Bài giảng giải tích 2 chương 5.1 tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ

43 887 0
Bài giảng giải tích 2  chương 5.1  tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1 CHUỖI SỐ CHUỖI SỐ DƯƠNG CHUỖI ĐAN DẤU CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2 CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ å số hạng dãy (TỔNG VÔ HẠN) n=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số hạng : Sn=u1+u2+…+un Tổng chuỗi giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < Ơ n đƠ Khi ú, ta núi chui hi tụ Ngược lại, tức không tồn giới hạn giới hạn vơ tận ta nói chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n =1 n đƠ Đ1 Chui s - Tng quan v chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt chuỗi: 15 2n - + + + + Þ un = n 16 2 22 23 24 2n + + + + Þ un = 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n! Ví dụ: Tính số hạng un chuỗi ¥ n +2 Tính u5? Þ u5 = + = å n =1 4n - 4.5 - 19 (2n - 1)!! Tính u6 å n =1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 Þ u6 = = = = (6 +1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 Ơ Đ1 Chui s - Tng quan v chuỗi số Ví dụ: Tính tổng chuỗi cấp số nhân ¥ n å q n =0 Ta việc tính tổng riêng thứ n chuỗi ì n, q = ï ï n Sn = 1+ q + q + + q = ï 1- q n í ï ï 1- q , q ¹ ï ỵ Rõ ràng q=1, Sn=n chuỗi phân kỳ n Khi |q|1: Dãy {Sn} khơng có giới hạn → chuỗi phân kỳ ¥ Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ |q| n →∞ ⇒chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb §1 Chuỗi số - Chuỗi không âm ∞ 4/ ∑a − ln n n =1 Cn = Dn = , a>0 − ln n n − ln n a =a n v lim Cn = a0 = nđƠ − ln( n +1) ln 1−  ÷ a ln n −ln( n +1)  n +1  =a =a − ln n a lim Dn = a0 = nđƠ (Ta khụng dựng c tiờu chun Cauchy, dAlembert) Biến đổi a − ln n = e − ln n×ln a = n − ln a Suy chuỗi cho chuỗi điều hòa Chuỗi HT lna>1 ↔ a>e ∞ ∑ n ln a n =1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số ¥ n n å (- 1) un = - u1 + u2 - u3 + + (- 1) un + , un ³ n, " n n=1 gọi chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : Nếu ì un £ un- ï ¥ ï n ï chuỗi å (- 1) un hội tụ í lim u = ù n=1 ù nđƠ n ù ợ Khi ấy, ta gọi chuỗi chuỗi Leibnitz tổng S chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi 1/ å n=1 n n (- 1)n n 2/ å n=2 n - 1 1/Ta có : un = đơn điệu giảm dần n Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz n 2/ un = đơn điệu giảm dần n- Nên chuỗi cho chuỗi Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 n + (- 1) Số hạng tổng quát chuỗi un = (- 1)n n n + (- 1) viết dạng (- 1)n v n ,v n ³ Tức chuỗi không chuỗi đan dấu Ta có un = (- 1)n n n + (- 1) = (- 1)n ( n - (- 1)n ) 2n n - (- 1) (- 1)n n = n- n- §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n n Chuỗi å chuỗi đan dấu hội tụ n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n=2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chuỗi PK §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=1 n - ln n Chuỗi đan dấu với un = n - ln n Để khảo sát đơn điệu dãy un ta đặt x- Âx ) = f (x) = ị f ( < 0, " x > x - ln x x ( x - ln x )2 Tức hàm f(x) dãy {un} đơn điệu giảm dần Vậy chuỗi cho HT theo Leibnitz §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: ¥ Nếu chuỗi å | un | hội tụ n=1 ¥ hội tụ Thì chuỗi å un n=1 ¥ ¥ Khi đó: å u n £ å | un | n=1 n=1 ¥ Và ta gọi chuỗi å un chuỗi hội tụ tuyệt đối n=1 §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức chuỗi ¥ ¥ å un khơng suy chuỗi å | un | n=1 n=1 hội tụ ¥ ¥ Khi chuỗi å un HT chuỗi å | un | PK ta n=1 n=1 ¥ gọi chuỗi å un chuỗi bán hội tụ n=1 Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy d’Alembert ¥ mà biết chuỗi å | un | PK chuỗi n=1 cng PK Ơ un n=1 Đ1 Chui s - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: ¥ 1 n 1/ å (- 1) tan sin n n n=1 ¥ sin n 2/ å n n=1 1 1 : = , n đ Ơ 1/ Xét un = tan sin n n n n n ¥ Chuỗi å HT, suy chuỗi cho HTTĐ n=1 n n sin n ỉư 1÷ 2/ Xét un = £ = ỗ ữ chui ó cho HTT n n ỗ3 ứ ốữ 3 Đ1 Chui s - Chui có dấu ¥ n n +1 Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å (- 1) 2n - n=1 Chuỗi cho chuỗi đan dấu với un = n +1 2n - Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm dần nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz Mặt khác, coi chuỗi có dấu n +1 | un |= : , n đ Ơ 2n - 2n Ơ Ơ n +1 Tức chuỗi å | un | = å PK n=1 n=1 2n - Vậy chuỗi cho chuỗi bán HT §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu nỉ ¥ (- 1) Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n n=1 Ta có n2 n n u = lim n ổ + 1ử ữ ỗ lim ữ n ữ nỗ n ứ ố nđƠ nđƠ n ổ 1ử e ỗ + ữ = >1 = lim ỗ ữ ữ 2ố nứ nđƠ Ơ Vy chui å un n=1 PK theo t/c Cauchy nên chuỗi cho cng PK n2 n +1ử ữ ỗ ữ ỗ n ứ ữ ố Đ1 Chui s - Chui cú dấu ¥ arcsin(- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi å n=2 n( n + 1)( n - 1) ì p , n = 2k ï n ï arcsin(- 1) = ï í ï - p , n = 2k +1 ï ï î p p Nên u £ : n ® ¥ n n(n +1)( n - 1) n Vì Vậy chuỗi cho HTTĐ §1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi ¥ - , u2 n = å un , u2n- = 3n + 3n - n=1 Ta tính tổng riêng thứ 2n chuỗi S2n = u1 + u2 + + u2n- + u2n S2n = (u1 + u2 ) + (u3 + u4 ) + + (u2n- + u2n- ) + (u2n- + u2n ) ỉ - 1ư ỉ - 1ư ỉ 1 - ỉ - ữ ỗ ữ ỗ + ữ ỗ + ữ + ỗ S2n = ỗ + ữ ố ữ ữ ỗ ữ ỗ3n - + 3n - ø+ è n + + 3n - 1ứ ữ ỗ8 ứ+ ữ ữ ữ ố5 ứ ố - 1 - V nđƠ S2n = + ắ ắ ắắ đ 3n + 2 S2n +1 = S2n + u2n +1 ¾ nđƠ đ - ắ ắắ Vy tng chuỗi S = lim Sn = Chuỗi HT nđƠ ... chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n =1 n đƠ §1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát chuỗi: 15 2n - + + + + Þ un = n 16 2 22 23 24 2n + + + + Þ un = 1 .2 1 .2. 3 1 .2. 3.4 n!... 1)n n Chuỗi å chuỗi đan dấu hội tụ n=1 n - ¥ chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi å n =2 n - Vậy chuỗi cho chuỗi PK tổng chuỗi HT chuỗi PK §1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu ¥ (- 1)n Ví dụ: Khảo sát hội tụ chuỗi. ..§1 Chuỗi số - Tổng quan chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất ¥ å số hạng dãy (TỔNG VƠ HẠN) n=1un chuỗi số Ta gọi: un số hạng tổng quát chuỗi Tổng riêng thứ n chuỗi tổng n – số

Ngày đăng: 01/06/2015, 14:51

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Slide 1

  • Slide 2

  • Slide 3

  • Slide 4

  • Slide 5

  • Slide 6

  • Slide 7

  • Slide 8

  • Slide 9

  • Slide 10

  • Slide 11

  • Slide 12

  • Slide 13

  • Slide 14

  • Slide 15

  • Slide 16

  • Slide 17

  • Slide 18

  • Slide 19

  • Slide 20

  • Slide 21

  • Slide 22

  • Slide 23

  • Slide 24

  • Slide 25

  • Slide 26

  • Slide 27

  • Slide 28

  • Slide 29

  • Slide 30

  • Slide 31

  • Slide 32

  • Slide 33

  • Slide 34

  • Slide 35

  • Slide 36

  • Slide 37

  • Slide 38

  • Slide 39

  • Slide 40

  • Slide 41

  • Slide 42

  • Slide 43

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan