85 KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN NCS. NGUYỄN ĐẮC HƯNG Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất. Đây là vấn đề khá phức tạp, nên người ta chỉ tìm nghiệm riêng mà chưa tìm được nghiệm tổng quát. Trong công trình này, tác giả trình bày cách thiết lập và giải bài toán nói trên và tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích. Kết quả này là cơ sở nghiên cứu bài toán hạ chìm kết cấu là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép hai máy rung. Đặt vấn đề Trong các tài liệu [1], [2], [3], [4] đã có một số tác giả nghiên cứu bài toán dao động của hệ có hai bậc tự do và ứng dụng của nó vào bài toán hạ chìm kết cấu được coi là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép. Nhưng các tác giả chưa tìm được nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích tường minh. Trong công trình này, chúng tôi tiếp tục khảo sát bài toán dao động của hệ có hai bậc tự do và tìm nghiệm tổng quát dưới dạng giải tích tường minh. Thiết lập bài toán 1. Mô tả bài toán Hệ dao động gồm hai máy rung khối lượng m 1 , m 2 đặt trên hệ lò xo có đó cứng là C 1 , C 2 và bộ giảm chấn có hệ số là α 1 , α 2 , chịu lực cưỡng bức P 1 , P 2 . Vận tốc góc của 2 máy rung là ω. Toạ độ của máy một và máy hai tại vị trí cân bằng là h 1 , h 2 . F ms là ma sát nhớt ở mặt bên của máy một (hình 1). 2. Thiết lập và giải phương trình vi phân chuyển động 2.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Áp dụng phương trình Lagrange loại II, ta có: i ii Q q T q T dt d       )(  i=1,2 (1) T: động năng của hệ: 2 22 2 11 2 1 2 1 qmqmT   (2) Q i (i=1,2) là các lực suy rộng gồm lực có thế, lực cản, lực kích động. p i ii i Q qq Q          (3)  : thế năng của hệ. 2 122 2 11 )( 2 1 2 1 qqCqC   (4)  : hàm hao tán của hệ. 2 1 2 122 2 11 2 1 )( 2 1 2 1 qkqqq    (5) Q i p (i=1,2) là các lực cưỡng bức suy rộng: Q 1 p = P 1 cosωt + P 2 cosωt; Q 2 p = P 2 cosωt (6) Đạo hàm T,  và  theo toạ độ và vận tốc suy rộng, sau đó thay vào (1) ta có:           tPqqCqqqm tPPqqCqC qqqkqm    cos)( cos)()( )()( 212212222 2112211 1221111   (7) 2.2. Giải hệ phương trình vi phân chuyển động (7) Điều kiện đầu : q 1 (0) = h 1 ; q 2 (0) = h 2 ; h 2 h 1 C 1  1  2 C 2 q 2 q 1 F ms   P 2 P 1 m 2 m 1 86 0)0(;0)0( 21  qq  Các hệ số m, m 2 , α 1 , α 2, C 1 , C 2 , P 1 , P 2 , k, ω, h 1 , h 2 là các hằng số không âm. Biến đổi hệ (7) về dạng sau:        tPqqCqqqm tPPqCqkqmqm   cos)( cos)2()( 212212222 2111112211   (7’) Hệ (7’) viết dưới dạng phương trình ma trận là: FCQQBQA   (8) Trong đó:          2 21 0 m mm A ;            22 1 0   k B ;           22 1 0 cc c C ;          2 1 q q Q           tP tPP F   cos cos)2( 2 21 2.2.1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng Hệ thuần nhất tương ứng của (8) là: 0 CQQBQA  (9) Tìm Q = Ze λt với 0 2 1           z z Z . Đạo hàm QQ  , thay vào (9) và chia hai vế cho e λt , ta được: (λ 2 A + λB+ C)Z = 0 (10) Vì Z ≠ 0 nên từ (9) suy ra: det(λ 2 A + λB+ C) = 0 (11) Suy ra             222 2 22 2 2 111 2 2 )( cmc mckm CBA    ↔ 0 234  dcba  (12) Trong đó: ; . ; . 21 221221221 2 2221221 mm cmcmkcm b mm mkmmm a       ; . ; . 21 21 21 21212 mm cc d mm ckcc c     (13) Giải (12) theo phương pháp Ferrary để tìm λ Lập phương trình phụ trợ: y 3 – by 2 + (ac –4d)y + (4bd –a 2 d – c 2 ) = 0 (14) Áp dụng công thức Cardano để tìm một nghiệm của (14) ta được: 3 32 3 32 0 2742 27423 pqq pqq b y   (15) Trong đó: 22 3 2 27 2 3 8 ; 3 4 cda bbdabc q b dacp     Theo Ferrary từ (12) suy ra:          0) 2 () 2 ( 0) 2 () 2 ( 0 2 0 2   y a y a với 0 2 4 yb a   ;   4 2 0 cay   (16) Bốn nghiệm của (16) cũng là nghiệm của (12) và có các trường hợp như sau: a. Trường hợp λ là một nghiệm thực, đơn của phương trình đặc trưng. t e c cm q q Q                        22 221 2 2 1 1 (17) b. Trường hợp λ là một nghiệm thực, kép của phương trình đặc trưng. Khi đó Q 1 như (17), nghiệm          22 21 2 q q Q = Q 1 u(t), với u(t) là ma trận hàm cần tìm.          )( )( )( 2 1 tu tu tu . 87 Đạo hàm Q 2 theo t và thay 222 ,, QQQ  vào (9) ta có: 0)2( 111  uBQQAuAQ    (18)       0 0 222 111 uGu uGu   )( )( b a với             22 122 2 2211 11 1 )( 2 )( 2 zm zz G zmzm zk G     (19) Giải phương trình (a), (b). ta được: 1 1 1 1 G e dteu tG tG      ; 2 2 2 G e u tG                     tG tG e G z e G z Q )( 2 2 )( 1 1 2 2 1   (20) c. Trường hợp λ là cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng λ 1,2 = α ± iβ Thì                                )sin(cos )()( )2()( )sin(cos )()( )2()( 222 2222 2 2 2 2 2 222 2222 2 2 2 2 1 tite ic micmm Q tite ic micmm Q t t         Đặt 22 2 2 2 2 cmmH   ;  22 2  mL (21) 22 cM   ;  2  N Thì );sin(cos 1 tite iNM iLH Q t               );sin(cos 2 tite iNM iLH Q t                             )sincos( )sincos( ; 12 11 12 11 1 tNtMeq tLtHeq q q Q t t                   )sincos( )sincos( ; 22 21 22 21 1 tMtNeq tHtLeq q q Q t t     NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9) Q = C 1 Q 1 + C 2 Q 2 + C 3 Q 3 + C 4 Q 4 Với C 1 , C 2 , C 3 , C 4 là các hằng số được xác định từ điều kiện đầu của bài toán. 2.2.2 Tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất        tPqqCqqqm tPPqCqkqmqm   cos)( cos)2()( 212212222 2111112211   (7’) Tìm nghiệm riêng dưới dạng:               tbtaq tbtaq q q Q   sincos sincos ; 222 111 2 1 Với a 1 , a 2 , b 1 , b 2 được xác định nhờ ma trận sau đây: (22) 88                   0 00)( 0)( 2 22222 222 2 222 2 2 2 111 211 2 2 2 11     mcc pmcc mmck ppkmmc (23) Đặt A 1 = )( 22 2 zxvuzcxuv  A 2 = )( 22 2 zxyuxcuvz  B 1 = xuvvuyuz  2 B 2 = 2 2 ucuvzxyu  (24) C 1 = )2)(( 212 ppvuuvuzp  C 2 = )2)(( 212 ppxyuc  D = A 1 B 2 – A 2 B 1 ; D 1 = B 2 C 1 – B 1 C 2 ; D 2 = A 1 C 2 – A 2 C 1 ; (25) ; 1 1 D D a  ; 2 2 D D a  ; 2 2121 1 Dz uDxDDpDp b   ; )()2( 21 22 21 2 Duz xuDDzxxppD b   3. Nghiệm của bài toán QQCQCQCQCQ  44332211 Trong đó: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 là các hằng số. Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất.          2 1 q q Q là nghiệm riêng được xác định ở trên. Các trường hợp nghiệm của bài toán phụ thuộc vào ∆ 1 , ∆ 2 (trong đó ∆ 1 , ∆ 2 là biệt thức của phương trình thứ nhất và thứ hai của (16). 3.1. Trường hợp thứ nhất: ∆ 1 , ∆ 2 >0 Phương trình đặc trưng có 4 nghiệm đơn, thực λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4      tbtaelCelCelCelCq tbtaekCekCekCekCq t t tt t t tt         sincos sincos 22443322112 11443322111 4321 4321 (27) Trong đó: 22 222 2 cl cmk ii iii     (i = 1,2,3,4) (28) C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:                     244332211 144332211 224321 114321 bllll bkkkk ahllll ahkkkk (29) 3.2. Trường hợp thứ hai: ∆ 1 >0, ∆ 2 = 0 Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm đơn λ 1 , λ 2 và một nghiệm kép λ 3 = λ 4                              tbtae G l CelCelCelCq tbtae G k CekCekCekCq tGttt tGt tt      sincos sincos 22 )( 32 3 43322112 11 )( 31 3 43322111 323321 313321 (30) (26) 89 Trong đó: 32 332 332 3231 31 331 )( 2 )( 2 lm kl G lmkm kk G          (31) C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:                               2323 32 3 332211 1313 31 3 332211 22 32 3 321 11 31 3 321 )( )( bG G l lll bG G k kkk ah G l lll ah G k kkk (32) 3.3. Trường hợp thứ ba: ∆ 1 = ∆ 2 = 0 Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm kép λ 1 = λ 2 và λ 3 = λ 4                                                tbtae G l CelCe G l CelCq tbtae G k CekCe G k CekCq tGttGt tGttGt     sincos sincos 22 )( 32 3 433 )( 12 1 2112 11 )( 31 3 433 )( 11 1 2111 3233 1211 3133 1111 (33) Trong đó: 12 112 112 121 11 111 )( 2 )( 2 lm kl G lmmk kk G          (34) C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:                               2323 32 3 33121 12 1 11 1313 31 3 33111 11 1 11 22 32 3 3 12 1 1 11 31 3 3 11 1 1 )()( )()( bG G l lG G l l bG G k kG G k k ah G l l G l l ah G k k G k k (35) 3.4. Trường hợp thứ tư: ∆ 1 >0, ∆ 2 < 0 Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực đơn λ 1 ,λ 2 và cặp nghiệp phức α ± iβ            tbtatMtNeC tNtMeCelCelCq tbtatHtLeC tLtHeCekCekCq t t tt t t tt           sincos)sincos( )sincos( sincos)sincos( )sincos( 224 322112 114 322111 21 21 (36) 90 Trong đó: 22 2 2 2 2 cmmH   ;  22 2  mL 22 cM   ;  2 N (37) C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:                     22211 12211 2221 1121 bMNNMll bHLLHkk ahNMll ahLHkk (38) 3.5. Trường hợp thứ năm: ∆ 1 =0, ∆ 2 < 0 Phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép λ 1 =λ 2 và cặp nghiệm phức α ± iβ                                    tbtatMtNeC tNtMeCe G l CelCq tbtatHtLeC tLtHeCe G k CekCq t t tGt t t tGt           sincos)sincos( )sincos( sincos)sincos( )sincos( 224 3 )( 12 1 2112 114 3 )( 11 1 2111 1211 1111 (39) C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:                               2121 12 1 11 1111 11 1 11 22 12 1 1 11 11 1 1 )( )( bMNNMG G l l bHLLHG G k k ahNM G l l ahLH G k k (40) 3.6. Trường hợp thứ sáu: ∆ 1 <0, ∆ 2 < 0 Phương trình đặc trưng có 2 cặp nghiệm phức α ± iβ và α * ± iβ *            tbtatMtNeCtNtMeC tMtNeCtNtMeCq tbtatHtLeCtLtHeC tHtLeCtLtHeCq tt tt tt tt         sincos)sincos()sincos( )sincos()sincos( sincos)sincos()sincos( )sincos()sincos( 22 ** 4 ** 3 212 11 ** 4 ** 3 211 (41) Trong đó: 2 * 2 2* 2 2* 2 * cmmH   ; * 2 ** 2 * 2   mL 2 * 2 * cM   ; C 1 , C 2 , C 3 , C 4 được xác định nhờ ma trận hệ số là: 91                     2 ******** 1 ******** 22 ** 11 ** bMNNMMNNM bHLLHHLLH ahNMNM ahLHLH (43) KẾT LUẬN Các hệ số ,,,,,, 212121 CCmm  ,,, 21 kPP 21 ,, hh  là hằng số dương, nên nghiệm λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 có giá trị âm. Do đó thành phần dao động tự do của 2211 ,,, qqqq  sẽ tiến dần tới 0, khi đó hệ làm việc trong chế độ bình ổn. Mô hình của bài toán trong bài báo này phức tạp hơn các bài toán trong [1], [2] [3], [4]. Phương pháp giải bài toán cũng có sự thay đổi bằng cách đưa hệ phương trình vi phân cấp hai thuần nhất dạng tổng quát về phương trình bậc 4 tổng quát và sử dụng phương pháp Ferrary để tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích tường minh và xét tới caá trường hợp của nghiệm có thể xảy ra mà trước đó chưa có công trình nào nghiên cứu. Kết quả nghiên cứu này là cơ sở cho việc khảo loại bài toán hạ chìm kết cấu vào đất bằng cách ghép hai máy rung. Tµi liÖu tham kh¶o: A. Sách tiếng Việt: [1]. Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội. [2]. Nguyễn Đình Chiều, Nguyễn Trọng, Nguyễn Anh Tuấn (2004)- Cơ sở lý thuyết kỹ thuật rung trong xây dựng, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. B. Sách tiếng Nga [3]. Barcan D.D (1959) – Phương pháp rung trong xây dựng, NXB Khoa học Ma - xcơ – va. [4]. Babacôp I.M (1965) - Lý thuyết dao động, NXB Khoa học Ma - xcơ – va. Abstract Study on vibration of two freedom blocked system Nguyen Dac Hung Studying vibration of the two freedom blocked system is setting up and solving unhomogeneous differential equation system. This problem is rather complex, so only specific solution is found but not general one. In this article, the author explains the way to set up and solve the above mentioned task and find out the general analytic solution. This result is a foundation for studying task to lower absolute solid structure into the earth by combining two vibrators. Ngêi ph¶n biÖn: PGS.TS. Khæng Do·n §iÒn .                                )sin(cos )()( )2( )( )sin(cos )()( )2( )( 22 2 22 22 2 2 2 2 2 22 2 22 22 2 2 2 2 1 tite ic micmm Q tite ic micmm Q t t         Đặt 22 2 2 2 2 cmmH   ;  22 2  mL .          tPqqCqqqm tPPqqCqC qqqkqm    cos)( cos)()( )()( 21 221 222 2 21 122 11 122 1111   (7) 2. 2. Giải hệ phương trình vi phân chuyển động (7) Điều kiện đầu : q 1 (0) = h 1 ; q 2 (0) = h 2 ; h 2 h 1 C 1  1  2 C 2 q 2 q 1 .             22 2 2 22 2 2 111 2 2 )( cmc mckm CBA    ↔ 0 23 4  dcba  ( 12) Trong đó: ; . ; . 21 22 122 122 1 2 222 122 1 mm cmcmkcm b mm mkmmm a       ; . ; . 21 21 21 21 2 12 mm cc d mm ckcc c    