ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH. ( thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề) …………………… Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình: 2 9 16 2 2 4 4 2x x x+ − + = − Câu 2.(4 đi ểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =   + + =  Câu 3. (4 điểm) Cho các số x;y;z;t v à x ≥ 4 ; y ≥ 6; z ≥ 7; t ≥ 8. Tìm giá trị lớn nhất của A= ( ) 1 8 7 6 4xyz t xyt z xzt y yzt x xyzt − + − + − + − Câu 4.(5 điểm). Cho ABC ∆ có các cạnh a,b,c với p= 2 a b c+ + Chứng minh: (p-a)(p-b)(p-c) ≤ 8 abc ; từ đó chứng minh R ≥2r Trong đó R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp ABC∆ . Câu 5:(3 điểm) Cho ABC ∆ nội tiếp đường tròn (o) các tiếp tuyến với (o) tại B,Ccắt ngau ở M AM cắt BC ở N. Chứng minh: 2 NB AB NC AC   =  ÷   Đ ÁP ÁN V À BI ỂU ĐI ỂM ………… B ài Đ áp án Đi ểm C âu1 (4 đ) Đi ều kiện 2 2 2 2 4(8 2 ) 16 8 2 ( 8 ) 0x PT x x x x≤ ⇔ − + − − + = đặt 8 2x− =t (t ≥ 0) PT ⇒ 4 t 2 +16t –(x 2 +8x) =0 ⇒ t=x/2 hoặc t =-4-x/2 Giải x theo t được x= 4 2 3 ± là nghiệm 1 đ 1đ 1đ 1đ Câu 2 (4đ) Xét y=0 hệ không thoả mạn với y ≠ 0 hệ 2 2 2 1 1 7 7 1 1 13 ( ) 13 x x x x y y y y x x x x y y y y   + + = + + =     ⇒     + + = + − =     đặt u = 1 x y + .v = x y 2 7 13 u v u v + =  ⇒ ⇒  − =  u=4; v=3 hoặc u=-5; v=12 với u=4 v=3 ta có 1 4 3 x y x y  + =     =   giải hệ này có 1 3 ; 1 1 3 x x y y =  =     = =    là nghiệm với u=-5; v=12ta có 1 5 12 x y x y  + = −     =   vô nghiệm vậy hệ đã cho có 2 nghiệm : 1 3 ; 1 1 3 x x y y =  =     = =    1đ 0.5đ 1đ 0.5 1đ Câu 3 4đ Từ gt ta có A= 6 8 7 4 y t z x t z y x − − − − + + + = 6 6 8 8 7 7 4 4 8 7 6 4 y t z x t z y x − − − − + + + 1 1 1 1 2 8 2 7 2 6 2 4 2 8 2 7 2 6 2 4 t z y x t z y x ≤ + + + = + + + vậy GTLN của A là MaxA= 1 1 1 1 2 8 2 7 2 6 2 4 + + + khi 1đ 1đ 1đ 1đ 4 4 6 6 7 7 8 8 x y z t  − =  − =   − =   − =  hay x=8; y=12 z=14; t= 16 Câu4 5đ Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên: a+b-c >0; a+c-b >0; b+c-a >0 Theo BĐT cô-si có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 a b c a c b a b c a c b a a b c b c a a b c b c a b b c a a c b b c a a c b c + − + + − + − + − ≤ = + − + + − + − + − ≤ = + − + + − + − + − ≤ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c a c b b c a a b c⇒ + − + − + − ≤ ( ) ( ) ( ) ; 8 2 abc a b c p a p b p c p + + ⇒ − − − ≤ = đpcm. • ta có S = ( ) ( ) ( ) . 4 abc p p a p b p c p r R − − − = = • theo cm trên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 . 8 . 8 2 2 4 abc p a p b p c p p a p b p c p abc S p abc abc S R r S p − − − ≤ ⇒ − − − ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Câu5 3đ gọi H; K hình chiếu của B;C trên AM ta có: . sin . sin BAM CAM SNB BH BA BM ABM NC CK S CA CM ACM ∆ ∆ ∠ = = = ∠ ; giả thiết BM=CM; sin sin( ) sin ;sin sin( ) sinABM A B C ACM A C B∠ = + = ∠ = + = ( A;B;C là 3 góc của tan giáic ABC) Vậy: 2 .sin .sin NB BA C BA NC CA B CA   = =  ÷   ( theo định lý sin) c 1 j N O C M B A H K 1đ 1đ 1đ . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2 010- 2011 TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH. ( thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề) …………………… Câu 1. (4 điểm) Giải phương. với p= 2 a b c+ + Chứng minh: (p-a)(p-b)(p-c) ≤ 8 abc ; từ đó chứng minh R ≥2r Trong đó R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp ABC∆ . Câu 5:(3 điểm) Cho ABC ∆ nội tiếp đường. tại B,Ccắt ngau ở M AM cắt BC ở N. Chứng minh: 2 NB AB NC AC   =  ÷   Đ ÁP ÁN V À BI ỂU ĐI ỂM ………… B ài Đ áp án Đi ểm C âu1 (4 đ) Đi ều kiện 2 2 2 2 4(8 2 ) 16 8 2 ( 8 ) 0x PT x x x x≤ ⇔