PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Giải phương trình a. 2 10 27 6 4x x x x− + = − + − b. 2 2 2011 2006 2x x− − − = Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − , với m tham số m 2≠ . a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 3. a. Cho B = 11 1122 225 1n n+ 12 3 1 2 3 ; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5. Chứng minh B là số chính phương. b. Cho p là số nguyên tố; 5p ≥ . Chứng minh rằng nếu 2 1p + là số nguyên tố thì: 2 2 1p + là hợp số. c. Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên ( ; )x y thỏa mãn: 2 2 2 2 2011x y− − = d. Cho ; ; 0x y z > và 1x y z+ + ≥ , chứng minh: 3 3 3 2 2 2 1 x y z y z x + + ≥ Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M. Qua M kẻ dây cung CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q. Chứng minh: a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO tại P. Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy. (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận) Hết./. ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a 2 10 27 6 4x x x x− + = − + − , Điều kiện: 4 6x ≤ ≤ HS biến đổi: 2 2 ( 2. .5 25) 2 ( 5) 2 2VT x x x= − + + = − + ≥ , Dấu “=” xẩy ra khi 5x = 2 2 1. 6 1. 4 (1 1 )(6 4) 2VP x x x x= − + − ≤ + − + − = , Dấu “=” xẩy ra khi 5x = Vậy nghiệm: 5x = thỏa mãn điều kiện 4 6x ≤ ≤ 0,25 0,25 0,25 1,75 b 2 2 2011 2006 2x x− − − = , ĐK: 2 0 2006x≤ ≤ Nhân 2 vế với : 2 2 2011 2006 0x x− + − > và biến đổi đưa về hệ PT: 2 2 2 2 2 2 2011 2006 2 9 81 32095 2011 2011 5 4 16 4 2011 2006 2 x x x x x x x  − − − =  ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ±   − + − =  Đối chiếu điều kiện: 32095 4 x = ± thỏa mãn. 0,25 0,5 0,25 2 a (d) : 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − ; với m tham số, 1;2m ≠ Gọi 0 0 ( ; )x y là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có: 0 0 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − , Với mọi m 0 0 0 0 2 2 2 2my y x mx⇔ − = − + , m∀ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 ( 2 ) 2 2 2 0; 2 2 2 0 2 y x x m y x y x m y x y + = =   ⇔ + − − − = ∀ ⇔ ⇔   − − − = = −   0,5 0,5 1,75 b Nhận thấy (d) không đi qua O Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A 1 ;0 1m    ÷ −   Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 2 0; 2m    ÷ −   Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + Hay 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 2) ( 1) 4 A B m m OH x y OH − = + ⇔ = − + 2 2 2 2 4 2 4( 1) ( 2) 5 12 8 OH OH m m m m ⇔ = ⇔ = − + − − + 0,25 0,25 HD CHẤM (Gồm 3 trang) 2 2 2 2 5 6 4 4 5( ) 5 5 5 OH m ⇔ = ≤ = − + ; Dấu “=” xẩy ra 6 5 x = . Xét 1 2m y= ⇒ = − ; K/c từ O đến (d) bằng 2 5< . Vậy ax 6 5 5 m OH x= ⇔ = 0,25 3 a B = 2 11 1122 225 11 11.10 22 22.10 5 1 1 n n n n n + = + + + + 12 3 1 2 3 123 1 2 3 1 2( 1) 2 2 2 10 1 10 1 10 10 2.10 25 .10 2. .10 5 9 9 9 n n n n n n B + + + + + − − − + + = + + = 2 2( 1) 1 1 10 10.10 25 10 5 9 3 n n n+ + +   + + + = =  ÷   vì ( 1 10 5 n+ + ) 3M Nên B là số chính phương 0,25 0,25 2,0 b p là số nguyên tố; 5p ≥ nên p lẻ và p không chia hết cho 3 1p⇒ + chẵn ( 1) 2p⇒ + M ; p chia cho 3 dư 1 hoặc 2 HS lập luận để chứng tỏ 2 2 1p + là hợp số. 0,2 0,3 c 2 2 2 2 2 2 2011 2 2013x y x y− − = ⇔ = + ⇒ x lẻ, đặt 2 1;( )x k k Z= + ∈ thay vào ta có: 2 2 2 2 2 4 4 2012 2 2 1006y k k y k k= + − ⇔ = + − (1) y⇒ chẵn, 2 ; ( )y t t z= ∈ Thay ;x y vào (1) và biến đổi: 2 2 ( 1) 503 (2)t k k= + − Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên liên tiếp). Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy ra ⇔ Không tồn tại cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 2 2 2011x y− − = 0,25 0,25 d ; 0x y > ; xét 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 2 2 3 . 3 3 2 x x y x y y x y xy x y y + = + + ≥ = ⇔ ≥ − Chứng minh tương tự: 3 2 3 2 y y z z ≥ − ; 3 2 3 2 z z x x ≥ − Cộng vế theo vế ta có: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 (2 2 2 ) 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + − + + = + + = ⇔ + + ≥ (Đpcm) 0,25 0,25 0,25 N Q D M A B O P C 2,5 4 a Gọi giao điểm của QO và CD là N. HS áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại Q để suy ra: CD QO⊥ tại N, ⇒ ∆ MNO vuông tại N ⇒ OM>ON ⇒ AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây ) 0,5 0,5 b HS áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: ∆ OAP, ∆ OQC có: 2 2 . ; .AO OM OP OC ON OQ= = mà OA = OC nên OM . OP = ON . OQ 0,25 0,25 Từ c/m đã có: OM . OP = ON . OQ OM OQ ON OP ⇔ = (1) Xét ∆ MON và ∆ QOP có · POQ chung và (1) ∆ MON đồng dạng ∆ QOP ⇒ · · 0 90ONM OPQ= = hay QP ⊥ PO tại P 0,25 0,25 0,25 5 Vẽ hình cả 2 trường hợp: + At cắt xy + At // xy 0,25 2,0 Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O): + Nếu At cắt xy tại P: dựng phân giác của góc tạo bởi At và xy, Phân giác đó cắt OA tại K. Dựng (K; KA) là đường tròn cần dựng. + Nếu At // xy: Dựng giao của OA với xy tại I, Dựng K là trung điểm của AI, dựng (K; KA) 0,25 0,5 0,5 Biện luận: + Nếu OA xy⊥ bài toán có 1 nghiệm hình. + Nếu OA không vuông góc xy thì At tạo với xy hai góc nên bài toán có 2 nghiệm hình. 0,25 0,25 Học sinh giải các cách khác phù hợp và đúng theo yêu cầu vẫn chấm điểm tối đa t y x K K' P O A . ≤ 0,25 0,25 0,25 1,75 b 2 2 2011 2006 2x x− − − = , ĐK: 2 0 2006x≤ ≤ Nhân 2 vế với : 2 2 2011 2006 0x x− + − > và biến đổi đưa về hệ PT: 2 2 2 2 2 2 2011 2006 2 9 81 32095 2011 2011 5 4 16 4 2011 2006 2 x. THỨC (Đề gồm 1 trang) PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: