A.Phần mở đầu I.Lí do chọn đề tài: 1.Cơ sở khoa học: Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con ngời tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có đợc những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán. Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ Tiểu học đến Trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn Toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh Hoá học, Vật lí, Tin họcvv,đặc biệt nó giúp cho học sinh phát triển t duy sáng tạo một cách tốt nhất. Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán về bất đẳng thức góp phần nâng cao t duy toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung. 2. Cơ sở thực tiễn Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải loại toán này nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này. Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông. Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp các em có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán. Với bản thân mình, tôi xây dựng thành kinh nghiệm về : Sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS. II. Mục đích nghiên cứu. Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPT . Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập. III. Phơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức - Thông qua nội dung phgơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh - Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập đề nghị. IV. Phạm vi nghiên cứu và sử dụng: - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS. - Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS. B. Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức I. Định nghĩa:Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, kí hiệu là : a > b nếu a b > 0; số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b nếu a b < 0. II. Tính chất: 1. a > b b < a 2. a < b, b < c a < c ( tính chất bắc cầu) 3. a < b a + c < b + c ( tính chất đơn điệu) 4. a < b, c < d a + c < b + d ( cộng hai vế của một bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với chúng) 5. a < b, c > d a c > b d ( trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều ta đợc một bất đẳng thức có chiều là chiều của bất đẳng thức bị trừ) 6. Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b với cùng một số m thì A < b . . , 0 . . , 0 a m b m m a m b m m < > > < 7. Nhân hai vế của hai bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều : 0 < a < b, 0 < c < d a.c < b.d 8. a > b > 0 a n > b n ; 0 > a > b a n+1 > b 2n+1 và a n < b 2n 9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số : m > n > 0; a >1 a m > a n ; a m < a n với 0 < a < 1 10. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức ta đợc một bất đẳng thức đổi chiều: 1 1 a b a b Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ điịnh nghĩa và các tính chất trớc đó. III. Một số Bất đẳng thức cần nhớ: 1. a 2k 0 với mọi a ( k nguyên dơng). Dấu = xảy ra khi a = 0. 2. 0,a a . Dấu = xảy ra khi a = 0. 3. a b a b+ + . Dấu = xảy ra khi ab 0. 4. - a a a . Dấu = xảy ra khi a = 0. 5. a b a b . Dấu = xảy ra khi 0ab và a b . 6. a b; ab 0 1 a b . Dấu = xảy ra khi a = b. 7. 2 a b b a + với a, b cùng dấu, Dấu = xảy ra khi a = b. 8. Bất đẳng thức Cauchy: +) Đối với hai số dơng a, b bất kì: 2 a b ab + hoặc a 2 + b 2 2ab. Dấu = xảy ra khi a = b. +) Đối với mọi a i 0; I = 1,,n. Ta có : 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + Dấu = xảy ra khi a i = 0. 9. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki: Nếu (a 1 , a 2 , , a n ) và ( b 1 , b 2 , , b n ) là những số tuỳ ý, ta có: (a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ).(b 1 2 + b 2 2 + +b n 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 Dấu = xảy ra khi j i i j a a b b = 10.Bất đẳng thức Trêbsep : +) Nếu 1 2 1 2 n n a a a b b b thì: n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) ( a 1 + a 2 + + a n ).( b 1 + b 2 + + b n ). Dấu = xảy ra khi a i = a j hoặc b i = b j . Nếu 1 2 1 2 n n a a a b b b Thì : n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) ( a 1 + a 2 + + a n ).( b 1 + b 2 + + b n ). Dấu = xảy ra khi a i = a j hoặc b i = b j . Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý. - Khi chứng minh xong bất đẳng thức a b ta phải xét trờng hợp dấu = xảy ra khi nào. C. các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức I- Ph ơng pháp 1: Phơng pháp dùng định nghĩa: a. Nội dung phơng pháp: Để chứng minh bất đẳng thức A > B ta chứng minh bất đẳng thức A B > 0 b. Kiến thức cần vận dụng: - Các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 . - Tổng quát: 2 1 1 1 ( ) 2 n n n i i i j i i i A A A A = = = = + ( j = 2,n) , i < j - Các kĩ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế các bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài. c. Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức : a 2 + b 2 ab. Giải: Xét hiệu: a 2 + b 2 ab = (a 2 + 1 4 b 2 2. 1 2 ab) + 3 4 b 2 = ( a - 1 2 b) 2 + 3 4 b 2 0 đúng với mọi a,b vì ( a - 1 2 b) 2 0; 3 4 b 2 0 . Dấu = xảy ra khi ( a - 1 2 b) 2 = 3 4 b 2 = 0 suy ra a = b = 0. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Từ bài toán trên ta có thể chứng minh cho bài toán tổng quát sau: (a n ) 2 + (b n ) 2 . n n a b . Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 < a b c. Chứng minh rằng: a b c b a c b c a a c b + + + + Giải: Xét hiệu: 1a b c b a c b c a a c b abc + + = (a 2 c + ab 2 + bc 2 b 2 c ba 2 ac 2 ) = 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b ac abc + + = 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )c a b a b ab a b c a b a b c a b ab c abc abc + = + = 1 ( )( )( ) 0( 0 )a b b c c a do a b c abc < Dấu = xảy ra khi a = b hoặc b = c hoặc a = c. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Bài 3: Cho a b c và x y z. Chứng minh rằng : . . . 2 2 2 a b x y a x b y+ + + Giải: Xét hiệu : . . 1 . ( . . . . 2 . 2 . ) 2 2 2 4 a b x y a x b y a x a y b y b x a x b y + + + = + + + = [ ] 1 1 ( . . ) ( . . ) ( )( ) 4 4 a y a x b x b y x y b a + = ( do x y và a b ). Dấu = xảy ra khi x = y hoặc a = b. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Chứng minh tơng tự ta đợc bất đẳng thức : . . . . 3 2 3 a b c x y z a x b y c z+ + + + + + và ta có thể chứng minh tơng tự cho bài toán tổng quát. Bài 4: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: A 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) . Giải: Xét hiệu : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ab ac ad ae = 1 4 ( 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab 4 ac 4ad 4ae) = 1 4 [(a 2 + 4b 2 + 4ab) + ( a 2 + c 2 + 4ac) + ( a 2 + 4d 2 + 4ad) + (a 2 + 4e 2 + 4ae)] = 1 4 [( a + 2b) 2 + (a + 2c) 2 + (a + 2d) 2 + ( a + 2e) 2 ] 0 Do (a + 2b) 2 0; (a + 2c) 2 0 ; (a + 2d) 2 0 ; (a + 2e) 2 0. Dấu = xảy ra khi b = c = d = e = 2 a . Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Bài 5: ( Tổng quát của bài 4) Cho a i (i = 1,2,,n) là các số thực, chứng minh rằng : 2 1 1 1 2 1 n n i i i i a a a n = = Việc chứng minh tơng tự bài 4. d. Bài tập đề nghị Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 4x 2 + y 2 4xy. 2. x 2 + y 2 + 1 xy + x + y 3. (x + y).( x 3 + y 3 ).( x 7 + y 7 ) 4( x 11 + y 11 ) 4. (x 1996 + y 1996 + x 1996 ) : ( x 1995 + y 1995 + z 1995 ) ( x + y + z ) : 3 5. ( a 3 + b 3 + c 3 ) ( a + b + c).(a 2 + b 2 + c 2 ) với a, b, c > 0. 6. Cho các số dơng a, b, c. Chứng minh rằng: a) 8 8 8 3 1 1 1 ( ) a b c abc a b c + + + + b) 3 3 3 3 3 3 6 a b b c c a a c b a c b abc c a b b c a + + + + + II . Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi t- ơng đơng. 1. Nội dung phơng pháp: Khi chứng minh một bất đẳng thức nào đó ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất dẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2. Kiến thức cơ bản: - Các tính chất của bất đẳng thức. - Các bất đẳng thức thờng dùng. - Kỹ năng biến đổi tơng đơng một bất đẳng thức. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. 3. Bài tập mẫu. Bài 1: Chứng minh rằng: x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy + 2yz + 2z 1 (*). Giải: Ta có : x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy + 2yz + 2z 1 x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2z + 1 0. ( x 2 2xy + y 2 ) + ( y 2 2yz + z 2 ) + ( z 2 2z + 1) 0 ( x y) 2 + ( y z) 2 + ( z 1) 2 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x, y, z. Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ). Giải: Ta có : (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ) (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) - ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ) 0 a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 a 12 a 8 b 4 a 4 b 8 b 12 0 ( a 10 b 2 a 8 b 4 ) + (a 2 b 10 a 4 b 8 ) 0 a 8 b 2 (a 2 b 2 ) a 2 b 8 (a 2 b 2 ) 0 a 2 b 2 (a 2 b 2 )(a 2 b 2 )(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) 0 a 2 b 2 (a 2 b 2 ) 2 .(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) 0 luôn đúng với mọi a, b. Dấu = xảy ra khi a 2 = b 2 a = b hoặc a = - b và a = 0 hoặc b = 0. Vậy bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh. Nhận xét từ kết quả bài toán trên ta có bài toán tơng tự: Cho 0 a b. Chứng minh bất đẳng thức : (a 5 + b 5 )(a + b) (a 2 +b 2 )(a 4 + b 4 ) Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) -9 b. Cho a c 0 và b c. Chứng minh: ( ) ( )c a b c b c ab + . Giải: a. Nhận xét: 3 + 4 = 1 + 6 nên ta nhân (x 1)(x 6) và (x 3)(x 4) c. Ta có: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) -9 (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) + 9 0. ( x 2 7x +6)(x 2 -7x + 12) + 9 0 ( x 2 7x +6)(x 2 -7x + 6 + 6) + 9 0 ( x 2 7x +6) 2 + 6( x 2 7x +6) + 9 0 ( x 2 7x +9) 2 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x. Suy ra : (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) -9. Dấu = xảy ra khi x 2 7x +9 = 0 x = 7 13 2 b. 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )c a c c b c ab c a c c b c ab + + ( ) ( ) 2 ( ) ( )c a c c b c c a c c b c ab + + 2 2 ( )( ) 0c c a c b c a c b c + + 2 ( ) 0c a c b c . Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn đièu kiện của đề bài. Vậy ( ) ( )c a b c b c ab + với a c 0 và b c. 4. Bài tập áp dụng 1. Cho 0 x, y, z 1. Chứng minh: a. 0 x + y + z xy xz yz 1 b. X 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 y + y 2 z + z 2 x. c. 2 . 1 . 1 . 1 x y z y z x z z y + + + + + 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. 3. Chứng minh rằng với mọi x, y > 2 ta có: X 4 x 3 y + x 2 y 2 xy 3 + y 4 > x 2 + y 2 4. Cho ba số a, b, c là ba số tuỳ ý trên đoạn [0,1]. Chứng minh: a. a 2 + b 2 + c 2 1 + a 2 b +b 2 c + c 2 a. b. 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ( a 2 b + b 2 c + c 2 a) 3 c. 2 1 1 1 a b c bc ac ba + + + + + III. Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số 1. Nội dung phơng pháp: Khi vận dụng các tính chất của tỉ số thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn. 2. Kiến thức cần vận dụng: - Với ba số dơng a, b, c - Nếu 1 a b thì a a c b b c + + Dấu = xảy ra khi a = b. - Nếu 1 a b thì a a c b b c + + Dấu = xảy ra khi a = b. - Nếu b, d > 0 và a c a a c c b d b b c d + + Dấu = xảy ra khi ad = bc. 3. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác: Chứng minh rằng : Giải: Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c > 0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b. Từ a + b > c 2 2c c c c c c a b a b c a b c a b a b c + < = < + + + + + + + + Chứng minh tơng tự ta có: 2 2 ; b b a a a c a b c c b b c a < < + + + + + + Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: 2 a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c + + < + + = + + + + + + + + + Ta có: 1 a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c + + > + + = + + + + + + + + + Vậy 1 2 a b c b c a c b a < + + < + + + (Đpcm). Nhạn xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất : Với ba số dơng a, b, c: Nếu 1 a b thì a a c b b c + + Dấu = xảy ra khi a = b. Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b + + < < + + + + + + + Giải: Ta chứng minh: 1 ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < + + + + Do a > 0 ta có 1 1 1 1 a a a b a a a b + < < + + + + Tơng tự ta có 1 1 b a b b a b + < + + + Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < + + + + 1 ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < + + + + (1) Ta lại chứng minh: 1 1 1 a b a b a b a b + < + + + + + Do a, b > 0 nên ta có ; 1 1 1 1 a a b b a a b b a b > > + + + + + + Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta đợc: 1 1 1 a b a b a b a b + < + + + + + (2). Từ (1) và (2) suy ra : 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b + + < < + + + + + + + 4. Bài tập đề nghị. 1.Chứng minh rằng : 2 2 4 6 2004 2004 3 3 5 7 2005 2005 + + + + < < + + + + 2. Cho a, b là các số dơng thoả mãn a.b = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < < + + + + + + + 3. Cho x a m y b n chứng minh rằng : 2004 2005 2004 2005 x x a m m y a b n n + + + + IV. Ph ơng pháp 4: Phơng pháp phản chứng: 1. Nội dung phơng pháp: Để chứng minh A B ta giả sử A < B rồi suy ra một điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng bất đẳng thức rồi từ đó khẳng định A B là đúng. 2. Kiến thức cần dùng: - Các tính chất của bất đẳng thức. - Các bất đẳng thức có sẵn. - Kĩ năng biến đối tơng đơng một bất đẳng thức. - Các hằng đẳng thức và các hằng bất đẳng thức. 3. Bài tập mẫu Bài 1: Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai: a(1 b) > 0,25 ; b( 1 c) > 0,25 ; c(1 a) > 0,25. Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức: a(1 b) > 0,25 ; b( 1 c) > 0,25 ; c(1 a) > 0,25. đều đúng, khi đó: a(1 b)b( 1 c)c(1 a) > 0,25 3 . (1) Mặt khác ta có: a(1 a) = a a 2 = 0,25 ( a 2 2.a.0,5 + 0,25) = 0,25 ( a 0,5) 2 0,25. Suy ra : a(1 a) 0,25. Tơng tự ta có : b(1 b) 0,25 ; c( 1 c) 0,25. Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: A(1 b)b(1 c)c(1 a) < 0,25 3 (2). Ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2). Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong các bất đẳng thức sau: a(1 b) > 0,25 ; b( 1 c) > 0,25 ; c(1 a) > 0,25 có ít nhất một bất đẳng thức sai. Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x, y, z mà có thể thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức sau: ; ;x y z y x z z y x< < < . GiảI : Giả sử phán chứng cả ba bất đẳng thức trên không có bất đẳng thức nào sai, nghĩa là cả ba bất đẳng thức đó đều đúng. Khi đó: x y z< x 2 < (y z) 2 x 2 - (y z) 2 < 0 (x y + z)(x + y - z) < 0. Tơng tự ta có: ( y x + z)(y + x z) < 0 và (z y + x)(z + y x) < 0. Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: [(y x + z)(y + x z)(x y + z)] 2 < 0 vô lý. Vậy không có ba số x, y, z nào thoả mãn đồng thời cả ba bất đẳng thức : ; ;x y z y x z z y x< < < Bài 3: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện 0 0 0 a b c ab bc ca abc + + > + + > > Hãy chứng minh rằng: a, b, c > 0 (*). Giải: Giả sử (*) không đúng. Nh vậy có ít nhất một trong ba số a, b, c phải 0. Không mất tính tổng quát giả sử a 0. Do abc > 0 nên suy ra: bc < 0. Xét trờng hợp a 0, b > 0, c < 0. Suy ra : a + c > 0. Từ giả thiết ta có: b > - a c b(a + c) < - (a + c) 2 ac + b(a + c) < ac (a + c) 2 ac + b(a + c) < - ( - ac + a 2 + c 2 ) ac + ba + bc < - (a 0,5c) 2 0,75 c 2 0. Điều này trái với giả thiết ab + bc + ca > 0. Tơng tự đối với trờng hợp A 0, b < 0, c > 0 ta cũng suy ra điều vô lý. Vậy (*) đợc chứng minh. Bài 4: Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng và nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2. Giải: Giả sử phản chứng 0 a b > ta có: 2 2 2 2 ( ) 2 2 0 0 0 a b a b a b ab a b b a b a ba ab + + + < + < < < ( vô lý). Suy ra điều phải chứng minh. 4. Bài tập đề nghị 1. Cho ba số dơng a, b, c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai : a(2 b) > 1 ; b(2 c) > 1 ; c(2 a) > 1. 2. Cho a, b, c là ba số dơng thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: S = (a 1 + b -1 )(b 1 + c -1 )(c 1 + a -1 ) 1. 3. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: 2 0 ( 1) 4 0 a b ac > < Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai: ax 2 + bx + c y ; ay 2 + by + c z ; az 2 + bz + c x. V. Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp 1. Nội dung phơng pháp: Có rất nhiều các bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì không thể chứng minh đợc. Thờng các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những bất đẳng thức tổng quát, và để chứng minh các bất đẳng thức này ta dùng phơng pháp quy nạp. Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi n, bằng quy nạp ta thực hiện các bớc sau: Bớc 1: Kiểm tra xem bất đẳng thức đứng với n n 0 nào đó ( thông thờng ta chọn n 0 = 0 hoặc 1). Bớc 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k. Bớc 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k +1. Bớc 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n. 2.Kiến thức cần vận dụng: -Các tính chất của bất đẳng thức. Kỹ năng biến đổi đẳng thức và bất đẳng thức. 3. Bài tập mẫu: Bài 1:Chứng minh rằng: [( a + b) : 2] n ( a n + b n ) : 2 với a + b 0 và n là số tự nhiên. Giải: +) Với n = 1 ta có ( a + b) : 2 (a + b) : 2 đúng. +) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là [(a + b) 2 : 2] k ( a k + b k ) : 2. +) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Tức là : [(a + b) : 2] k+1 ( a k+1 + b k+1 ) : 2. Thật vậy: Xét [(a + b) : 2] k+1 = [(a + b) : 2] k . [(a + b) : 2] [(a k + b k ) : 2].[(a + b) : 2]. Ta chứng minh: (a k + b k ).(a + b) 2(a k+1 + b k+1 ) a k+1 + b k+1 + a k b + ab k 2( a k+1 + b k+1 ) A k+1 + b k+1 a k b ab k 0 ( a b)( a k - b k ) 0 (*) Nếu a, b 0 thì (*) đúng. Nếu a 0 b a b 0. Mà a + b 0 (gt) a - b => a b a k b k =>a k b k 0 => (*) đúng. Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a 0 b ta đợc (*) đúng Do a+ b 0 nên a,b không cùng <0 Vậy (*) đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đè bài. Vậy bất đẳng thức [(a+b):2] n ( a n + b n ) : 2 với a+b 0 và n N đợc chứng minh. Bài 2: Cho tam giác vuông a,b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của tam giác đó. Chứng minh rằng: b 2n + a 2n c 2n Giải: + Với n 1 theo định lý Pitago ta có b 2 + a 2 = c 2 . Bất đẳng thức đúng. + Giả sử bất đẳng thức đúng với n k tức là b 2k + a 2k c 2k + Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+ 1 hay b 2k+1 + a 2k+1 c 2k+1 Thật vây: ta có c 2(k+1) = c 2k+2 = c 2k . c 2 ( a 2k + b 2k ) ( a 2 + b 2 ) = a 2k+2 + a 2k . b 2 + b 2k . a 2 + b 2k+2 a 2k+2 + b 2k+2 => b 2(k+1) + a 2(k+1) c 2(k+1) (đpcm) 4. Bài tập đề nghị: Bài 1: a. Chứng minh rằng với n 3 ta có 2 n > 2n + 1 b. Chứng minh 1.2.3.n < 2 -n (n+1) .n c. n 1, chứng minh 1 1 1 1 2 1 2 2 3 n n + + + + + Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. 2 n+2 > 2n + 5 với n 1, n N. b. [(n + 1) !] n 2!.4! (2n)! với n, n N * . c. (2n)! < 2 2n (n!) 2 với n, n N * . VI. Ph ơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 1. Nội dung phơng pháp Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất đẳng thức ta phảI sử dụng cả các tính chất khác đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác. 2. Kiến thức cần vận dụng - Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có a, b, c > 0 - ; ; .a c b a c b c a b c b a c b a < < + < < + < < + - Một số quan hệ khác trong tam giác. 3. bài tập mẫu Bài 1: Cho a, b, c là đọ dài ba cạnh trong một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b + c) 2 9bc. Biết a b c. Giải: Ta có a + b + c 2b + c do a b. Ta chứng minh ( 2b + c) 2 9bc (1). (1) 4b 2 + 4bc + c 2 9bc 4b 2 5bc + c 2 0 4b 2 4bc bc + c 2 0 4b(b c) c(b c) 0 ( b c)( 4b c) 0 (2). Ta thấy b c suy ra b c 0 và 4b c a + b c + 2b 0. Vậy (2) đúng. Do đó bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh. Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, hãy chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Giải: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có : 0 < a < b + c a 2 < ab + ac. Tơng tự ta có : b 2 < ba + bc ; c 2 < ca + cb. Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). (Đpcm). , 1 1 1 1 1.2 2.3 ( 1)n n + + + < + b, 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 n n + + + + < Bài 3: Chứng minh 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 n a a na + + + < Trong đó 1 1 1 * 2 3 k na N k = + + + Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: 1 1 1 1 3 2 1 2 4n n n n < + + + < + + + VII- Ph ơng pháp 7: Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy. 1. Kiến thức cơ bản Các kỹ năng biến đổi BBất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b 0 2 a b+ ab Dấu = xảy ra khi a=b Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a 1 , a 2 , , a n . 1 2 1 2 . n n a a a a a a n + + + Dấu = xảy ra khi a 1 =a 2 = =a n 2. Bài tập mẫu Bài 1: Cho n số dơng a 1 , a 2 ,.,a n và a 1 .a 2 .a n =1 Chứng minh rằng : ( 1 + a 1 ). ( 1+ a 2 ) ( 1 + a n ) 2 n Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và a i , i = 1,2,3,.,n ta đợc: ( 1 + a 1 ) 1 2 a , ( 1 + a 2 ) 2 2 a ,. , ( 1+ a n ) 2 n a Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc: (1+a 1 ) . ( 1+a 2 )(1+a n ) 1 2 2 .2 2 n a a a 1 2 (1 ).(1 ) (1 ) 2 n n a a a + + + do a 1 . a 2 a n = 1. Dấu = xảy ra khi 1=a 1 , 1=a 2 , ., 1= a n 1 2 1 n a a a = = = = Bài 2: Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a 3 + 72 b 3 18ab 2 Giải: Do a, b 0 => 3a 3 , 9b 3 , 8b 3 0 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 3a 3 , 9b 3 , 8b 3 . Ta đợc: 3a 3 + 9b 3 + 8b 3 3 3 3 3 2 3 3 9 8 18a b b ab = Dấu = xảy ra khi 3a 3 = 9b 3 = 8b 3 0a b = = Bài 3: Cho a>b>0 Chứng minh rằng 1 3 ( ) a b a b + Giải: Ta thấy a=b+ ( a- b) do a > b => a b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a b, 1 ( )b a b ta đợc: 3 1 1 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) a b a b b a b b a b b a b b a b + = + + = Với a>b>0 ta có 1 3 ( ) a b a b + Dấu = xảy ra khi b=a-b= 1 ( )b a b 1 0,5 ( ) b a b a b = = a=2 và b=1 Bài 4: Cho các số a 1 , a 2 , ., a n thỏa mãn điều kiện : 0 <a a i < b với i = 1, 2, , n Chứng minh rằng: ( a 1 + a 2 +.+ a n ) ( 2 2 2 1 2 1 1 1 ( ) ) 2 n n a b a a a ab + + + + Giải: Theo giả thiết ta có : 0 <a a i < b => 2 ( ) 0 i i a a b a ab + + với i = 1,2, ,n [...]... có ứng dụng rất nhiều trong việc giải toán ở bậc THCS Việc sử dụng các bất đẳng thức với mỗi bài toán đòi hỏi phải có tính linh hoạt cao , mỗi bài có một nét riêng biệt, không tuân thủ theo một quy tắc chung nào cả Vì vậy cần phải cho học sinh làm quen nhiều với dạng bài tập này Làm đợc việc này sẽ góp phần nâng cao chất lợng học sinh giỏi trong nhà trờng nói riêng và chất lợng học sinh giỏi trong huyện... bài toán phù hợp với trình độ học sinh dễ cảm nhận, tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy gò bó khi học Bất đẳng thức Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng một phơng pháp có lời giải nhanh nhất Mọi điều mà chúng ta thấy rằng khi chứng minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hợp các phơng pháp D Một số ứng dụng của bất đẳng thức 1 Giải phơng trình 1- Phơng pháp giải: ... -Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán ở trờng THCS với yêu cầu đảm bảo nguyên tắc ôn tập kiểm tra đợc toàn diện và tổng hợp kiến thức đã học, ta cần kết hợp cả hai hình thức trắc nghiệm khách quan và tự luận nhằm giúp cho học sinh ôn tập kiểm tra đợc kiến thức cơ bản của chơng mà còn giúp cho các em quá trình t duy, khả năng suy luận, kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, trình bầy lời giải một bài toán. .. tập mẫu Bài 1: Giải phơng trình: 3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2 Nhận xét: Thông thờng khi giải bài tập có căn thức ta thờng làm mất căn thức bằng cách sử dụng công thức ( n a )n = a hoặc đa về a2n = a n Đối với bài toán này học sinh có thể tìm điều kiện rồi bình phơng hai vế Với các cách làm này thì phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình bậc cao hơn có thể không giải đợc Vì thế... cho học sinh và giải quyết các bài tập một cách thuận lợi, dễ dàng Mặt khác thông qua các giờ ôn tập này, còn có tác dụng giáo dục học sinh tính cẩn thận, khả năng quan sát, có tinh thần thái độ học tập đúng đắn tạo cho các em sự đoàn kết gắn bó, yêu thích bộ môn, cao hơn nữa là góp phần phát triển khả năng t duy lôgíc trong việc học toán Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 9 khi áp dụng các ôn tập... phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù cha đợc đầy đủ Nhng chúng ta đã biết trong chơng trình toán cấp II học sinh cha đợc học cụ thể và bài bản , mà chủ yếu Bất đẳng thức đợc tập trung ở các lớp luyện thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào cấp III và thi vào đại học Do vậy ngời giáo viên phải thấy rằng bất đẳng thức đợc sử dụng rộng nên giáo viên hớng dẫn cho học sinh tổ chức các buổi học ngoại khóa... Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình:x2 + k.x + a = 0 ( a khác 0) Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức sau: ( x1: x2 )3 + ( x2 : x1)3 < 52 Bài 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình : x2 + 2k.x + 4 = 0 ( a khác 0) Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức sau: ( x1: x2 )2 + ( x2 : x1)2 >3 X- Phơng pháp 10: Phơng pháp hình học: 1 Kiến thức cần vận dụng: - Bất đẳng thức trong. .. Nếu tồn tại t, k sao cho f(t) f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong hai số t, k có một số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm 2 Bài tập mẫu: A Dạng thứ nhất Để chứng minh ax2 + bx + c 0 ta đi chứng minh a> 0 và A =0 Bài 1: Chứng minh rằng: a, x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x2 0 b, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e) Giải : a, Ta có x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x2 - 4xy3 0 Biến đổi tơng đơng... áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc: (1 + 1 + 1 + 1+)(b2 + c 2 + d 2 + e2 ) 4(b2 + c 2 + d 2 + e 2 ) = 0 đúng b, c, d, e a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e) Dấu = xảy ra khi b = c= d = e, a = ( b+c+d+e ) : 2 B, Dạng thứ hai: Để chứng minh b2 4ac = 0 ta chứng minh a.f(x) 0 Trong đó f(x) = ax2 + bx + c ( a khác 0) Bài 2: Cho -1=x 0,5 và 5 < y < 2 Chứng minh rằng x2 + 3xy + 1 > 0 6 3 Giải: ... hoạt động học sinh nhớ lại, xây dựng và củng cố các kiến thức đã có, phát hiện các kiến thức liên quan, vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau, chính điều này phù hợp với quy trình học tập của học sinh góp phần vào việc đổi mới phơng pháp dạy học, đặc biệt khi áp dụng cách này tôi thấy trong lớp với đối tợng học sinh còn chậm so với lớp rất nhiệt tình tham gia, điều quan trọng nó giúp cho giáo . thần tự tin trong học tập bộ môn toán. Với bản thân mình, tôi xây dựng thành kinh nghiệm về : Sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS. II. Mục đích nghiên cứu. Góp phần quan trọng trong việc. diện tích nhỏ nhất. Tiểu kết: Bất đẳng thức có ứng dụng rất nhiều trong việc giải toán ở bậc THCS. Việc sử dụng các bất đẳng thức với mỗi bài toán đòi hỏi phải có tính linh hoạt cao , mỗi bài. loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải loại toán này nh thế nào. Thực tế cho thấy toán