Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tìm cực trị của Hàm Số
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -41- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số fxác ñịnh trên tập hợp ( )D D⊂ℝ và 0x D∈ 0)a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số fnếu tồn tại một khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xsao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x< với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f xñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f. 0)b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số fnếu tồn tại một khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xsao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x> với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f xñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu 0xlà một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số fñạt cực trị tại ñiểm 0x. Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp ( )D D⊂ℝ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số fñạt cực trị tại ñiểm 0x. Khi ñó , nếu fcó ñạo hàm tại ñiểm 0xthì ( )0' 0f x= Chú ý : • ðạo hàm 'fcó thể bằng 0tại ñiểm 0x nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 0x. • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số fliên tục trên khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xvà có ñạo hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b. Khi ñó : )a Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0' 0, ;' 0, ;f x x a xf x x x b< ∈> ∈thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. Nói một cách khác , nếu ( )'f xñổi dấu từ âm sang dương khi xqua ñiểm 0xthì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. x a 0x b ( )'f x − + ( )f x ( )f a ( )f b ( )0f x )b Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0' 0, ;' 0, ;f x x a xf x x x b> ∈< ∈thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. Nói một cách khác , nếu ( )'f xñổi dấu từ dương sang âm khi xqua ñiểm 0xthì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -42- x a 0x b ( )'f x + − ( )f x ( )0f x ( )f a ( )f b ðịnh lý 3: Giả sử hàm số fcó ñạo hàm cấp một trên khoảng ( );a bchứa ñiểm 0x,( )0' 0f x=và fcó ñạo hàm cấp hai khác 0tại ñiểm 0x. )a Nếu ( )0'' 0f x<thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. )b Nếu ( )0'' 0f x>thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. 4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 • Tìm ( )'f x • Tìm các ñiểm ( )1,2, 3 .ix i=tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. • Xét dấu của ( )'f x. Nếu ( )'f xñổi dấu khi xqua ñiểm 0xthì hàm số có cực trị tại ñiểm 0x. Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 • Tìm ( )'f x • Tìm các nghiệm ( )1,2, 3 .ix i=của phương trình ( )' 0f x=. • Với mỗi ix tính ( )'' .if x − Nếu ( )'' 0if x< thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ix. − Nếu ( )'' 0if x> thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ix. Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : ( )3 21 5) 33 3a f x x x x= − − + ( ) ( )) 2b f x x x= + ( ) ( )) 3c f x x x= − ( ))d f x x= Giải : ( )3 21 5) 33 3a f x x x x= − − + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( ) ( )2' 2 3 ' 0 1, 3f x x x f x x x= − − = ⇔ = − = Cách 1. Bảng biến thiên x −∞ 1− 3 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x 103 +∞ −∞ 223− Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -43- Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )101, 13x f= − − =, hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )223, 33x f= = − Cách 2 : ( )'' 2 2f x x= − Vì ( )'' 1 4 0f − = − <nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )101, 13x f= − − =. Vì ( )'' 3 4 0f = > hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )223, 33x f= = −. ( ) ( )( )( )2 0) 22 0x x khi xb f x x xx x khi x+ ≥= + =− + < Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ. Ta có ( ) ( )2 2 0 0' ' 0 12 2 0x khi xf x f x xx khi x+ > >= = ⇔ = −− − < Hàm số liên tục tại 0x =, không có ñạo hàm tại 0x =. Bảng biến thiên x −∞ 1− 0 +∞ ( )'f x + 0 − + ( )f x 1 +∞ −∞ 0 Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= − − =, hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = ( ) ( )) 3c f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ.( )( )( )3 03 0x x khi xf xx x khi x− ≥=− − < . Ta có ( )( )( )3 102' ' 0 130 02xkhi xxf x f x xxx khi xx−>= = ⇔ =−− > <− + x −∞ 0 1 +∞ ( )'f x + − 0 + ( )f x 0 +∞ −∞ 2− Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= =, hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm ( )1, 1 2x f= = − ( ))d f x x= Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -44- Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ.( )00x khi xf xx khi x≥=− < . Ta có ( )1 0'1 0khi xf xkhi x>=− < Bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ ( )'f x − + ( )f x +∞ +∞ 0 Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau : ( )2) 4a f x x x= − ( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − ( )) 2 sin 2 3c f x x= − ( )) sin 2 2d f x x x= − + Giải : ( )2) 4a f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 2;2 − Ta có ( ) ( ) ( )224 2) ' , 2;2 ' 0 2, 24xa f x x f x x xx−= ∈ − = ⇔ = − =− ( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi xqua ñiểm 2−thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2,x= − ()2 2f − = − ( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi xqua ñiểm 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2,x = ()2 2f = Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: x 2− 2− 2 2 ( )'f x − 0 + 0 − ( )f x 0 2 2− 0 ( )) 3 2 cos cos 2b f x x x= − − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -45- Ta có ( ) ( )' 2 sin 2 s in2 2 sin 1 2 cosf x x x x x= + = + ( )sin 0' 0 ,1 2 2cos cos 22 3 3x x kf x kx x kππ ππ = = = ⇔ ⇔ ∈ = − = = ± + ℤ. ( )'' 2 cos 4 cos2f x x x= + 2 2'' 2 6 cos 3 03 3f kπ ππ ± + = = − < . Hàm số ñạt cực ñại tại 223x kππ= ± +, 2 12 43 2f kππ ± + = ( )'' 2 cos 4 0,f k k kπ π= + > ∀ ∈ ℤ. Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( ), 2 1 cosx k f k kπ π π= = − ( )) 2 sin 2 3c f x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ. Ta có ( ) ( )' 4 cos2 , ' 0 cos2 0 ,4 2f x x f x x x k kπ π= = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ ( )8 2'' 8 sin 2 , '' 8 sin8 2 14 2 2khi k nf x x f k kkhi k nπ π ππ− = = − + = − + = = + Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ; 14 4x n f nπ ππ π = + + = − và ñạt cực ñại tại ( ) ( )2 1 ; 2 1 54 2 4 2x n f nπ π π π = + + + + = − ( )) sin 2 2d f x x x= − + Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ,6x k kππ= − + ∈ ℤvà ñạt cực tiểu tại các ñiểm ,6x k kππ= + ∈ ℤ. Ví dụ 3 : 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số ( )( )3 31 1,x m m x my f x mx m− + + += =− luôn có cực ñại và cực tiểu . 2 . Với giá trị nào của m,hàm số ( ) ( )3 2, 2 3y f x m m x x mx m= = + + + + có cực ñại , cực tiểu . 3 . Với giá trị nào của m,hàm số ( )2,mx x my f x mx m+ += =+ không có cực ñại , cực tiểu . 4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số kñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )4 2, 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + −chỉ có một ñiểm cực trị. 5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số ( )4 21 3,2 2y f x m y x mx= = = − +có cực tiểu mà không có cực ñại. Giải : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -46- Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m=ℝ. Ta có ( )( )( )( )2 22 22 22 1' , , 2 1g xx mx my x m g x x mx mx m x m− + −= = ≠ = − + −− − Dấu của ( )g x cũng là dấu của 'y và ( )2 2' 1 1 0 ,gm m m∆ = − − = > ∀ . Do ñó m∀ thì ( )0g x = luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 21, 1x m x m= − = + thuộc tập xác ñịnh . x −∞ 1m − m 1m + +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x +∞ +∞ −∞ −∞ 'y ñổi dấu từ dương sang âm khi xqua ñiểm 11x m= −thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 11x m= − 'y ñổi dấu từ âm sang dương khi xqua ñiểm 21x m= +thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 21x m= + 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( )2' 3 2 6y m x x m= + + + Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình ' 0y=có hai nghiệm phân biệt hay ( )( )222 023 1' 9 3 2 03 2 3 0mmmmm mm m≠ −+ ≠≠ − ⇔ ⇔ ⇔ − < <∆ = − + >− − + > Vậy giá trị m cần tìm là 3 1, 2m m− < < ≠ −. 3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( )2 222'mx m xyx m+=+ Hàm số không có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y=không ñổi dấu qua nghiệm , khi ñó phương trình ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép • Xét 0 ' 0, 0m y x m m= ⇒ = ∀ ≠ − ⇒ = thoả . • Xét 0m≠. Khi ñó 4' m∆ = Vì ( )4' 0, 0 0m m g x∆ = > ∀ ≠ ⇒ =có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số mñể ( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Vậy 0m= thoả mãn yêu cầu bài toán . 4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( )3' 4 2 1y kx k x= − − ( )20' 02 1 0 *xykx k== ⇔+ − = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -47- Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình ' 0y= có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó .Khi ñó phương trình ( )22 1 0 *kx k+ − = vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x= ( )00 000 1 1' 2 1 0kk kkk k kk k= = ≤≠⇔ ⇔ ⇔ < ∨ ≥ ≥ ∆ = − − ≤ Vậy 0 1k k≤ ∨ ≥ là giá trị cần tìm . 5 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( )320' 2 2 ' 0*xy x mx yx m== − = ⇔= Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình ( )2*x m= vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 0m⇔ ≤ Vậy 0m ≤ là giá trị cần tìm. Ví dụ 4 : 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( )21x mxy f xx m+ += =+ ñạt cực ñại tại 2.x = 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 23 1y f x x m x m= = + + + − ñạt cực ñại tại 1.x = − 3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 26 3 2 6y f x x x m x m= = − + + − − ñạt cực ñại và cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( )221x mxy f xx+ += =− có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol ( )2: 4P y x x= + − Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( )( )2 222 1' ,x mx mf x x mx m+ + −= ≠ −+ Nếu hàm số ñạt cực ñại tại 2x = thì ( )23' 2 0 4 3 01mf m mm= −= ⇔ + + = ⇔= − 3m = − , ta có ( )( )( )2226 8' , 3 ' 043xx xf x x f xxx=− += ≠ = ⇔=− Bảng biến thiên : x −∞ 2 3 4 +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1 +∞ +∞ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -48- −∞ −∞ 5 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại 2x = , do ñó 3m = − thoả mãn . Tương tự với 1m = − Cách 2 : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( )( )2 222 1' ,x mx mf x x mx m+ + −= ≠ −+ ( )32'' ,y x mx m= ≠ −+ Hàm số ñạt cực ñại tại 2x = khi ( )( )( )( )22311 04 3 0' 2 0 1 322 32 2'' 2 0022m my m mmm mmymm− =+ + == = − ∨ = −+ ⇔ ⇔ ≠ − ⇔ ⇔ = − < −< << −+ Vậy 3m = − là giá trị cần tìm. 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )20' 3 2 3 3 2 6 ' 02 63xf x x m x x x m f xmx== + + = + + ⇒ = ⇔+= − x −∞ 2 63m +− 0 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x Hàm số ñạt cực ñại tại 2 6 31 1 .3 2mx m+= − ⇔ − = − ⇔ = − 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có : ( )2' 3 12 3 2y x x m= − + +. Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y =có hai nghiệm phân biệt ( )' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + > 2 0 2m m⇔ − > ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 . 3 12 3 2 2 2 2 2 . ' 2 2 23 3y x x x m m x m x y m x m = − − + + + − + − = − + − + − Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì 1 2,x x là nghiệm của phương trình ( ) ( )23 12 3 2 0g x x x m= − + + =. Trong ñó : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -49- ( ) ( ) ( )( )( )1 1 1 11 1112 . ' 2 2 22 2 23' 0y x y x m x my m x my x= − + − + −⇒ = − + −= ( ) ( ) ( )( )( )2 1 2 22 2212 . ' 2 2 22 2 23' 0y x y x m x my m x my x= − + − + −⇒ = − + −= Theo ñịnh lý Vi-ét , ta có : 1 2 1 24, 2x x x x m+ = = + Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 2 1 2. 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0y y m x m m x m m x x > ⇔ − + − − + − > ⇔ − + + > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 4 2 1 0 2 4 2 1 0 2 4 17 0m x x x x m x x x x m m ⇔ − + + + > ⇔ − + + + > ⇔ − + > 1742mm> −⇔≠ So với ñiều kiện bài toán , vậy 1724m− < < là giá trị cần tìm . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\ 1D =ℝ Ta có ( )( )2222 2' , 1 2 21x x my x g x x x mx− − −= ≠ = − − −− Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình ( )0, 1g x x= ≠ có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( )( )' 1 2 0 3 0331 3 0m mmmg m∆ = − − − > + > ⇔ ⇔ > − ≠ −= − − ≠ Khi ñó 1 12 231 3 1 3 1 2 2 33' 031 3 1 3 1 2 2 33mx m y m m m mmymx m y m m m mm+= − + ⇒ = − + + + + = + − +− += ⇔+= + + ⇒ = + + + + + = + + ++ Bảng biến thiên : x −∞ 1x 1 2x +∞ ( )'f x + 0 − − 0 + ( )f x 1y +∞ +∞ −∞ −∞ 2y Dựa vào bàng biến thiên suy ra ()1 3; 2 2 3A m m m+ + + + + là ñiểm cực tiểu của hàm số . ( )()22 2 3 1 3 1 3 4 3 1A P m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -50- ( )()22 2 3 1 3 1 3 4 3 1 2A P m m m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + − ⇔ + = ⇔ = − So với ñiều kiện bài toán ,vậy 2m = − là giá trị cần tìm. Ví dụ 5 : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( )3 2f x ax bx cx d= + + +ñạt cực tiểu tại ñiểm 0,x = ( )0 0f = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( )3 2f x x ax bx c= + + +ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1; 0A. 3. Tìm các hệ số ,a b sao cho hàm số ( )2ax bx abf xax b+ +=+ñạt cực trị tại ñiểm 0x = và 4x =. Giải : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( )3 2f x ax bx cx d= + + +ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= =và ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= = Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( ) ( )2' 3 2 , '' 6 2f x ax bx c f x ax b= + + = + Hàm số ( )f xñạt cực tiểu tại 0x = khi và chỉ khi ( )( )( )' 0 0 0 012 0 0'' 0 0f c cb bf = = = ⇔ ⇔ > >> Hàm số ( )f xñạt cực ñại tại 1x = khi và chỉ khi ( )( )( )' 1 0 3 2 026 2 0'' 1 0f a b ca bf= + + = ⇔ + << ( ) ( ) ( )0 0 0 , 1 1 1 1 0 3f d f a b c d hay a b c do d= ⇒ = = ⇒ + + + = + + = = Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3suy ra 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = Ta kiểm tra lại ( )3 22 3f x x x= − + Ta có ( ) ( )2' 6 6 , '' 12 6f x x x f x x= − + = − + ( )'' 0 6 0f = >. Hàm số ñạt cực tiểu tại 0x = ( )'' 1 6 0f = − <. Hàm số ñạt cực ñại tại 1x = Vậy : 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( )3 2f x x ax bx c= + + +ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( )1; 0A. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có ( )2' 3 2f x x ax b= + + [...]... 7. )a Tìm ,a b để các cực trị hàm số ( ) 2 3 2 5 2 9 3 f x a x ax x b= + − + ñều là những số dương và 0 5 9 x = − là ñiểm cực ñại . )b Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 3 2 y x ax bx c= + + + có giá trị bằng 1 khi 0x = và ñạt cực trị tại 2x = , giá trị cực trị là 3− . )c Tìm ,a b để các cực trị hàm số 2 2 x ax b y x + + = − ñạt cực trị tại 3x = và ñường... x = − 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( ) 2 2 1 4 2 ( ) . 1 x m x m m y f x x − + − + − = − có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số ( ) 2 2 3 2 ( ) 1 x m x m y f x x + + + + = = + có giá trị cực trị , đồng thời 2 2 1 2 CT y y + > CĐ . Giải : 1. Hàm số ñã cho xác... + = = − ln có cực đại và cực tiểu . 2 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2 , 2 3y f x m m x x mx m= = + + + + có cực đại , cực tiểu . 3 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) 2 , mx x m y f x m x m + + = = + khơng có cực đại , cực tiểu . 4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( ) 4 2 , 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + − chỉ có một điểm cực trị. 5 . Xác... kiện bài toán ,vậy 2m = − là giá trị cần tìm. Ví dụ 5 : 1. Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2 f x ax bx cx d= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm 0,x = ( ) 0 0f = và ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 1, 1 1x f= = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2 f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( ) 1; 0A . 3. Tìm các... + − ñạt cực ñại tại 1.x = − 3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( ) 3 2 6 3 2 6y f x x x m x m= = − + + − − ñạt cực ñại và cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2 2 1 x mx y f x x + + = = − có điểm cực tiểu nằm trên Parabol ( ) 2 : 4P y x x= + − Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { } \D m= −ℝ và có đạo hàm ( ) (... x= − + = − + ( ) '' 0 6 0f = > . Hàm số ñạt cực tiểu tại 0x = ( ) '' 1 6 0f = − < . Hàm số ñạt cực ñại tại 1x = Vậy : 2, 3, 0, 0a b c d= − = = = 2. Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2 f x x ax bx c= + + + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm 2x = − và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm ( ) 1; 0A . Hàm số đã cho xác định trên ℝ . Ta có ( ) 2 ' 3... = , gọi ,M N là ñiểm cực ñại , cực tiểu của hàm số . Tính độ dài MN 2 )a Trường hợp 1p q= = ,một ñường thẳng ( ) t ln tiếp xúc với đồ thị hàm số ( ) * tại K thuộc ñồ thị hàm số ( ) * ñồng thời cắt hai trục tọa ñộ tại hai ñiểm phân biệt ,E F . Tìm tọa độ điểm K để K là trung ñiểm EF )b Giả sử 1 2 ;x x lần lượt là hồnh độ cực đại , cực tiểu của hàm số . Tìm các số thực ,p q sao cho... +∞ −∞ 2− Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( ) 0, 0 0x f= = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm ( ) 1, 1 2x f= = − ( ) )d f x x= Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -59- 2. Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác ñều. Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh... 2. Tìm cực trị của các hàm số sau : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -66- )a ( ) 4 3 2 4 2 3 y f x x mx x= = − − )b ( ) 2 2 3 2 x mx m y f x x + + − = = + )c ( ) 2 1 x mx m y f x x − + = = − 6. )a Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) 2 2 2 2 , 1 x m x m y f x m x + + = = + có cực đại , cực tiểu )b Với giá trị nào của m ,hàm số (... ( ) ' 0 1, 1f x x x= ⇔ = − = Hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 0;2A và ñạt cực tiểu tại các ñiểm ( ) ( ) 1;1 , 1;1B C− 3. Chứng minh rằng với mọi m ñồ thị của hàm số 3 2 4 3y x mx x m= − − + ln có cực đại , cực tiểu và . 0 C CT x x < Ñ 4. Cho hàm số ( ) ( ) * 1 q f x x p x = + + + )a Tìm các số thực ,p q sao cho hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2x = − và ( ) 2 2f − = . xñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu 0xlà một ñiểm cực trị của hàm số f thì người. hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 0x. • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị