và BC. Tìm điều kiện của tứ giác để 2 A BCD EF + = . GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 7 2) Gọi M, N, P và Q theo thứ tự là trung điểm của DF, EB, AF và EC. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Đề 13 QUẬN 10, 2001 – 2002 Bài 1: Giải phương trình 1) 1 0x x += 2) 1 2x x += Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 321 A xx = ++ và giá trị lớn nhất của các biểu thức: 2 Bxx=− . Bài 3: 1) Chứng minh rằng: ( ) 32 11 6 6 6aaa+−−# với a ∈ ] . 2) Chứng minh rằng tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 12 9 ab ab ab +≥ + với a > 0; b > 0. 2) ( ) ( ) ( ) abcbcaacb abc+− +− +− ≤ với a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Bài 5: Cho tam giác ABC, vẽ đường phân giác AH. Gọi I là trung điểm của AB, đường thẳng vuông góc với AB tại I cắt AH tại O. Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm AM. 1) Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông. 2) Gọi K là trung điểm OM. Chứng minh tam giác IKB cân. 3) Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 180 o . Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE và CF. Chứng minh: 1) n n A EF ABC= . 2) EB là phân giác của n F ED . Đề 14 NGUYỂN DU QUẬN NHẤT, 2002 – 2003 Bài 1: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: 2 11 ab ab ≤ + Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 x x P x x + + = − + Bài 3: Giải phương trình: 2 2 7 5 1 xx xx +− = ++ Bài 4: Cho biểu thức 32 32 21 221 nn A nnn +− = +++ 1) Rút gọn A. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 8 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị nguyên. Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh là a, lấy điểm I trên cạnh AB. Đường thẳng DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M và cắt đường thẳng AD tại P. Đường thẳng BM cắt AP tại K. Đặt AI = x. BM cắt DE tại P. 1) Tính BE và AP theo a và x. 2) Suy ra AK = AI. 3) Chứng minh D FBF⊥ . Đề 15 QUẬN NHẤT, 2002 – 2003 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 2 65xx++ 2) ( ) ( ) 22 1212xx xx−+ −+ − . Bài 2: 1) Cho 0 x yz++=. Chứng minh: 333 3 x y z xyz++= . 2) Rút gọn phân thức: ()()() 333 222 3xyz xyz x yyzzx ++− −+−+− Bài 3: Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh: ( ) 2 22 2 2 2 40Axy xyz=−+−>. Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 2002xxxx+++ ++ cho 2 812xx + + . Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1) Chứng minh AE = AB. 2) Gọi M là trung điểm BE. Tính góc n A HM . GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 1 Đề 1: NGUYỄN GIA THI U 2000 – 2001 Bài 1: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 333 3a b c. nhau tại H. Chứng minh: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 2 1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC. 2) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF. Đề 3 NGUYỄN DU QUẬN. trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng PQ song song CD. Đề 5 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ ĐỀ THI HSG LỚP 8 3 HOA LƯ 2000 – 2001 Bài 1: Cho x, y, z là ba số khác