1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 22 22 4 4 2 2 2 2 2 2 22 3 5( ) 2 19 49 / / 18 1/ ;2 / ;3/ ;4 / 3 35 ( ) 180 1 12 17 ( ) 4 5 5 5/ ;6/ ;7 / ;8/ 2 4 7 ( 1) 6 7 x y xy x y xy x y xy x y y x x y xy xy x y x y xy x y x y x y xy x y x y x y x y xy xy x y xy x y xy                                                               44 78 97xy       2 2 3 2 3 4 ( 1) (1 1 ) 4 ( )(1 1 ) 4 9/ ;10/ ;11/ 14 4 ( ) ( ) 1 4 x y x y y x x x y y x y xy xy xy x y y x x y x y y x xy xy xy y                               II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 13 4 1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/ 13 4 2 1 2 xyz x y z xy z x y z x yz x x x y yzt y z t yz x y z x y zx y ztx z t x y y x zx y z x y z xy z txy t x y                                                               3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 6/ ;7 / ;8/ 2 3 2 3 2 x x y x x y x y y y y x y y x y x x                            III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1 4 5 5 2 3 17 2 2 3 x xy y x xy y x y x y x y xy x y x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y                                                       2 2 5 5 3 3 2 2 3 3 2 5 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2 5 7( ) 31( ) 2 2 3 6/ ;7 / ;8/ ;9 / ;10/ 11( ) 3 2 1 3 1 x y x y x y x y x x y x xy y x y x y x y xy x y xy x y x y xy x y                                                    2 2 2 4 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 5 5 3 3 3 3 3 2 3 2 0 1 2 3 1 11/ ;12/ ;13/ ;14/ ;15/ 2 2 2 2 1 0 2 3 3 x y xy x y xy y x xy x y x y x y x y x y xy x y xy x y x y x xy y                                                   IV.Hệ phƣơng trình vô tỉ: 22 2 22 22 22 30 2 8 2 4 2 2 8 2 8 128 35 128 4 2 16 x y y x x y xy x y x y S P P x y x xy x x y y xy x y S P                                                22 33 2 2 2 2 3 3 2(1) 2 2 5 2 7 2( ) 3( ) ; ; ; 2 2 5 2 7 64 x y x y x y x y x y x y xy y x y x x y x y x y                                            ( bp (1) ) 2 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 22 3 2 1 20 / 20 2 2 7 ; ; ; ( ) 3 2 23 136 0 16 /5 x y x y y x x y x y x y x y x y x y xy xy x y x y x y x y x y                                               3 4 63 22 4 2 1 2 1 2 1 11 11/ ;12/ ;13/ ;14/ 1 2 1 2 5 8 2 2 11 22 xy xy xy xy y x x x y y yx x y xy                                         22 2 1 11 ( 3) 3 2 15/ ;16/ ;17 / ;18/ 2 1 1 1 1 1 xy x y x y y x x x x x y y x y x y x y x xy y x x y x y                                                 1 7 4 9 7 4 3 3 4 2 2 3 19/ ;20/ ;21/ ;22/ 3 1 7 4 9 7 4 2 x y x y x y x y y x x y xy y x y x y x                                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 2 91 2 23/ ;24/ ;25/ ;26/ 20 1 1 1 0,5 91 2 x y x y x y y x x y x y y x y xy x y x y x x y y y x x                                                          22 1 12 ( 3 ) 2 3 5 ( 42 ) 2 4 2 27 / ;28/ ;29/ 2 1 2 2 1 12 ( 3 ) 6 3 5 ( 42 ) 2 y x x y x y xy x y x y x y y x x y y x y y x x                                 V. Giải HPT bằng pp đánh giá: 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 2 4 6 4 2 2 2 2 2 1 2 /(1 ) 2 /(1 ) 1/ 1 2 1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ; 2 1/ 1 2 /(1 ) 4 /( 1) 1 12 x y yz xy x x y x x y xy z y xz y z y z y y z y y y z x z yx zx z z x z z z z x zx x y z                                                      22 2 2 2 2 4 6 3 4 4 5 7 2 2 1 4 1 ( 1) 12 11 ;; 11 1 2 1 4 1 2 1 4 xy z z xy x y x y z x y x y z x yz xy x yz xy                                         VI. Một số HPT khác: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 65 1/ 1/ 2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7 ; ; ; ; 21 ( ) 10 ( )( ) 15 2 2 x y x y x x y y y x y x x y x y x x y y x y x y yx x x y y x y x y x y x y xy                                                 22 2 2 2 2 2 2 (3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5 18 6 / ; ; ;9 / ( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49 x x y x x x x y x y xy x y x y xy x y x x y x x y x y x y                                      3 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 9 6 ( )( ) 45 10 / 7 ;11/ 4 9 189 189;12/ ( )( ) 63 ( )( ) 54 14 3 4 x y z x u v x y z x y x y z xy yz zx x y z x u v y z x y z z x x y z x y z xz y xv u                                                     5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2 13/ 7 12( );14 / 7 24( ); 0; 5;17 / ( ) 3 3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6 xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy                                                                 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 0 2 / ( 1) 1 1 3 4 11 18/ ;19 / 1 2 4 3 0 2( 1) 1 0 3 2 9 8 3 x y x y y x x x x y x y y x x y x y x y x y                                            22 2 2 2 2 33 22 22 1/ 1/ 1 ( ) 6 20/ ;21/ 18 27 2 2 2 1 2 1 1 2 xy xy x x y x y x y x y y y x y xy x y xy                                      3 2 2 2 2 3 4 16 1 2 22/ , 0 8 3 4 8 2;23/ 3 8 ( )(1 ) 1 x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y xy xy                         2 4 2 44 4 32 3 24/ ( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3 32 6 24 x x y x x x x y y VT x y x x y                             4 3 2 2 4 3 2 2 3 3 3 42 3 2 2 2 2 1 1 1 2 0 25/ ;26 / 1 1 1 ( 1)( 1) 0 2 x x y x y x x y x y x y x y y xx y xy x y x xy xy x x y x y                                             22 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 6 / ( ) 6 6 6 3 1;2 (1/ 2;1) 27 / 2 2;1 (1;2) 1/ 5 5 2 5 15 x y x y yz z y SP y xy x S y Pz x y z y S P x y x                                               3 3 3 3 3 3 3 22 1 19 / 16/ 3 1/ 19 19 28/ ;29 / / 9/ 2 1/ 6 / ( ) 6 6 x y x xy x y x y z y xy y x x y x y zy z y y xy x                                2 2 2 2 22 426 (2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0 31/ ;32 / ;33/ 2 1 (2 ) 0 0 2 6 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x xy y x xy y                                33 22 55 2 ( ) 6 3 5 34 ( 1)( 1) 3 34/ ;35/ ;36 / 6 3 18 ( 1)( 1) 6 30 32 x y xy x y x y z x x y y x y z xy x y xy                               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 3 1 7 2 2 2 2 38/ ;39 / ;40/ ;41/ ( ) 5 1 0 1 13 2 2 1 3 1 x x y xy x y x y x x x y x x y x x y xy y x y x y xy x y xy x                                   2 2 2 2 22 22 3 2 2 2 26 5 2( ) 1 1 3 42/ ;44 / ;45/ ;46 / 24 1 1 1 2 6 1 2 3 x y y x x y x y x y x y xy x y x y xy x xy x x y                             4 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 ( 1)(2 1) 6 2 5 2 1 0 47 / ;48/ ;49/ ( 1)(3 2) 2 3 3 6 3 0 4 12 12 10 0 x xy x y x y x y x xy y x y x y x y x xy x y x xy y x y                                         2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 3 2 0 2 2 3 0 1 13 50/ ;51/ ;52/ 1 12 3 32 5 0 3 1 0 x xy y x y x xy y x xy xy x y y x xy xy x y y x x y xy y y                                   22 22 22 2 2 / (1 ) 2 ( / 7) 53/ 2 0 2 / (1 ) 4 (2 / 7) 8 (4 / 7) 2 2 / (1 ) x x y y y x x y tan a x tan k y y z z x y z z y y z tan a y tan k x tan a z tan k z z x x x z z                                               22 2 22 2 22 6 ( ) 13 0 0 0 6 / 6 / 13 30 54/ 3 ( ) 5 0 0 0 6 / 6 / 10;55/ 20 6 / 6 / 5 6 ( ) 5 x y z yz x y z xy z xz y xy y x y y z x zx y z x xy z yz x x xy y z R x R y R xz y yz x z x y xy                                                             Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN. Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y = 1, thỏa mãn (1). Nếu Vậy HPT có nghdn x = y = 1. Từ ĐK của HPT Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 ) 2 2 4 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 4 1 4 1 2 1/ 2 58/ ;59 / ;60/ ;61/ ( ) 2 7 2 1 2 2 6 4 6 xy x y xy y x x y x y x x y y x y x y x y x xy y y x y xy                                                   62/ Tìm GT của m để HPT sau có nghiệm thực: 3 2 3 2 2 2 3 3 2 0(1) 1 3 2 0(2) x y y x x x y y m                 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 6 3 1 63/ ;64 / ;65/ ; 2 4 1 13 x y x y x y x xy x y x x y y x y x y x y                                   22 2 4 2 2 2 2 2 22 3 1 ( ) 4 4 6 9 0 66/ ;67 / ;68/ ; ( 1)( 2) 2 22 0 1 1 4 x y xy x y x y y x x y y x x y y x y x y xy                                     12 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (1 4 )5 1 3 3( ) 8 27 18 69/ ;70/ 71/ 7( ) 4 6 3 1/ 1 2 x y x y x y x xy y x y x y y x xy y x y x y x y x y y x y                                     5 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 22 2 2 2 33 21 4( ) 3/ ( ) 7 72/ ;73/ ;74/ 2 1/ ( ) 3 22 2 x y x y yx x xy y x y x x y x y y x y x y                            75/ 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 22 3 9 ( )( 9) 22 3( )(1) 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1(2) x x x y y y x y x y xy x y x y x y x y                            Từ (2) : 1 2 ; 1 2a x cosa y sina      . Thay vào (1) ta được: (1 )(3 2 ( ) 2 37 4) 22 3(1,5 )cosa sina cosa sina cosasina cosa sina cosa sina            Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành: 23 (1 )(1,5 (1 ) 2 2 37 4) 22 3(1,5 ) 2 39 41 0 1( 2)t t t t t t t t t                2 ( 4) 1 2 2 2cos a a k k              HPT có 2 nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 ) VII. Biện luận hệ phƣơng trình: 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: 22 (1) x y xy m x y m        Giải: Đặt S = x + y; P = xy 22 & 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/3S P m S P m S S m m m                . Để (1) có nghiệm thì 22 4 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m                  . Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: 2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m            ( do 0m  từ pt thứ hai của hệ 2/ Giải và bl hpt: 2 2 2 2 x xy y mx y xy x my            Giải: Trừ các vế của 2 pt ta đƣợc: ( )( 1 ) 0x y x y m     a/ 2 3 ( 1) 0 0;( 1)/3x y x m x x m        b/ 2 1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m             Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm 0; ( 1)/3x y x y m     +/ 15mm   : hpt có nghiệm: 0; ( 1)/3x y x y m     ; 11 ( ; ) 22 mm     3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 22 22 1(1) 3 2 (2) x xy y x xy y m            6 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN Giải: Đặt 22 (1): ( 1) 1x ty y t t     (3). Vì 2 10tt   với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra: 2 2 2 ( 3 2)/( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m            (4). +/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm. +/ 1:m  (4) có 3( 4)( 6)mm     . Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 46m   . 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3 1 1 1 1 xy x y y x x y m                  Giải: hpt đã cho tđ với: 22 3( , 0) 3 /3 ( 1) ( 1) u v u v S Pm u v v u u v m                  hpt có nghiệm khi 0 27/4m . 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x ax x y x ay            Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: 00 ( ; )xy thì nó cũng có nghiệm 00 ( ; )yx do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì 32 0 0 0 0 0 50x y x x ax     . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4 0 25/4aa      . b/ đk đủ: hpt tđ với 2 3 2 22 4 ( ) 3( ) 0 x y y ay x y x xy y x y a                  . Do pt 22 3( ) 0x xy y x y a       22 ( 3) 3 0x y x y y a      có 2 2 2 ( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0 x y y y a y y a y             vì ' 12(3 ) 0 y a    do a > 25/4 . Với x = y thì hpt trở thành 2 ( 5 ) 0x x x a   . Do 25/4 25 4 0aa      nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất. 6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a x y a          Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc: 2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y       a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ 0a  : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0). 7 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN MỘT SỐ BÀI TẬP: 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 22 2 4 34 x xy y k y xy          2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4 (13/3 7) 3 xy m x y m            3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my            có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 2 21 ( 1) () x y xy m m xy x y m m            5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 22 22 3 2 11 59 3897 59 3897 44 2 3 17 x xy y m x xy y m                  6/ Cho HPT: 22 ( )& ( )x my m d x y x C    . Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm 1 1 2 2 ( ; )&( ; )x y x y hãy tìm GT của m để GTBT 22 2 1 2 1 ( ) ( )S x x y y    đạt GTLN ( m = 1/2 ) // . 1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I .Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 22 22 4 4 2 2 2 2 2 2 22 3 5( ) 2 19 49 / / 18 1/. b/ 0a  : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0). 7 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN MỘT SỐ BÀI TẬP: 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 22 2 4 34 x xy y k y xy          . x x y x y y y y x y y x y x x                            III .Hệ phƣơng trình đẳng cấp: 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3)