Trần Só Tùng Đại số 11 I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác: cos sin tan ' cot OP a OQ a AT a BT a = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ α • tana xác đònh khi , 2 a k k Z≠ + ∈ π π , • cota xác đònh khi ,a k k Z≠ ∈ π 2. Dấu của các giá trò lượng giác: Cung phần tư Giá trò lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin a a a a + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa a− = ( ) sinsin a a− = π sin cos 2 a a   − =  ÷   π sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = − π cos sin 2 a a   − =  ÷   π tan( ) tana a− = − tan( ) tana a− = − π tan cot 2 a a   − =  ÷   π cot( ) cota a− = − cot( ) cota a− = − π cot tan 2 a a   − =  ÷   π Trang 1 CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α  Đại số 11 Trần Só Tùng 5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Trang 2 Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sina a+ = − π sin cos 2 a a   + =  ÷   π cos( ) cosa a+ = − π cos sin 2 a a   + = −  ÷   π tan( ) tana a+ = π tan cot 2 a a   + = −  ÷   π cot( ) cota a+ = π cot tan 2 a a   + = −  ÷   π 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cotg 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan x x x x x x     + − + = − =  ÷  ÷ − +     π π Trần Só Tùng Đại số 11 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = − 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot2 2cot 1 tan a a a a a a − = = − 2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : Đặt: tan ( 2 ) 2 a t a k= ≠ + π π thì: 2 2 sin 1 t a t = + ; 2 2 1 cos 1 t a t − = + ; 2 2 tan 1 t a t = − IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = sin( ) cot cot sin . b a a b a sinb − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 a a a a     + = + = −  ÷  ÷     π π sin cos 2 sin 2 cos 4 4 a a a a     − = − = − +  ÷  ÷     π π 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b   = − + +     = − − +     = − + +   Trang 3 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a a a a a a a a a a = − = − − = − 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a − = + = − = + Đại số 11 Trần Só Tùng Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ siny x= : Tập xác đònh D = R; tập giá trò 1, 1T   = −   ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. cosy x= : Tập xác đònh D = R; Tập giá trò 1, 1T   = −   ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. tany x= : Tập xác đònh \ , 2 D R k k Z   = + ∈     π π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ ( ) 2 k k Z≠ + ∈ π π coty x= : Tập xác đònh { } \ ,D R k k Z= ∈ π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác đònh ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈ π . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . Trang 4   Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau: a/ 2 sin 1 x y x   =  ÷ −   b/ siny x= c/ 2 siny x= − d/ 2 1 cosy x= − e/ 1 sin 1 y x = + f/ tan 6 y x   = −  ÷   π g/ cot 3 y x   = +  ÷   π h/ sin cos( ) x y x = − π i/ y = 1 tan 1x − Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 1 4 x   + +  ÷   π b/ 2 cos 1 3y x= + − c/ siny x= d/ 2 4sin 4sin 3y x x= − + e/ 2 cos 2sin 2y x x= + + f/ 4 2 sin 2cos 1y x x= − + g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2 cos2x x− i/ y = sin 3 cos 3x x+ + Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin 4 x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin tan sin cot x x x x − + h/ y = 3 3 cos 1 sin x x + i/ y = tan x Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a/ sin2y x= b/ cos 3 x y = c/ 2 siny x= d/ sin2 cos 2 x y x= + e/ tan cot3y x x= + f/ 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g/ 2sin . cos3y x x= h/ 2 cos 4y x= i/ y = tan(−3x + 1) ĐS: a/ . π b/ 6π. c/ . π d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/ . 4 π i/ 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: – Tìm tập xác đònh D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0,x T   ∈   hoặc 0 0 , 2 2 T T x   ∈ −     . – Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ 0 . .v k T i= r r về bên trái Trang 5 Đại số 11 Trần Só Tùng và phải song song với trục hoành Ox (với i r là véc tơ đơn vò trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thò: a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vò nếu a < 0. b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục hoành. c/ Đồ thò ( ), nếu f(x) 0 ( ) -f(x), nếu f(x) < 0 f x y f x  ≥ = =   được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = sinx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghòch biến trên , . 2    ÷   π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 .   −   – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :     π Trang 6 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = cosx –1 y x x0y 1 0 –1 0 0 x0      Trần Só Tùng Đại số 11 – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = cosx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghòch biến trên khoảng 0, 2    ÷   π và nghòch biến trên khoảng 3 , . 2    ÷   π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác đònh: D = R \ , 2 k k Z   + ∈     π π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên , 2 2   −  ÷   π π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = tanx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác đònh: D = R { } \ ,k k Z∈ π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = − ∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = π. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0,     π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = cotx. Trang 7   ∞ ∞ x0y 0 +∞ –∞   3 2 π − π 2 π −  2 π π 3 2 π 2 π 5 2 π     2 − π 3 2 π −  2 π − 2 π π 3 2 π y = cotx − π 2π Đại số 11 Trần Só Tùng Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D. Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx. – Vẽ đồ thò y = sinx. – Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx sin , nếu sin x 0 sin -sin x, nếu sin x < 0. x y x  ≥ = =   Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thò y = cosx. – Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò 1 cosy x= + bằng cách tònh tiến đồ thò cosy x= lên trục hoành 1 đơn vò. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Trang 8 y x –2π 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 –1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0πy = cosx1 0 –1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 –1 Trần Só Tùng Đại số 11 Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2     π : Trang 9 2 π − O y x π 4 π − 4 π 1 3 2 π 2 π 5 4 π y = sin2x –1 x02x0y = sin2x 0 –1 01 0 x02x0y = cos2x –1 01 0 –1 O y x 2 π 4 π  2 π 4 π     3 4 π Đại số 11 Trần Só Tùng Ví dụ 10: Vẽ đồ thò sin 4 y x   = +  ÷   π có chu kỳ T = 2π. Ví dụ 11: Vẽ đồ thò cos 4 y x   = −  ÷   π có chu kỳ T = 2π. Trang 10           3 2 π     − π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π   2 / 2 2 / 2 −  [...]... cot  x + ÷ 4 3   ( ( 12 ) tan ( x 9) tan ( 2 x + 1) + cot x = 0 ( ) 2 10 ) cos x + x = 0 ) 2 11 ) sin x − 2 x = 0 2 ) + 2 x + 3 = tan 2 1 2 π 2 2 16 ) sin  x − ÷ = cos x 4  14 ) sin 2 x = 13 ) cot 2 x = 1 15) cos x = ) 1 2 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC Dạng asin x + b sin x + c = 0 Đặt t = sinx 1 ≤ t ≤ 1 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = cosx 1 ≤ t ≤ 1 a tan 2 x + b tan x +...  − ÷ = 1 2 4 ( ) 8) cos x − 15 0 = π  3) cos  − x ÷ = 1 5  π  6) sin  + 2 x ÷ = 1 6  x π 3 9) sin  − ÷ = − 2 2 3 2 2 ( ) 3 3 11 ) tan ( 2 x − 1) = 3 12 ) cot 3 x + 10 0 =  π 14 ) cot  2 x − ÷ = 1 3  15 ) cos(2x + 250) = − 2 2 Bài 2 Giải các phương trình: 1) sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 )   π π 2) cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷ 3 6   3) cos3 x = sin 2 x 0 4) sin x − 12 0 + cos... 1) cos2 x = 2 3 + 1) sin 2 x − 2 3 sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = 0 10 ) 3cos4 x − 4sin2 x cos2 x + sin 4 x = 0 11 ) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 12 ) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 Bài 2 Giải các phương trình sau: 1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin x.cos x − sin 2 x = 2 1 2 Bài 3 Tìm m để phương trình : (m + 1) sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm Trang 18 Trần Só Tùng Đại số 11 . .. kiện: 1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện 2 Dùng đường tròn lượng giác 3 Giải các phương trình vô đònh • cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ Trang 14 Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 1 Giải các phương trình:  π 1) cos  2 x + ÷ = 0 6   π 4) sin  3 x + ÷ = 0 3  7) sin ( 3 x + 1) = 1 2 π  1 10) cos  − 2 x ÷ = − 2 6   π 13 ) tan  3 x + ÷ = 1 6   π 2) cos  4 x − ÷ = 1 3... phương trình: 1) sin 2 x − 4 ( cos x − sin x ) = 4 2) 5sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0 3) ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x − cos x ) = sin 2 x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 5) sin2x +  π 2 sin  x − ÷ = 1  4 6) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) (sin x − cos x ) + 2 = 0 2 Bài 3 Giải các phương trình: 1) sin3x + cos3x = 1 + ( 2) 2sin2x – 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 2 − 2 ) sinx.cosx Trang 19 Đại số 11 Trần Só Tùng... sau: 1) 4sin23x + 2 ( 3 + 1) cos3 x − 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 2 2 3) 4cos (2 – 6x) + 16 cos (1 – 3x) = 13 4) 1 − ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0 cos2 x 4 3 5) + tan2x = 9 6) 9 – 13 cosx + =0 cos x 1 + tan 2 x 1 1 7) = cotx + 3 8) + 3cot2x = 5 2 2 sin x cos x x 4 9) cos2x – 3cosx = 4 cos2 10 ) 2cos2x + tanx = 2 5  sin 3 x + cos3 x  3 + cos 2 x Bài 3 Cho phương trình Tìm các nghiệm của  sin x + ÷= 1. .. = 0 t = cotx 2 Điều kiện π + kπ (k ∈ Z ) 2 x ≠ kπ (k ∈ Z ) Trang 15 Đại số 11 Trần Só Tùng Nếu đặt: t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều kiện : 0 ≤ t ≤ 1 Bài 1 Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 4) tan 2 x + ( 1 − 3 ) tan x − 3 = 0 5) 4sin 2 x − 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0 6) 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x 7) tan2x + cot2x...  Trang 11  Đại số 11 Trần Só Tùng   2 2 1 −π − π 2 − π 4  1 1   π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 −π  − 3π 4 − π 2 −  π 4   π 4 π 2 3π 4 π − 2 Ví dụ 14 : Vẽ đồ thò y = tanx + cotx –  π  Tập xác đònh: D = R \ k , k ∈ Z   2  – Chu kỳ T = π   ∞     4 3 3  ∞∞ − π 2 − π π − 3 4 − π 6 π 6    ∞ 4 3 3 Trang 12 π 3... Bài 1 Giải các phương trình sau: 3 2 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3 2 Bài 2 Giải các phương trình sau: 1) sin6x + cos6x = 1 4 2) sin8x + cos8x = 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 1 8 4) sin4x + cos4x – cos2x + 1 4 sin 2 2x 1= 0 Bài 3 Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0... sin2x = 1 + 5) sinx (1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1) (2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 2 cosx + cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) Bài 4 Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Bài 5 .  π 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 12 0 0 13 5 0 18 0 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− 1 0 0 cotg 3 1 3 3 0 3 3 − 1 0 sin( ) sin .cos sin. 8 y x –2π 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0πy = cosx1 0 1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 1 Trần Só Tùng Đại số 11 Ví dụ 8: Vẽ. ) 1 sin 3 1 2 x + = 8) ( ) 0 2 cos 15 2 x − = 9) 3 sin 2 3 2 x   − = −  ÷   π 10 ) 1 cos 2 6 2 x   − = −  ÷   π 11 ) ( ) tan 2 1 3x − = 12 ) ( ) 0 3 cot 3 10 3 x + = 13 ) tan 3 1 6 x 