SKKN PT tư duy qua một đẳng thức cơ bản

9 168 0
SKKN PT tư duy qua một đẳng thức cơ bản

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Phần I: Đặt vấn đề. 1. Mục đích phạm vi Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập chứng minh đẳng thức trong chơng trình Đại số lớp 8. Góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng THCS, đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi. 2. Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm. 2.1. Cơ sở lý luận: Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngời thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này. Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về đẳng thức. 2.2. Cơ sở thực tiễn Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của đẳng thức này đến đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trờng THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng, ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm đợc điều đó thì đòi hỏi ở thầy và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo. Việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều h- ớng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể là một trong những mức độ sau đây: 1. Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán. 2. Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính khái quát hơn. 3. Khai thác bài toán 1 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực tế giảng dạy trong nhà trờng tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý hớng dẫn các em học sinh từng bớc hình thành phơng pháp suy nghĩ, khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua một đẳng thức cơ bản" áp dụng cho bồi dỡng học sinh lớp 8 và lớp 9. Phần 2. Nội dung Trớc hết, xin đa ra bài toán rất quen thuộc (bài toán gốc) Bài toán 1. Chứng minh rằng: a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca a=b=c Hớng dẫn Ta có a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca 2(a 2 +b 2 +c 2 )-2(ab+bc+ca)=0 (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0 a=b=c Qua bài trên ta mở rộng bài toán 1 cho n số a 1 , a 2 , a 3 , . , a n . Bài toán 2. Chứng minh rằng a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + . + a n 2 =a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 +.+a n-1 a n +a n a 1 .a 1 a 2 +a 2 a 3 a 1 =a 2 = a 3 = = a n Nếu thay a= 1 x ; b= 1 y ; c= 1 z ta đợc hệ quả của bài toán 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Bài toán 3. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z xy yz zx + + = + + x=y=z Tiếp tục khai thác ta đợc một số kết quả sau: Bài toán 4. Tìm ba số a, b, c biết rằng a+b+c=2abc và 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = H ớng dẫn Do a, b, c khác 0 nên Ta chia hai vế của đẳng thức a+b+c=2abc cho abc, ta đợc: 1 1 1 2 ab bc ca + + = Mà 2= 2 2 2 1 1 1 a b c + + Nên 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + = + + a=b=c (theo bài toán 3) Thay a=b=c vào đẳng thức a+b+c=2abc , ta đợc 2a 3 -3a=0 a(2a 2 -3)=0 Vì a 0, nên ta tính đợc a=b=c= 3 6 2 2 = Bài toán 5. Cho ba số a, b, c thoả mãn bc ca ab a b c a b c + + = + + . Tính giá trị biểu thức: A= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a c b c b a c a c b a b + + + + + + + + + + + H ớng dẫn Ta có bc ca ab a b c a b c + + = + + 2 2 2 1 1 1 abc a b c a b c + + = + + ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + = + + a=b=c (theo bài toán 3) Thay a=b=c vào biểu thức A= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a c b c b a c a c b a b + + + + + + + + + + + tính đợc: A= 3 2 3 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Bài toán 6. Cho ba số a, b, c thảo mãn (a+b+c) 2 =3(a 2 +b 2 +c 2 ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=a 2 +(a+b)(b+c)+2010. H ớng dẫn Ta có (a+b+c) 2 =3(a 2 +b 2 +c 2 ) a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca a=b=c(theo bài toán 1) Từ đó suy ra B=3a 2 +4a+2010=3 2 2 6026 6026 3 3 3 a + + ữ Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 6026 3 a=b=c= 2 3 Bài toán 7. Giải hệ phơng trình 1 1 1 3 (1) 1 1 1 3 (2) x y z xy yz zx + + = + + = H ớng dẫn Ta có 2 1 1 1 1 1 1 3 9 x y z x y z + + = + + = ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 9 2 9 2.3 3 x y z xy yz zx + + = + + = = ữ Hay 2 2 2 1 1 1 3 (3) x y z + + = Từ (1) và (3) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z xy yz zx + + = + + x=y=z (theo bài toán 3) Thay vào phơng trình (1) x=y=z=1. Thử vào hệ ta đợc x=y=z=1 là nghiệm duy nhất của hệ. Bài toán 8. Tìm ba số a, b, c biết rằng abc=1 và 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c b c a b c a a b c + + = + + H ớng dẫn 4 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Đặt 2 2 2 , , . a b c x y z b c a = = = Ta có: xyz=1 và 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c b c a b c a a b c + + = + + x+y+z= 2 2 2 1 1 1 x y z + + 2 2 2 1 1 1x y z xyz x y z + + = + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 xy yz zx x y z + + = + + x=y=z (theo bài toán 3) x=y=z a=b=c=1 Bài toán 9. Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 2 2 1 1 1 51 4 1 1 1 771 16 x y z x y z x y z x y z + + + + + = + + + + + = H ớng dẫn Đặt 1 1 1 , ,x a y b z c x y z + = + = + = Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2, 2, 2x a y b z c x y z + = + = + = khi đó hệ trở thành 2 2 2 51 4 867 16 a b c a b c + + = + + = ( ) 2 2 2 2 2 51 4 867 16 a b c a b c + + = ữ + + = 2 2 2 867 16 867 16 ab bc ca a b c + + = + + = 2 2 2 867 16 ab bc ca a b c+ + = + + = a=b=c = 17 4 (theo bài toán 3) x=4 hoặc x= 1 4 ; y=4 hoặc y= 1 4 ; z=4 hoặc z= 1 4 ; Vậy hệ đa cho có 8 nghiệm là: (x; y; z)= ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4;4;4 ; 4; 4; 4; :4 ; ; 4;4 ; 4; ; ;4; ; ; :4 ; ; ; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 5 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Bài toán 10. Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 . . 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z y z z x z x x y x y y z z x + + + + + + + + + + + + + = + + + = H ớng dẫn Đặt ( ) ( ) ( ) , ,x y a y z b z x c+ = + = + = , thay vào hệ phơng trình ta có: ( ) 2 2 2 2 . . . (1) 3 8 (2) . . 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b c ab bc ca abc a b c + + + + == + + = + + = = Từ (1) suy ra a=b=c thay a=b=c vào (2) ta tính đợc a=b=c=2 Từ đó ta tính đợc x=y=z=1. Bài tập tự giải 1. Cho ba số a, b, c thoả mãn bc ca ab a b c a b c + + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=c 2 +(c+b)(b+a)+2011. 2. Tìm ba số a, b, c biết rằng a+b+c= 2009 2010 abc và 2 2 2 1 1 1 2009 2010a b c + + = 3. Cho (a+b+c) 2 =3(a 2 +b 2 +c 2 ) Tính giá trị biểu thức Q= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + + + + 4. Giải hệ phơng trình 4 4 4 1x y z x y z xyz + + = + + = 5. Giải hệ phơng trình: 9 1 1 1 1 27 x y z x y z xy yz zx + + = + + = + + = 6 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Phần 3. Kết luận Thông qua một số bài toán về chứng minh đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh đẳng thức và từ những bài toán đơn giản, cơ bản, từ đó học sinh đã khái quát lên đợc những bài toán mang tính chất tổng hợp hơn. Nh vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm đợc cách làm và hiểu bài. 3.1 Bài học kinh nghiệm Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trớc bức xúc của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi. Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết sáng kiến này, hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về đẳng thức và qua đó phát triển t duy sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự định hớng cho việc bồi dỡng học sinh khá giỏi bản thân và các bạn đồng nghiệp. Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra đợc bài học kinh nghiệm: - Học sinh của chúng ta có rất nhiều đối tợng các em có lực học trung bình, khá, giỏi để cho tất cả đối tợng học sinh của chúng ta ham học, học sinh trung bình thì hiểu bài, học sinh khá giỏi không nhàm chán thì chúng ta nên đa ra các bài tập phù hợp với đối tợng học sinh, đa các em vào hoàn cảnh có vấn đề. Các bài tập mang tính chất cơ bản dành cho các em trung bình, khai thác nâng cao các bài tập đó lên cho các em khá, giỏi. Hệ thống các bài tập đợc sắp xếp phù hợp với mỗi đối tợng học sinh. Bên cạnh những bài tập dễ dành cho những học sinh trung bình còn có những bài toán phát triển t duy, năng lực sáng tạo để bồi dỡng học sinh khá giỏi. Do đó giáo viên nên đa ra các bài tập phù hợp với từng đối tợng học sinh. Kinh nghiệm này có thể dùng bồi dỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh vào cấp 3. 3.2 Những vấn đề hạn chế và h ớng đề xuất giải quyết Về phía học sinh tôi nhận thấy các em đã phần nào hiểu đợc yêu cầu của dạng bài tập này ở các bài tập khác nhau, phần lớn là các em khai thác lời giải theo mức độ thứ nhất. Tuy nhiên khả năng tổng hợp khái quát hoá còn nhiều hạn chế. 7 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009-2010 Vậy đối với chơng trình cần dành thêm nhiều tiếp luyện tập để dần dần từng b- ớc hình thành cho các em phơng pháp kỹ năng và khả năng t duy sáng tạo cho học sinh. 3.3 kết luận Khai thác lời giải của một bài toán nói chung và một bài tập về đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất lớn đối với các đối tợng học sinh. Đối với những học sinh trung bình thì đi từ những bài tập đơn giản, từ những số liệu cụ thể dần dần khai thác tổng quát thành những bài toán khó mang tính khái quát hơn. Việc khai thác này giúp các em phát triển t duy một cách linh hoạt, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu. Mặc dù quá trình giảng dạy cha nhiều song đây là toàn bộ kinh nghiệm đợc rút ra trong quá trình bồi dỡng học sinh khá giỏi. Để có đợc những sáng kiến kinh nghiệm trên phần lớn là do sự học hỏi, đúc rút kinh nghiệm của các đồng nghiệp và cũng là yêu cầu cấp thiết của học sinh. Các ví dụ mà tôi đa ra trên đây có thể cha khai thác hết các tình huống hoặc cha thật đã là các ví dụ điển hình. Vì vậy tôi rất mong có đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn./. Tài liệu tham khảo 1/ Toán nâng cao đại số 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình 2/ Tạp chí toán học và tuổi trẻ - Hội toán học Việt Nam. 3/Một số vấn đề phát triển Đại số 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình 4/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - Tác giả: Nguyễn văn Vĩnh (chủ biên) 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – N¨m häc 2009-2010 9 . này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua một đẳng thức cơ bản& quot; áp dụng cho bồi dỡng học. 2009-2010 Phần 3. Kết luận Thông qua một số bài toán về chứng minh đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh đẳng thức và từ những bài toán đơn giản, cơ bản, từ đó học sinh đã khái. cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết sáng kiến này, hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về đẳng thức và qua đó phát triển t duy sáng

Ngày đăng: 28/05/2015, 23:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan