PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH ®Ò kiÓm tra chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9 M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1. (2®) Cho biểu thức: A= x x x x xx x − + − − + − +− − 3 12 2 3 65 92 a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Bài 2. (2®) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2 x + 2 21 xx −− Bài 3. (2®) Giải phương trình: 22 2 84 4 xx x −=−+ Bài 4. (3®) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của các đường trung trực ∆ ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các ∆ ABC và ∆ ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh: a, GH HI AD DO = b, ∆ ADG ~ ∆ DOE Từ đó suy ra OE ⊥ CD Bµi 5. (1®) Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Híng dÉn chÊm to¸n 9 C©u Néi dung §iÓm 1 a, Điều kiện : 0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 3 2 1 5 6 2 3 2 9 3 2 1 = 2 3 3 2 2 9 3 3 2 1 2 = 3 2 2 9 9 2 4 2 = 3 2 1 2 2 1 = 3 3 2 3 2 x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + = − − − + − − − + + − + − − − − − − + − + + − − − − − + + + − − − − + − − − + = = − − − − − b, A 3 4 1 − += x nguyên 3 4 − ⇔ x nguyên 3−⇒ x ∈ Ư(4) * 3−x = 1 16=⇒ x * 3−x = -1 4=⇒ x (loại) * 3−x = 2 25=⇒ x * 3−x = -2 1=⇒ x * 3−x =4 49=⇒ x * 3−x =- 4 : Không có x Vậy x ∈ {1;16;25;49} 2 + ĐK: 1- x- 2x 2 0 ⇔ (x+1)(1-2x) 0 ⇔ - 1 x 2 1 + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x 2 ) . Ta có: 2 2 1 1 2 1.(1 2 ) 2 x x x x + − − ≥ − − Hay 2 2 2 2 1 2 2 x x x x − − − − ≤ 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x − − ⇔ + − − ≤ + 2 1 1B x⇔ ≤ − ≤ Dấu bằng xẩy ra 2 1 1 2 0 0 x x x x  = − − ⇔ ⇔ =  =  Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0 ≥ ≥ ≤ ≤ 3 22 2 84 4 xx x −=−+ (1) ĐK: 04 2 ≥−x 222 ≤≤ x ⇔ (2) 08 2 ≥− x 222 −≤≤− x (1) ⇔ 2 2 2 2 22 2 22 8 4 )24( 8 4 4444 8 4 44 x x x xx x xx −= +− ⇔−= +−+− ⇔−= −+ )4(26421448 2 24 22222 2 xxxxx x −+=−⇔−=−⇔−= +− ⇔ (*) Đặt )0(4 2 ≥=− ttx (*) trở thành: 0)2)(32(06226 22 =+−⇔=−+⇔−= tttttt ⇔ 2 5 4 25 4 9 4 2 3 22 ±=⇔=⇔=−⇔= xxxt (thoả mãn 2) 2−=t (loại) Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 2 5 ±=x 4 a, ∆ GHI ~ ∆ ADO GH HI AD DO ⇒ = b, GH AD HI DO ⇒ = ; mà DE = 2 3 DF = 2 2 3 HC HI= GH = 1 2 AG GH AG AD HI DE DO = = Mặt khác góc DAG bằng góc ODE Suy ra ∆ ADG ~ ∆ DOE Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE ⊥ CD A B C H D F G I O E 5 - Ký hiệu: + Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là m a , m b , m c và h a , h b , h c + Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c + Diện tích tam giác ABC là S - Ta có 2S < a.h a = b.h b = c.h c (1) có ah a < am a < a (2) vì m a < 1 Tương tự: bh b < b (3); ch c < c (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5) mà a < 2 3 (m b + m c ) < 2 2 4 3 3 3 + = (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1) Tương tự b < 4 3 , c < 4 3 . Vậy từ (5) suy ra S < 0,666 hay S < 0,67 Ghi chó: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa . Không có x Vậy x ∈ {1;16;25;49} 2 + ĐK: 1- x- 2x 2 0 ⇔ (x+1)( 1-2 x) 0 ⇔ - 1 x 2 1 + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và ( 1- x- 2x 2 ) . Ta có: 2 2 1 1 2 1.(1 2 ) 2 x. − b, A 3 4 1 − += x nguyên 3 4 − ⇔ x nguyên 3−⇒ x ∈ Ư(4) * 3−x = 1 16=⇒ x * 3−x = -1 4=⇒ x (loại) * 3−x = 2 25=⇒ x * 3−x = -2 1=⇒ x * 3−x =4 49=⇒ x * 3−x =- 4 : Không có x Vậy x ∈ {1;16;25;49} 2 +. PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH ®Ò kiÓm tra chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9 M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót Bài 1. (2®) Cho biểu thức: A= x x x x xx x − + − − + − +− − 3 12 2 3 65 92