HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 1 A.LÝ THUYẾT Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ §1.VÀI NÉT LỊCH SỬ .Hình học trước thời Euclid: Hình học ra đời như một khoa học thực nghiệm về đo đạc ruộng đất, độ dài các đường, đo diện tích các mảnh đất, đo thể tích các thùng chứa… Con người thời cổ đại ở vùng Babilon và Ai Cập đã biết cách tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình chóp… Từ thế kỉ IV đến thế kỉ III trước công nguyên, các nhà Hình học ở Hy Lạp dần dần đã làm cho môn Hình học trở thành một môn khoa học suy diễn.Hình học không còn là đúng đắn cho một sự kiện hình học nào đó, thay vì kiểm tra bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh nó bằng một chuỗi lập luận hợp lý. Nhiều tác phẩm hình học đã xuất hiện vào thời kỳ này với những tên tuổi lớn như: Arschimedes, Apollonius, Ptolemee, Pytagore. Tất cả những công trình đó đã được tổng kết lại một cách đầy đủ trong tác phẩm bất hủ của Euclid có tên là “Cơ bản”. Euclid là nhà hình học xuất sắc của Hy Lạp cổ. Ông dạy học và sống ở Alexandrie vào khảng từ 330 đến năm 275 trước công nguyên. Về tác phẩm “Cơ bản” của Euclid: Tác phẩm “Cơ bản” của Euclid gồm 13 cuốn, bao gồm những kiến thức thuần túy của hình học. Trong 13 cuốn của “Cơ bản” có 8 cuốn dành cho Hình học phẳng và Hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 2 này bao gồm toàn bộ nội dung của Hình học sơ cấp, mà một phần của nó được lấy từ các trường Phổ thông hiện nay. Chúng ta thấy trong đó có: các tam giác bằng nhau, các hình đồng dạng, định lý Pitagore, lí thuyết đo diện tích, đường tròn và các tính chất, đa giác đều và cách dựng, diện tích hình tròn, hình cầu, hình trụ, hình nón, về các khối đa diện và đặc biệt là về năm loại khối đa diện đều…. Về phương pháp, chúng ta thấy Euclid đã cố gắn xây dựng môn Hình học bằng cách thức mà ngày nay chúng ta gọi là tiên đề. Trong cuốn sách đầu tiên, Euclid đã nêu ra 23 địng nghĩa của các khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song…Chẳng hạn ông đã định nghĩa:  Điểm là cái gì không có thành phần.  Đường là cái gì có bề dài mà không có bề rộng.  Mút của đường là điểm.  Đường thẳng là đường trên đó các điểm được sắp đặt giống nhau…. Sau các định nghĩa, Euclid đã trình bày các định đề và “tiên đề”, là những mệnh đề mà sự đúng đắng của nó được thừa nhận, không chứng minh. Có năm định đề nói về Hình học. Đó là: 1) Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác cò thể vẽ được một đường thẳng. 2) Một đường thẳng có thể kéo dài mãi cả về hai phía. 3) Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn. 4) Tất cả các góc vuông đều bằng nhau. 5) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác nhau tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó. Có năm tiên đề, nội dung rộng hơn, dùng cho các suy luận toán học nói chung: HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 3 1) Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau. 2) Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 3) Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 4) Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. 5) Toàn thể lớn hơn bộ phận. Sau khi đã có các định nghĩa,các định đề và tiên đề, Euclid đã trình bày các định lý và chứng minh các đinh lý đó.Các chứng minh này đều cố gắn dựa vào các định lý đã có trước, hoặc các tiên đề và định đề. .Các thiếu sót của bộ “Cơ bản”: Có thể nói Euclid là người đầu tiên xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề. Nhiều chứng minh của ông rất hay vẫn còn dùng được cho đến ngày nay.Tuy nhiên dưới cái nhìn hiện đại, tập “Cơ bản” còn mắc phải nhũng thiếu xót. Cụ thể là:  Euclid tham vọng định nghĩa tất cả các khái niệm, điều đó là không thể.Mỗi khái niệm đều được định nghĩa dựa vào các khái niệm có trước. Bởi vậy, chúng ta phải xuất phát từ cái không có trước, ngày nay chúng ta gọi các khái niệm như vậy là các khái niệm cơ bản.Các khái niệm đó được hiểu bằng nhiều cách cụ thể khác nhau, miễn sao chúng thỏa mãn các tiên đề.  Các định đề và tiên đề của Euclid vừa thừa lại vừa thiếu. Định đề “Tất cả các góc vuông đều bằng nhau” là thừa vì có thể chúng minh được. Euclid lại thiếu quá nhiều định đề và tiên đề nên trong nhiều chứng minh ông phải dựa vào trực giác. .Về định đề 5 của Euclid: Định đề 5 của Euclid đóng vai trò đặc biệt trong sự phát triển Hình học nói riêng và Toán học nói chung.Khi nghiên cứu tập “Cơ bản”, các nhà toán học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay là nó có thể được chứng minh như một định lý? Có vẻ như chính Euclid cũng HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 4 băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định đề đó để chúng minh các định lí. Cho mãi tới định lí thứ 29, khi không thể dùng được ông mới sử dụng định đề đó vào chứng minh. Thế là rất nhiều nhà toán học đã cố gắn tìm cách chứng minh định đề 5. Có thể nói trong lịch sử Toán học chưa bao giờ có một vấn đề được nhiều người nghiên cứu đến thế, và giải quyết nó lại cần nhiều thời gian đến thế ( từ thế kỉ thứ II trước công nguyên đến thế kỉ XIX ). Hầu hết các nhà toán học đều thất bại. Họ cứ tưởng trong khi chứng minh họ đã sử dụng một điều tương đương với định đề đó. Chẳng hạn, Proclus Diadochus, 410- 485) trong chứng minh của mình đã sử dụng mệnh đề: “Nếu hai đường thẳng a và b song song thì khoảng cách bất kì từ điểm nào của đường thẳng a tới đường thẳng b đều bằng nhau”. Mệnh đề này có vẻ hiển nhiên, nhưng để chứng minh nó, ta lại phải dùng định đề 5. Nhiều nhà toán học đã chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản chứng. Hãy giả sử định đề 5 không đúng, rồi cố rút ra từ đó những mâu thuẫn,những vô lý. Nhưng họ cũng không thành công, vì họ tưởng đã tìm ra cái vô lí, nhưng thực ra chẳng vô lý chút nào! .Sự ra đời của Hình học phi Euclid: Cuối cùng vào ngày 6-2-1826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga, Lo-ba-sep-xki (1792-1856), khi ông trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán - Lí trường Đại học Ka-zan (Nga). Lo-pa-sep-xki đã chứng minh rằng: không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải là một định lí. Ông đã giữ nguyên các định đề của Euclid và thay định đề 5 bằng một định đề phủ định, và dựa vào đó chứng minh các định lí của hệ thống Hình học mới. Ngày nay, chúng ta gọi hệ thống hình học mà Lô-pa-sep-xki xây dựng là Hình học phi Euclid hay hình học Lô-pa-sep-xki. Tất nhiên nhiều kết quả của hình học Lô-pa-sep-xki hoàn toàn trái ngược với hình học Euclid. Chẳng hạn trong Hình học của Lô-pa-sep-xki: “tổng các góc của HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 5 tam giác bé hơn 180 0 , có tam giác mà tổng số đo bé tùy ý, diện tích tam giác bị chặn trên; quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng không phải là cặp đường thẳng… Tuy nhiên trong nội bộ của hình học đó không hề có mâu thuẫn nào… Gần như cùng đồng thời với Lô-pa-sep-xki , nhà Toán học Hung-ga-ri là Bolyai Janos (1802-1860) và nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) cũng đã đạt được những kết quả chủ yếu về Hình học phi Euclid. §2.PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ , Hệ tiên đề của một lý thuyết toán học: Năm 1899, Hilbert cho ra đời tác phẩm “ Cơ sở hình học”, trong đó xây dựng lại Hình học một cách chính xác bằng phương pháp tiên đề Để xây dựng một lý thuyết toán học nào đó bằng phương pháp hệ tiên đề chúng ta phải tiến hành theo những trình tự sau: a) Nêu các “khái niệm cơ bản”. Đó là những khái niệm không theo định nghĩa, ta có thể hiểu thế nào cũng được miễn là hiểu cho phù hợp với tiên đề mà sao đó sẽ nêu ra. Việc lựa chọn khái niệm nào là khái niệm cơ bản là tùy thuộc vào mỗi tác giả. b) Nêu một hệ thống các tiên đề: thể hiện mối quan hệ giữa các khái niệm cơ bản, các tiên đề này phải thỏa mãn một số yêu cầu nào đó. Và hệ thống các khái niệm cơ bản và các tiên đề về chúng được gọi là hệ tiên đề.  Một số ví dụ: Ví dụ 1: Hệ tiên đề H gồm: - Khái niệm cơ bản: Vectơ, sự bằng nhau của hai vecto (kí hiệu là =) và phép cộng hai vectơ. - Các tiên đề: HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 6 1) Với mọi hai vecto , x y   2) Với mọi ba vecto , , x y z    3) Có vecto, gọi là vecto không và kí hiệu là 0  sao cho: 0 x x      4) Có vecto , x  sao cho: , 0 x x      ,vecto , x  gọi là vecto đối của vecto x  Từ hệ tiên đề trên ta chứng minh định li sau:  Định lí 1: Vecto không là duy nhất Chứng minh: ta có , 0 0 0      (3) , 0 0     (1) 0   (3) Vậy 0  là duy nhất  Định lý 2: Vecto đối của x  là duy nhất Chứng minh: Giả sử x  có hai vecto đối là 1 2 , x x   Ta có: 1 1 0 x x      (3) = 2 1 ( ) x x x      ` (2) 2 1 ( ) x x x       (1) 2 0 x     (4) 2 0 x     (1) 2 x   (3) Ví dụ 2: Hệ tiên đề K bao gồm: HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 7 -Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng, quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng: điểm thuộc đường thẳng. - Các tiên đề: 1) Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng duy nhất 2) Hai đường thẳng phân biệt có một điểm chung duy nhất. 3) Có ít nhất bốn điểm trong đó không có ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng. Từ hệ tiên đề trên ta có thể chứng minh định lý:  Định lí: Có ít nhất 7 điểm và 7 đường thẳng. Chứng minh: Giả sử 4 điểm tồn tại trong hệ tiên đề là A, B, C, D. Theo tiên đề 1 ta có: AB ≠ CD Theo tiên đề 3: Nếu E trùng với một trong 4 điểm đã có thì mâu thuẫn với tiên đề 1 Vậy có 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt Theo tiên đề 1: AC ≠ BD Theo tiên đề 3: Nếu F trùng với E đã có thì mâu thuẫn với tiên đề 1 Vậy có 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F Đặt G Nếu G trùng với F thì mâu thuẫn với tiên đề 1 Vậy có 7 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F, G Và theo tiên đề 1 ta có các đường thẳng AB, CD, AC, BD, AD, CB HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 8 Hai đường thẳng AB và CD không trùng nhau vì nều không thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Và E, F, G có thể nằm trên một đường thẳng nên có ít nhất 7 đường thẳng: AB, CD, AC, BD, AD, CB và EF. .Mô hình của hệ tiên đề: Cho H là một hệ tiên đề nào đó, nếu ta gán cho các khái niệm cơ bản của H các khái niệm cụ thể sao cho các khái niệm đó thỏa các tiên đề trong H thì ta thu được một mô hình của H. Ví dụ 1: cho H là hệ tiên đề của ví dụ 1 ở mục 2 Ta gán một vecto x  là một số nguyên, phép cộng hai vecto được hiểu là cộng hai số nguyên, quan hệ bằng là quan hệ bằng trong  . Rõ ràng 4 tiên đề của H đều thỏa mãn  x + y = y + x  x + (y + z) = (x + y) + z  Tồn tại 0  bằng 0: 0 + x =x  Tồn tại vecto đối của x là –x: -x + x = 0 Ví dụ 2: Gọi K là hệ tiên đề trong ví dụ 2 ở mục 2 Xét tập hợp {0, 1} gồm 2 số 0 và 1 với phép cộng được xác định như sau: 0 + 0 = 0 1+ 1 = 0 1 + 0 = 0 + 1= 1 Xét A ( 0,0,1) ; B(0,1,0); C(1,0,0); D(1,1,1); E( 1,1,0); F(1,0,1); G(0,1,1) Gọi đường thẳng là một trong các phương trình sau: (d 1 ): x 1 =0, (d 2 ): x 2 =0, (d 3 ): x 3 =0, (d 4 ): x 1 +x 2 =0, (d 5 ): x 1 +x 3 =0, (d 6 ): x 2 +x 3 =0 HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 9 (d 7 ): x 1 +x 2 +x 3 =0. Một điểm gọi là thuộc đường thẳng nếu bộ số nó thỏa mãn phương trình. Chúng ta dễ dàng thấy mọi tiên đề của K đều thỏa mãn. Đặc biệt ta co thể chỉ ra bốn điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ví dụ C(1,0,0), B(0,1,0), E(1,1,0) và D(1,1,1). . Các yêu cầu của một hệ tiên đề: Bất kì một hệ tiên đề nào cũng phải thỏa mãn một số yêu cầu cơ bản: phi mâu thuẫn, tính độc lập, tính đầy đủ 1) Phi mâu thuẫn: Cho H là một tiên đề. Một hệ tiên đề được gọi là phi mâu thuẫn nếu từ các tiên đề của nó không thể chứng minh được hai định lý phủ định nhau (mâu thuẫn nhau) Để chứng minh sự phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề ta dùng phương pháp xây dựng mô hình. Nếu ta đã xây dựng được mô hình của hệ tiên đề H bằng những khái niệm của một lý thuyết toán học có sẵn L, thì mỗi định lí suy ra từ H sẽ trở thành một định lí trong L. Như vậy nếu lí thuyết L phi mâu thuẫn thì hệ tiên đề H cũng phi mâu thuẫn. Tóm lại: hệ tiên đề H phi mâu thuẫn nếu có thể tìm thấy mô hình của H trong một lý thuyết toán học đã biết là phi mâu thuẫn. 2) Tính độc lập: Tiên đề A của hệ tiên đề phi mâu thuẫn H được gọi là độc lập đối với H nếu A không thể chứng minh được từ những tiên đề của H. Hệ tiên đề H được gọi là độc lập nếu mọi tiên đề của H đều độc lập đối với H. Nếu A là một hệ tiên đề của H, ta thành lập hệ tiên đề mới H’ gồm các tiên đề của H nhưng thay tiên đề A bằng tiên đề A’ phủ đinh của tiên đề A. Rõ ràng tiên đề A độc lập đối với H khi và chỉ khi hệ tiên đề H’ phi mâu thuẫn. HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang Mail: thanhtruchg93@gmail.com 10 Ví dụ: Nếu hình học Lô-pa-sep-xki phi mâu thuẫn thì định đề 5 không chứng minh được từ các tiên đề còn lại của hình học Euclid. Tất nhiên nếu tiên đề A không độc lập với hệ tiên đề H thì nó thừa, và có thể loại bỏ nó trong danh sách các tiên đề. 3) Tính đầy đủ của hệ tiên đề: Một hệ tiên đề phi mâu thuẫn H được gọi là đầy đủ nếu một mệnh đề A nào đó nói về các khái niệm của H đều có thể chứng minh được hoặc bác bỏ được. Nói khác đi, từ hệ tiên đề H có thể chứng minh được mệnh đề A hay chứng minh được mệnh đề A’ phủ định của A. Nếu hệ tiên đề H không đầy đủ, nghĩa là có mệnh đề A và mệnh đề A’ phủ định nó đều không chứng minh được từ H, thì khi thêm tiên đề A hoặc A’ vào H ta được cả hai tiên đề phi mâu thuẫn. Giả sử hệ tiên đề phi mâu thuẫn H có hai mô hình M 1 và M 2 . Mô hình đó đẳng cấu với nhau nếu có sự tương ứng 1-1 giữa các khái niệm cơ bản của M 1 với các khái niệm cơ bản của M 2 sao cho nếu các khái niệm cơ bản nào đó của M 1 thỏa mãn một tiên đề của H thì các khái niệm cơ bản tương ứng của M 2 cũng thỏa mãn tiên đề đó. Người ta chứng minh được rằng: Một hệ phi mâu thuẫn H là đầy đủ khi và chỉ khi mọi mô hình của nó đều đẳng cấu với nhau. §3. CÁC HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC Ơ-CLIT 3 CHIỀU .Hệ tiên đề của Hin-be (Hilbert): Trong tác phẩm “Cơ sở hình học” của mình, lần đầu tiên nhà toán học Đức Hin-be (Hilbert, 1862-1943) đã đưa ra một hệ tiên đề của hình học Ơ- [...]... thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Trong trường hợp n=3, ta chứng minh được hệ tiên đề Weyl không gian Ơ-clit 3 chiều tương đương với hệ tiên đề Hin-be và tương đương với hệ tiên đề ở phổ thông nói trên B.BÀI TẬP BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1 trang 199: Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết Tìm mô hình của H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước Giải: * Mô hình. .. Hữu Bình NXB GD, 1984), và hệ tiên đề của Hình học không gian trong Hình học 11” (tác giả: Văn Như Cương, Phan Văn Viện, NXB GD, 1991) a.Hệ tiên đề của hình học Ơ-clit trên mặt phẳng Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang 15 Mail: thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng (đường thẳng được hiểu là một tập hợp điểm, nên có thể nói về điểm thuộc... vuông góc như trong Hình học giải tích, ta chứng minh được M đẳng cấu với mô hình số học 4.4 Sự độc lập của các tiên đề trong hệ tiên đề Hin-be: Như đã nói ở trên, tiên đề 5 ơ-clit về đường song song là tiên đề độc lập, bởi vì nếu thay tiên đề đó bằng tiên đề phủ định thì ta có Hình học Lôbasepki, là hệ tiên đề phi mâu thuẫn Người ta cũng đã xây dựng được Hình học phi Ac-si-mét, là hình học trong đó tiên... ta xây dựng mô hình thứ hai của P không đẳng cấu, với mô hình đã xây dựng ở a) Mô hình đó như sau: ta lấy 13 điểm Pi , i  0,12 , và 13 đường thẳng Kí hiệu Pj , j  0,12 Ta nói Pi thuộc đường thẳng Pj nếu i  j = (0, 1, 3, 9) (mod13) Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang 24 Mail: thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Bài 5 trang 200: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian... HÌNH HỌC CAO CẤP c) Định lí: Mỗi mặt phẳng (P) chia các điểm còn lại của không gian thành hai tập hợp không giao nhau sao cho hai điểm M, M’ thuộc cùng một trong hai tập hợp đó khi và chỉ khi đoạn thẳng MM’ và mặt phẳng (P) không có điểm chung Chứng minh: gọi A là một điểm không thuộc (P) Xét hai tập hợp sau: Tập U: gồm những điểm M không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AM và (P) không có điểm chung Tập. .. ta trước khi cải cách giáo dục 1981, Hình học được trình bày theo kiểu cũ, không phân biệt rõ ràng giữa hệ tiên đề và định lí Trong cải cách giáo dục năm 1981, hình học được viết lại theo hướng hệ tiên đề hóa, tuy nhiên từ “tiên đề” được thay bằng từ “tính chất cư bản” Sau đây chúng tôi giới thiệu hệ tiên đề của Hình học phẳng trong cuốn “Tài liệu bồi dưỡng Hình học 6” (tác giả Văn Như Cương, Vũ Hữu... 14 Mail: thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Sau đó ta phải chứng minh rằng với cách hiểu các khái niệm cơ bản trên đây, mọi tiên đề của hệ tiên đề Hin-be đều đúng 3.3 Sự đầy đủ của hệ tiên đề Hin-be: Hệ tiên đề Hin-be đầy đủ vì ta có thể chứng minh rằng mọi mô hình của hệ đó đều đẳng cấu với mô hình số học và do đó đẳng cấu với nhau Thật vậy, nếu M là mọt mô hình nào đó của hệ tiên đề Hin-be... đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập không rỗng không giao nhau, sao cho: Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB và đường thẳng a không có điểm chung Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang 16 Mail: thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Định nghĩa: Hình gồm một trong hai tập hợp nói trên và đường thẳng a được gọi là nửa mặt... cùng thuộc một đường thẳng a) Hãy xây dựng mô hình của P Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi muân thuẫn b) Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập c) Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ Giải: a) Xây dựng một mô hình của hệ tiên đề P : Hoàng Thanh Trực – Lớp K11 SP Toán – Trường CĐSP Hà Giang 23 Mail: thanhtruchg93@gmail.com HÌNH HỌC CAO CẤP Ta gọi điểm là bộ ba số ( x; y; z ) với... là hình học trong đó tiên đề Ac-si-mét không đúng Hình học phi Ac-si-met là phi mâu thuẫn nên tiên đề Ac-si-met là độc lập  Hệ tiên đề hình học trong trường phổ thông: 5.5 Giới thiệu một hệ tiên đề hình học trong trường phổ thông Hệ tiên đề của Hin-be không dùng được trong trường phổ thông vì không thích hợp về mặt sư phạm Trong các sách giáo khoa cho học sinh phổ thông, người ta cố gắn đưa ra một hệ . kiến thức thuần túy của hình học. Trong 13 cuốn của “Cơ bản” có 8 cuốn dành cho Hình học phẳng và Hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách HÌNH HỌC CAO CẤP Hoàng Thanh Trực – Lớp. của hệ thống Hình học mới. Ngày nay, chúng ta gọi hệ thống hình học mà Lô-pa-sep-xki xây dựng là Hình học phi Euclid hay hình học Lô-pa-sep-xki. Tất nhiên nhiều kết quả của hình học Lô-pa-sep-xki. giác, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình chóp… Từ thế kỉ IV đến thế kỉ III trước công nguyên, các nhà Hình học ở Hy Lạp dần dần đã làm cho môn Hình học