ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - THÁI HOÀNG CHIẾN PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số chuyên ngành: 62 44 21 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2015 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN XUÂN HÙNG GS.TS TIMON RABCZUK Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Hồi Sơn Phản biện 2: PGS.TS Trương Tích Thiện Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Hiếu Phản biện độc lập 1: TS Nguyễn Trọng Phước Phản biện độc lập 2: TS Vũ Duy Thắng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án họp Vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM Thư viện Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM TĨM TẮT -  Phương pháp giải tích đẳng hình học (ĐHH) là một phương pháp mới cho  phân tích tính tốn kỹ thuật. Mục tiêu chính của giải tích ĐHH là hợp nhất  giữa mơ hình hình học (thiết kế) và xấp xỉ nghiệm bài tốn (tính tốn) thơng  qua  hàm  cơ  sở  NURBS  (Non-Uniform  Rational  B-Spline).  Do  việc  dùng  chung hàm cơ sở NURBS nên dữ liệu từ mơ hình thiết kế được sử dụng trực  tiếp cho mơ hình phân tích mà khơng cần phải trải qua q trình tạo lưới như  trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) thơng thường.  -  Mục đích của đề tài này là phát triển hơn nữa phương pháp giải tích ĐHH  này cho phân tích đàn hồi và đàn dẻo của  kết  cấu  tấm.  Việc kết  hợp giữa  phương pháp đẳng hình học và các lý thuyết tấm sẵn có hay các lý thuyết  tấm mới do tác giả (và thầy hướng dẫn) đề xuất cho phân tích của kết cấu  tấm được thực hiện trong đề tài này.  -  Các lý thuyết tấm khác nhau đã được áp dụng trong đề tài này như sau:  1) Lý thuyết tấm cổ điển.  2) Lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất.   3) Lý thuyết biến dạng cắt từng lớp (layerwise).   4) Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (dùng hàm phân bố qua bề dày tấm  có sẵn và các hàm phân bố mới).  -   Kết quả số đạt được từ phương pháp giải tích ĐHH sử dụng các lý thuyết  tấm trên được so sánh so với những phương pháp và lý thuyết tấm khác đã  được cơng bố.    CHƯƠNG GIỚI THIỆU TỔNG QUAN -  Ngày  nay,  các  phần  mềm  phần  tử  hữu  hạn  thương  mại  như  ANSYS,  ABAQUS, LS-DYNA, NASTRAN, vv   được sử dụng rộng rãi trong việc  tính tốn và mơ phỏng các bài tốn kỹ thuật. Trong đó, phương pháp phần tử  hữu hạn đã được biết đến như là một phương pháp phổ biến nhất để giải các  bài tốn kỹ thuật. Tuy nhiên, phương pháp PTHH vẫn cịn có những hạn chế  nhất định liên quan đến kỹ thuật phần tử (phần tử bậc cao), kỹ thuật tạo lưới  (hình  học  phức  tạp)  và  chi  phí  tạo  lưới  v.v…  Do  đó,  việc  đề  xuất  những  phương pháp tính mới để đáp ứng những u cầu ngày càng cao trong phân  tích mơ phỏng các bài tốn trong cơng nghiệp hiện nay là cần thiết.  -  Gần đây, Hughes và cộng sự đã đề xuất phương pháp giải tích đẳng hình  học (hay phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học). Ý tưởng thú vị của  phương pháp số hiện đại này là hợp nhất giữa mơ hình hình học và xấp xỉ  nghiệm bài tốn thơng qua hàm cơ sở NURBS. Giải tích đẳng hình học khơng  địi hỏi bất kỳ chương trình tạo lưới như trong phương pháp phần tử hữu hạn  truyền thống. Giải tích đẳng hình học cho phép: 1) duy trì hình học chính xác  1    tại cấp lưới thơ nhất; 2) q trình làm mịn lưới chỉ dựa trên lưới thơ ban đầu  mà khơng cần truy xuất lại mơ hình “computer-aider design” (CAD) ban đầu;  3) tăng hoặc giảm bậc hàm cơ sở của nghiệm xấp xỉ được thực hiện rất đơn  giản; 4) tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ tương ứng với bậc của hàm cơ sở;  5) đảm bảo tính liên tục cao của các đạo hàm đến bậc Cp-1 (p – bậc của hàm  xấp xỉ).   -  Trong những thập kỹ gần đây, việc phát triển trong khoa học kỹ thuật đã  tạo ra động lực nghiên cứu cho các nhà khoa học tìm ra những vật liệu mới  như: vật liệu nhiều lớp (composite) hay vật liệu có tính chất cơ lý thay đổi  (functionally graded material). Những vật liệu này đang dần chứng tỏ được  ưu thế vượt trội cũng như việc ứng dụng ngày càng nhiều vật liệu trên trong  rất nhiều ngành kỹ thuật. Tấm là một phần quan trọng trong nhiều kết cấu.  Do đó để sử dụng hiệu quả, một sự hiểu biết tốt về các ứng xử như: chuyển  vị, ứng suất, tần số dao động tự nhiên, tải ổn định của kết cấu này là cần thiết.   -  Thơng thường các bài tốn thực tế là dùng mơ hình ba chiều (3D) để tính  tốn mơ phỏng. Nhưng mơ hình tính tốn 3D thường rất phức tạp và tốn rất  nhiều chi phí tính tốn. Để giảm mức độ phức tạp và khó khăn trong mơ hình  tính  tốn  3D,  người  ta  giả  thuyết  rằng  ứng  suất  theo  phương  trục z  bằng  khơng ( z 0 ) và chuyển từ mơ hình 3D về mơ hình 2D (hay cịn gọi là mơ  hình tấm). Tổng qt, các lý thuyết tấm thường hay được sử dụng trong tính  tốn như sau:    Lý thuyết tấm cổ điển hay còn gọi là lý thuyết tấm Kirchhoff.    Lý  thuyết  biến  dạng  cắt  bậc  nhất  hay  còn  gọi  là  lý  thuyết  tấm  Mindlin.    Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.    Lý thuyết biến dạng cắt từng lớp.    Lý thuyết “zig-zag”.  -  Mục đích của đề tài này là phát triển hơn nữa phương pháp giải tích đẳng  hình học cho phân tích tĩnh, tần số dao động, tải ổn định và hệ số tải giới hạn  (phân tích giới hạn) của kết  cấu tấm.  Việc kết  hợp giữa phương pháp giải  tích đẳng hình học và các lý thuyết tấm sẵn có hay các lý thuyết tấm mới do  tác giả (và thầy hướng dẫn) đề xuất cho phân tích của kết cấu tấm được thực  hiện trong đề tài này. Trong phương pháp giải tích đẳng hình học, hàm cơ sở  NURBS được dùng cho cả hai mơ hình thiết kế hình học cũng như phân tích  tính tốn. Do đó, dữ liệu từ mơ hình thiết kế được sử dụng trực tiếp cho mơ  hình  phân  tích  mà  khơng  cần  phải  trải  qua  quá  trình  tạo  lưới  như  trong  phương pháp PTHH thơng thường. Với lợi thế liên tục của các đạo hàm của  hàm cơ sở đến bậc Cp-1, phương pháp giải tích đẳng hình học thỏa điều kiện  liên tục C1 của các mơ hình lý thuyết tấm cổ điển hay lý thuyết biến dạng cắt  bậc cao một cách tự nhiên. Nhờ vào liên tục bậc cao của hàm NURBS, giải  2    tích ĐHH cho kết quả chính xác ứng với các tần số cao trong bài tốn phân  tích dao động hay phân tích ổn định. Kết quả đạt được từ cơng việc nghiên  cứu sẽ được so sánh với các kết quả cơng bố khác.    CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC 2.1 Hàm sở B-spline -  Một vectơ knot   là một dãy số khơng giảm các số thực (gọi là knot), có  tọa độ trong khơng gian tham số     1,  , ,  n  p 1  ;   i   i 1, i  n  p , , (1)    trong đó, i là chỉ số knot, p là bậc của đa thức B-spline và n là số lượng các  hàm cơ sở (hay điểm điều khiển). Nếu các điểm knot được chia đều thì vectơ  knot gọi là đều (uniform). Nếu knot đầu và cuối lập lại p+1 lần thì được gọi  là  open.  Hàm  cơ  sở  B-spline  thì  liên  tục  C  bên  trong  một  khoảng  knot  [i  i 1 )  và liên tục Cp-1 tại giá trị knot riêng biệt. Một giá trị của knot có  thể lặp lại nhiều lần và tại giá trị knot lập đó thì chỉ liên tục Cp-k (với k là số  lần lặp lại).  -  Hàm cơ sở B-spline  Ni ,p ( )  của bậc p=0 thì được định nghĩa như sau     1    i  i 1   Ni ,0 ( )   (2)  0    i  i 1   -  Hàm cơ sở B-spline của bậc p>0 (p=1,2,3…) được định nghĩa theo quy  tắc đệ quy như sau  Ni ,p    i p1     i Ni,p1    N      i p  i i p1  i 1 i 1,p1 (3)  -  Hình 1 minh họa hàm cơ sở bậc 2 (quadratic) trong 1D và 2D tương ứng  với vectơ knot    {0,0,0,1 / 2,1,1,1}              Hình 1:  hàm cơ sở B-spline trong 1D và 2D      2.1.1.  Một vài đặc điểm quan trọng của Hàm cơ sở B-spline  3    n a.  Tổng hàm cơ sở bằng 1,   Ni ,p ( )    i 1 b.  Mỗi  hàm  cơ  sở  thì  khơng  âm  trên  tồn  bộ  vectơ  knot Ni ,p ( )  0,    n ,2, n   c.  Độc lập tuyến tính    i Ni ,p ( )    k  0, k  i 1 d.  Hỗ  trợ  cục  bộ  Ni ,p ( )  trong  khoảng   i ,  i  p 1    và  bằng  0    bên ngoài.   e.  Tổng qt khơng thỏa đăc tính Kronecker  Ni ,p ( j )   ij   2.1.2.  Đạo hàm   -  Đạo hàm bậc nhất của hàm B-spline thì viết dưới dạng  d p p Ni , p     Ni , p 1     N   d i  p  i  i  p 1   i 1 i 1,p 1 (4)  -  Tổng quát, đạo hàm bậc cao được tính như sau  dk p Ni ,p    k d  i  p   i  d k 1   d k 1  p  k 1 Ni ,p 1      k 1 Ni 1,p1    d   i  p 1  i 1  d   (5)  2.1.3.  Đường cong B-spline  -  Đường cong B-spline bậc p được xác định bằng cách tổ hợp tuyến tính  của các hàm cơ sở và các điểm điều khiển tương ứng  n C     Ni ,p   Pi (6)  i 1 2.1.4.  Mặt cong B-spline  -  Chúng ta có thể xây dựng các loại đường, mặt và khối với hàm cơ sở Bspline.  Hàm cơ sở B-spline trong hai chiều được xây dựng bằng cách tích  tensor của các hàm cơ sở một chiều. Hàm cơ sở này kết hợp với các điểm  điều khiển sẽ tạo nên mặt B-spline và nó có thể viết dưới dạng sau  n m S  ,    Ni , p   M j ,q   Pi , j (7)  i 1 j 1 2.2 Hàm sở NURBS -  Hàm cơ sở NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) là dạng hữu tỉ của  hàm cơ sở B-Spline. Nhờ gia tăng thêm tọa độ trọng số, nên NURBS biểu diễn  chính xác các đường và mặt conic. Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa bởi  Ri ,p    Ni , p    w i W    N i ,p   w i (8)  n  N   w j ,p i j 1 4    trong đó:  N i ,p   là hàm cơ sở B-spline thứ i của bậc p, w i là hàm trọng số thứ i.  -  Đạo hàm bậc nhất của hàm cơ sở NURBS được viết như sau  N     W    N i , p   W    d Ri ,p    w i i , p d W   (9)  n trong đó,  Ni,p    d Ni ,p   ;W      Ni, p   w i   d i 1 -  Tương tự giống như đường và mặt B-spline, đường và mặt NURBS cũng  được xậy dựng từ việc kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở NURBS với các  điểm điều khiển và nó được viết như sau  n n C     Ri ,p   Pi i 1 m S  , n    Rip, ,jq  , n  Pi , j (10)  i 1 j 1 2.3 Rời rạc đẳng tham số -  Khái niệm đẳng tham số nghĩa là sử dụng cùng hàm cơ sở (hay hàm dạng)  cho cả hình học và nghiệm xấp xỉ của bài tốn. Khái niệm đẳng tham số này  cũng được sử dụng cho cả phương pháp PTHH và giải tích ĐHH. Tuy nhiên  sự khác biệt giữa PTHH và giải tích ĐHH nằm ở mục đích sử dụng hàm cơ  sở, nó được thể hiện như sau:    Phương pháp PTHH: hàm cơ sở được chọn để xấp xỉ nghiệm của bài  tốn thì cũng được chọn để xấp xỉ hình học.    Giải tích ĐHH: hàm cơ sở dùng để biểu diễn hình học thì cũng được  chọn để xấp xỉ nghiệm của bài tốn.  -  Ví  dụ  trong  khơng  gian  hai  chiều  (2D),  cả  hình  học  (tọa  độ  vật  lý)  và  trường chuyển vị được xấp xỉ như sau  m n mn x  ,    RI  , PI và  u h  ,    RI  , u I   I (11)  I trong đó,  RI  ,  là hàm cơ sở NURBS,  PI là điểm điều khiển và  u I vectơ  chuyển vị tương ứng với điểm điều khiển thứ I 2.4 Đạo hàm tọa độ toàn cục (vật lý) -  Đạo hàm bậc nhất trong tọa độ toàn cục  RI , x  RI ,y   RI ,   ,x ,y  RI ,        RI ,  ,y   ,x  x,  y, RI ,  J1  với J     x,    y,   -  Đạo hàm bậc hai trong tọa độ toàn cục    R I , xx     R I ,yy   R I , xy    T   R T T   I ,   R I , x   x ,    R I ,     y  R   R I , y   ,   I ,   x , y ,    x , x ,       J ; J   x , y ,    x , x ,    y , y , y , y ,     x , y ,   x , y , x , y , x , y ,   5    CHƯƠNG PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM NHIỀU LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT1 3.1 Giới thiệu -  Chương này trình bày giải tích ĐHH cho phân tích tĩnh, động và ổn định  của tấm nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) hay cịn  gọi là lý thuyết Mindlin. Phần tử NURBS bậc hai (quadratic), ba (cubic) và  bốn (quartic) được chọn để khảo sát. Khi áp dụng lý thuyết FSDT cho phân  tích  kết  cấu  tấm  thường  xảy  ra  hiện  tượng  “shear  locking”  và  kết  quả  số  khơng phù hợp với thực tế khi tấm trở nên rất mỏng. Tương tự phần tử dùng  nội suy “Lagrange”, cơng thức đẳng hình học dùng NURBS vẫn bị “shear  locking” khi tấm rất mỏng, do hiệu ứng cắt vẫn cịn trong cơng thức. Để khắc  phục điều này, một cơng thức ổn định cho số hạng cắt đã được đề xuất, bằng  cách áp dụng kỹ thuật ổn định vào trong số hạng cắt. Cơng thức này rất đơn  giản nhưng rất hiệu quả cho phân tích kết cấu tấm. Đây chính là điểm mới  của chương này.  3.2 Cơng thức đẳng hình học cho Mindlin-Reissner nhiều lớp 3.2.1.  Chuyển vị, biến dạng và ứng suất của tấm    Hình 2:  Hình học của tấm Mindlin  -  Xem     là mặt phẳng trung hịa của tấm,  u0 , v0 , w0   và   x ,  y  lần  lượt là thành phần chuyển vị theo hướng x, y, z và góc xoay quanh mặt phẳng  y-z x-z (Hình 2). Trường chuyển vị dùng lý thuyết FSDT được định nghĩa  như sau:  u  x, y, z, t   u0  x, y, t   z  x  x, y, t  v  x, y , z, t   v0  x, y, t   z  y  x, y, t  (12)  w  x, y, z, t   w0  x, y, t  -  Biến dạng trong mặt phẳng của tấm được viết dưới dạng sau:   Chien H. Thai, H. Nguyen-Xuan, N. Nguyen-Thanh, T.H. Le, T. Nguyen-Thoi, T. Rabczuk. Static, free vibration and  buckling  analyses  of  laminated  composite  Reissner-Mindlin  plates  using  NURBS-based  isogeometric  approach,  International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(6):571-603, 2012.  6    ε0   zκ  ε      0  γ  (13)  trong đó  ε , κ , γ  lần lượt được định nghĩa là biến dạng màng, biến dạng uốn,  và biến dạng trượt của tấm. Nó được viết lại dưới dạng sau:    x   u0      x  w0     xx   x  xx    y    yz   y    v0      y       ε   yy     ; κ   yy    ; γ       y  xz   w0      y       x   xy   u v   xy       x   x  y 0       x  x   y  y   (14)  -  Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu trực hướng  trong hệ trục tọa độ vật liệu được viết như sau   k (k)  1 k   Q     11 Q12 Q16  k    k    Q12 Q22 Q26 0       k   k    12   (15)    12   Q61 Q62 Q66    k    k  0 Q55 Q54    13    13   0 Q45 Q44    k    k      23   23  -  Các hệ số trong ma trận  Qij  của lớp thứ (k)  trong kết cấu tấm composite  lớp được định nghĩa như sau:  E1( k )  (k ) E ( k ) E2( k ) ( ( (k Q11k )  , Q12k )  12 ( k )2 ( k ) , Q22 )  ( k ) (k ) ( (k  12  21   12  21   12k ) 21 ) (16)  (k ( (k ( (k (k Q66 )  G12k ) , Q55 )  G13k ) , Q44 )  G23 ) -  Vì  vật  liệu  composite  được  tạo  thành  từ  nhiều  lớp  liên  tiếp,  trong  đó  phương của sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp khác nhau, do đó chúng ta  phải chuyển chúng về hệ trục tọa độ tổng thể. Phương trình liên hệ giữa ứng  suất và biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể được viết lại như sau   (k (k ) (k (k (k  xx )  Q11 ) Q12 ) Q16 ) 0   xx   (k )   (k )  k  (k ) (k ) 0   (yy )   yy  Q21 Q22 Q26  (k )   (k )  (k  (k ) (k ) 0   xy )  (17)   xy   Q61 Q62 Q66 (k ) (k )   (k )   ( k )   0 Q55 Q54   xz  xz )    (k  (k (k (k  yz   0 Q45 ) Q44 )   yz )       7    ( -  Trong đó  Qijk )  là hằng số vật liệu đã được chuyển đổi và được minh họa bởi   Q11  Q11 cos4    Q12  2Q66  sin  cos2   Q22 sin  Q12   Q11  Q22  4Q66  sin  cos2   Q12  sin   cos4     Q22  Q11 sin    Q12  2Q66  sin  cos   Q22 cos4  Q16   Q11  Q12  2Q66  sin  cos3    Q12  Q22  2Q66  sin  cos  Q26   Q11  Q12  2Q66  sin  cos    Q12  Q22  2Q66  sin  cos3    Q66   Q11  Q22  2Q12  2Q66  sin  cos   Q66  sin   cos   (18)  Q44  Q44 cos   Q55 sin  ; Q45   Q55  Q44  sin  cos  Q55  Q44 sin   Q55 cos  3.2.2.  Phương trình dạng yếu của tấm  -  Dạng yếu cho mơ hình phân tích tĩnh của tấm nhiều lớp sử dụng lý thuyết  biến dạng cắt bậc nhất có thể diễn đạt  T p   D d     p  T Ds d    wq d    (19)  trong đó  A B  s h /2 D=  ; Dij   Qij dz  i,j =4,5   b  h /2 B D  b ij Aij , Bij , D   h /2  h /2 (20)  (1, z, z )Qij dz  i, j =1,2,6   -  Cho phân tích giao động tự do, dạng yếu của tấm được định nghĩa như sau     T D p d   T Ds d   uT mud   (21)  p       trong đó  I m  I1 u0   x  h/ I1  u       ; u    ; u1   v0  ; u    x  ;  I , I1 , I     ( z ) 1, z , z dz   I2   u  h/ w 0     (22) -  Cho phân tích ổn định, dạng yếu của tấm chịu tải trọng trong mặt phẳng  được viết dưới dạng sau  T p   D d     p  T Ds d  h T  wN0wd      (23)  0  N x N xy  trong  đó,  T  [ / x    / y ]   là  toán  tử  đạo  hàm  N      là   N xy N y    thành phần ứng suất trước.  -  Sử dụng hàm dạng NURBS, cả hình học và chuyển vị của tấm được xấp  xỉ như sau  8    trong đó       xk   x k   u0        b k    x x  m k      b k     x  xx   k k  xx   v     xx     y   y   m k      b k      b k      yy     ;  yy     ;  yy     x y y  m k      bk      b k      xy   u0 v0   xy    k    k    xy   k    k          y  x    x  y    x  y     y   y x  x     (33)  -  Thành phần coupling  giữa biến dạng  màng  và uốn cho  lớp 1,  2, and 3  được cho bởi    h    h       x  x   mb 2  x x  mb1   xx    xx  0 1  2    y  y h h  mb1     mb 2       yy     ;  yy   0 y y  mb1     mb 2  0   xy      1   2    xy 1  2        h1   x   y   h2   x   y    y x   y x         h2  x  h3  x      x x  mb 3   xx   2 3     h2  y h3  y  mb 3       yy     y y  mb 3     xy        2        3  y3    h2   x  y   h3  x     y x   y x        (34)  -  Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu trực hướng  trong hệ trục tọa độ vật liệu được viết như sau   k  (k )  1 k   Q 0  1   11 Q12 Q16  k    k     Q12 Q22 Q26 0        k    k   12   (35)    12   Q61 Q62 Q66    k    k   0 Q55 Q54    13    13   0 Q45 Q44    k    k       23   23  -  Các hệ số trong ma trận  Qij của lớp thứ (k) trong kết cấu tấm “composite”  lớp được định nghĩa như phương trình (16).  12    -  Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng  thể được viết lại như sau   (k (k ) (k (k (k  xx )  Q11 ) Q12 ) Q16 ) 0   xx   (k )   (k )   (k )  (k ) (k ) 0   yy   yy  Q21 Q22 Q26  (k )   (k )  (k )  (k ) (k ) 0   xy  (36)   xy   Q61 Q62 Q66    (k )  (k ) (k )  ( k )  0 Q55 Q54   xz  xz )    (k )  (k (k (k    0 Q45 ) Q44 )   yz     yz   ( trong đó  Qijk ) là hằng số vật liệu đã được chuyển đổi.   -  Dạng yếu cho mơ hình phân tích tĩnh của tấm nhiều lớp sử dụng lý thuyết  “layerwise” được rút gọn như sau    k  T (k ) k   k  T (k ) k        p D  p d        C  d     w0 pd (37)    k 1      k 1 trong đó    D (k )   h  A( k )   (k ) B /2 k  B( k )  (k) k ;  Cij    1Qij dz    (i , j  4,5) và  (k )  D   h k  / h k  / k  k  k  ( Aij , Bij , Dij  )   1, z , z Q k ij (38)  dz    (i , j  1, 2,6)    hk  / -  Tương tự cho phân tích dao động tự do và phân tích ổn định cũng được  viết dưới dạng sau   k      p   k 1    k      p  k 1   k   T    k  mu d  D p C d     u      k 1  T T    ˆ D pk  d         k  C  k  d    T  w0 w0 d     k 1  T  k d           k 1 k   T     k       (39)  (40)  -  Trường chuyển vị có thể được viết dưới dạng u   u    Với giả thuyết  k k 1 w1  w0  w0  w ,  trường  chuyển  vị  có  thể  diễn  đạt  dưới  dạng  rút  gọn  u  w  x 1 y  x2  y2  x3 T  y3   Sử dụng hàm dạng NURBS, chuyển  vị và góc xoay của tấm được xấp xỉ như sau  13    w  RI 1  0  x    0 y   n m  u  x        I 1   y3   x  0   0   y 0 0 RI 0 0 RI 0 0 RI 0 0 RI 0 0 0 0 0 0 RI 0   wI   1    xI      yI  nm      xI    R I q I   I 1    yI   3     xI   3 RI    yI   (41)  -  Cơng thức cuối cùng cho phân tích tĩnh, động và ổn định của tấm nhiều  lớp dùng thuyết thuyết biến dạng cắt layerwise được trình bày như sau:  Kq = f ;   K   M  q   và   K  cr K g  q     (42)  trong đó    B mb  k  T  A k  B  k   B mb k    T     s k  k s k K =     b k   k C  B    d   b k    B k        D    B   k 1  B  B        T  N k    I k  I k   N k    (43)      M      1k   k    k   d  and  f   p  Nd         I 2k    N     k 1  N   I1      T  K   B g  B g d  ;    h    g    4.3 Các ví dụ số -  Phần kết quả số được trình bài chi tiết trong bài báo2 hay trong luận văn.  4.4 Kết luận -  Giải tích đẳng hình kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt từng lớp cho phân  tích tĩnh, tần số dao động và tải ổn định được trình bày. Nhờ vào việc áp liên  tục chuyển vị tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp nên khơng cần sử dụng hệ số  hiệu chỉnh cắt. Thơng qua các kết quả số đạt được, phương pháp hiện tại cho  kết quả tốt cho tấm mỏng đến tấm dày. Trong khi lý thuyết biến dạng cắt bậc  nhất chỉ phù hợp cho tấm mỏng đến tầm dày vừa (moderate thickness plate).     CHƯƠNG PHÂN TÍCH ĐẲNG HÌNH HỌC CỦA TẤM “COMPOSITE” VÀ “SANDWICH” DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO3 Chien H. Thai, A.J.M. Ferreira, T. Rabczuk, S.P.A. Bordas, H. Nguyen-Xuan. Isogeometric analysis of  laminated composite and sandwich plates using a new inverse trigonometric shear deformation theory.  European Journal of Mechanics- A/Solids, 43: 89-108, 2014.    14    5.1 Giới thiệu -  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới xuất phát từ lý thuyết cổ điển được  đề xuất trong chương này. Một cơng thức dùng giải tích đẳng hình học kết  hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới này thì được trình bày cho phân  tích của tấm “composite” và “sandwich”. Lý thuyết hiện tại u cầu liên tục  C1, hàm cơ sở NURBS trong giải tích ĐHH thì thỏa tự nhiên điều kiện này.  Kết quả đạt được từ lý thuyết hiện tại tốt hơn các lý thuyết khác đã cơng bố  trước khi so với lời giải chính xác đàn hồi 3D.  5.2 Cơng thức đẳng hình học cho nhiều lớp sandwich dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 5.2.1.  Chuyển vị, biến dạng và ứng suất của tấm  -  Trường chuyển vị dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao xuất phát từ lý  thuyết cổ điển được viết dưới dạng sau  w u  x, y, z   u0  x, y   z  f  z   x  x, y  x h  h w (44)   z    v  x, y , z   v0  x, y   z  f  z   y  x, y  ,     2 y  w  x, y, z   w  x, y  -  Trong phương trình trên f(z) là hàm dạng xác định biến dạng và ứng suất  thơng qua bề dày của tấm. Một vài hàm dạng được đề xuất bởi các nhà nghiên  cứu khác được trình bài trong Bảng 1.  Bảng 1: Một vài hàm phân bố   Theory  f(z)  Arya (2002)  sin( z / h)   Soldatos (1992)  h sinh( z / h)  z cosh(1 / 2)   Hàm đề xuất (2014)  h tan 1 (2 z / h )  z   -  Liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị được viết như sau   p  [ xx   yy   xy ]T  0  z1  f ( z )2   T γ   xz  yz   f ( z )ε s     (45)  trong đó  15      x   2w   u0         x  x     x    y   2w   v0  x  0    ,  s      (46)   , 1     ,    y  y     y   y     2w   v0 u0      2   y  x   y   xy   x  x y      5.2.2.  Phương trình dạng yếu của tấm  -  Dạng yếu cho mơ hình phân tích tĩnh của tấm nhiều lớp sử dụng lý thuyết  biến dạng cắt bậc cao có thể viết  T p   D d     p  T Ds d    wq d    (47)  trong đó  A B E  h /2 s D =  B D F  ; Dij    f ( z ) Qij dz, i,j =4,5      h /2 E F H   Aij , Bij , Dij , Eij , Fij , Hij   h /2  h/2 (48)  (1, z, z , f ( z), zf ( z), f ( z))Qij dz, i,j =1,2,6   -  Cho phân tích dao động tự do, dạng yếu của tấm được trình bày như sau     T D p d   T Ds d   uT mud   (49)  p       trong đó   I1 m   I2   I4  I2 I3 I5 I4   u1  u    w, x   x   ; u  u  ; u   v  ; u    w  ; u     I5        , y   x  u  w      I6          3 (50) h/  I1 , I , I , I , I , I     ( z ) 1, z, z , f ( z ), zf ( z ), f ( z ) dz h/ -  Cho phân tích ổn định, dạng yếu của tấm dưới tải trọng trong mặt phẳng  được viết dưới dạng sau  T p   D d     p  T Ds d  h T  wN0wd      (51)  trong đó,   và  N0  được định nghĩa như trong phương trình (23).  -  Sử dụng hàm dạng NURBS giống phương trình (24) và thay thế vào trong  phương trình (47), (49) và (51), cơng thức cho phân tích tĩnh, dao động tự do  và ổn định của tấm thì được viết dưới dạng sau  Kq = F ;   K   M  q    và  K  cr K g q    (52)    16    trong đó    Bm T   K    Bb1    b2   B    N   M     N1      N    B b0 I  RI , x    R I ,y  B b2 I 0   0 0  T  I1 I 2 I  I2 I3 I5 R I ,y RI , x 0 0 0 0 RI , x R I ,y m   A B E  B    B D F  Bb1   B sT Ds B s d       E F H  Bb       I4  N0    T I5   N1   d  và  K g    B g  N0B g d      I6  N2       0  R I ,xx 0  0  b1    ;  I   0  R I ,yy B 0  0  2R I ,xy 0  0       0 RI   R I ,y  ;  s   BI   0 0 RI   RI , x  (53 )  0 (54 )  RI 0 0 0 RI,x 0 0 0 RI   R 0 0 ;   0 R 0;N  0 0 R  N0   I I,y I  N1     0 RI 0 0 0 0 0 0 0          5.3 Các ví dụ số -  Phần kết quả số được trình bài chi tiết trong bài báo3 hay trong luận văn.  5.4 Kết luận -  Giải tích đẳng hình học kết hợp với lý thuyết biến dạng bậc mới cho phân  tích tấm “composite” và “sandwich” được trình bày. Điều kiện ứng suất cắt  tự do tại mặt trên và mặt dưới của tấm của lý thuyết hiện tại được thỏa do đó  hệ số hiệu chỉnh cắt được bỏ qua. Lý thuyết bậc cao dùng hàm phân bố mới  này, kết quả đạt được tốt hơn các lý thuyết khác đã cơng bố trước so với lời  giải chính xác đàn hồi 3D.  -  Lý thuyết hiện tại dễ dàng áp dụng cho các lý thuyết bậc cao khác bằng  cách thay đổi hàm phân bố f(z) dọc theo chiều dày của tấm.    17    CHƯƠNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TỔNG QUÁT CHO TẤM CĨ TÍNH CHẤT CƠ LÝ THAY ĐỔI DÙNG XẤP XỈ ĐẲNG HÌNH HỌC4 6.1 Giới thiệu -  Lý thuyết biến dạng tổng qt kết hợp với giải tích ĐHH cho phân tích  tĩnh,  động  và  ổn  định  của  tấm  có  tính  chất  cơ  lý  thay  đổi  (Functionally  Graded Material (FGM)) được trình bày trong chương này. Có hai hàm phân  bố mới được đề xuất trong cơng thức hiện tại. Những hàm này xác định phân  bố ứng suất và biến dạng qua bề dày của tấm. Lý thuyết hiện tại xuất phát từ  lý thuyết cổ điển nên hiện tượng “shear locking” khơng xảy ra. Lý thuyết này  có cùng số bậc tự do với lý thuyết FSDT nhưng khơng cần hệ số hiệu chỉnh  cắt. Từ lý thuyết này, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm  cổ điển được xác định bằng cách thiết lập hàm phân bố ứng suất và biến dạng  qua chiều dày của tấm. Kết quả đạt được từ phương pháp trên phù hợp với  các kết quả công bố khác.  6.2 Lý thuyết biến dạng tổng quát cho có tính chất lý thay đổi 6.2.1.  Cơng thức bài tốn  -  Có ba loại tấm FGM  khác nhau được định nghĩa trong chương này: 1)  tấm FGM đẳng hướng; 2) tấm sandwich với lớp giữa (core) FGM và hai lớp  ngồi (skin) đẳng hướng; 3) tấm sandwich với lớp giữa đẳng hướng và hai  lớp ngồi FGM.  6.2.1.1. Tấm FGM đẳng hướng (kiểu A)  -  Vật liệu FGM đẳng hướng được tạo từ hai vật liệu khác nhau gồm gốm  (ceramic) ở mặt trên và kim loại (metal) ở mặt dưới.  Đối với vật liệu này,  các thông số vật liệu thay đổi thay đổi qua bề dày của tấm bởi quy luật hàm  số mũ như sau:  n 1 z (55)  Vc ( z )     , z    h / 2, h / 2; V m   Vc  h trong đó, c và m lần lượt được định nghĩa là ceramic và metal. Các thơng số  vật liệu tương đương thì được định nghĩa,  Pe  PcVc ( z )  PmVm ( z ) (56)  trong đó  Pc , Pm  tương ứng đặc trưng vật liệu của gốm và kim loại.  Pe có thể  là modun Young (E), hệ số Poisson () và khối lượng riêng ().      6.2.1.2. Tấm sandwich với core FGM (loại B)  4  Chien H. Thai, S. Kulasegaram, Loc V. Tran, H. Nguyen-Xuan. Generalized shear deformation theory  for  functionally  graded  isotropic  and  sandwich  platesbased  on  isogeometric  approach.  Computer and Structures, 141: 94-112, 2014  18    -  Tấm sandwich với lớp giữa FGM và hai lớp ngồi đẳng hướng (xem Hình  4a). Lớp giữa FGM thì được định nghĩa như sau:  n 1 z  V c ( z )    c  , V m   Vc  hc  trong đó zc  [ z , z3 ] , hc = z3-z2 là bề dày của lớp giữa.  (57)                      a) Kiểu B                                            b) Kiểu C  Hình 4. Tấm sandwich   6.2.1.3. Tấm sandwich với core đẳng hướng và lớp ngài FGM (kiểu C)  -  Tấm sandwich với lớp giữa đướng đẳng và hai lớp ngồi FGM (xem Hình  4b). Tấm này được định nghĩa như sau:  n  z  z1   h  Vc ( z )    , h    , z2  z2  z1     Vc ( z )  h   z2 , z3  , n (58)   z z   h Vc ( z )    , h   z3 ,  z4  z3   2  Vm 1  Vc 6.2.2.  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát  -  Giống như trong chương 5, trong chương này cũng dùng lý thuyết biến  dạng  cắt  bậc  cao  nhưng  được  trình  bài  dưới  dạng  tổng  quát  hơn.  Trong  chương này, chúng tơi đã đề xuất hai hàm phân bố mới (xem Bảng  -  Table 2). Trong cơng thức hiện tại nếu hàm phân bố  f ( z ) được chọn bằng  khơng thì lý thuyết biến dạng cắt bậc cao sẽ quay về lý thuyết cổ điển (xem  phương  trình  (59)).  Tuy  nhiên,  khi  thiết  lập  f ( z )  z   và  thay  thế  X  w,X  X  vào phương trình (44), thì lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất  có thể đạt được.  19    w x w ,     h  z  h           v  x, y, z   v  x, y   z  2   y w  x, y, z   w  x, y  u  x, y , z   u0  x, y   z (59)  u ( x, y , z )  u0  zx h  h  z    v( x, y , z )  v0  z y ,     2  w( x, y , z )  w   Table 2: Một vài hàm phân bố và đạo hàm  f ( z) f ( z ) Model  Reddy (1984)  z  z / h2 Karama (2003)  ze2( z / h) Arya (2002)  sin(  z ) h Nguyen-Xuan  (2013)  Thai (2013)  h tan 1 ( h z )  z Mơ hình đề xuất 1 (2013)  tan 1 (sin(  z)) h Mơ hình đề xuất 2 (2013)  (60)   z / h2     (1       z  h22 z  h24 z     sinh 1 (sin(  z)) h   h z )e2( z / h )   cos(  z)   h  h62 z  10 z   h4 2 (1  ( h z )2 ) / (1  ( h z )2 )    h    h2 h cos(  z) / (1  sin2 (  z))   h h cos(  z ) / (1  sin (  z ))1/2   h h 6.3 Các ví dụ số -  Phần kết quả số được trình bài chi tiết trong bài báo4 hay trong luận văn.  6.4 Kết luận -  Một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng qt được đề xuất. Từ lý thuyết  này, chúng ta có thể thu lại được lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất và lý  thuyết tấm cổ điển bằng cách thiết lập hàm phân bố ứng suất và biến dạng  qua chiều dày của tấm. Hai hàm phân bố mới đã được đề xuất. Kết quả đạt  được từ lý thuyết hiện tại tốt so với các lý thuyết khác khi so với lời giải đàn  hồi 3D.    CHƯƠNG PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CẬN TRÊN CHO TẤM MỎNG DÙNG CÔNG THỨC ĐẲNG HÌNH HỌC VỚI GĨC XOAY TỰ DO5 H. Nguyen-Xuan, Chien H. Thai, J. Bleyer, Vinh Phu Nguyen. Upper bound limit analysis of plates using  a rotation-free isogeometric approach. Asia Pacific Journal on Computational Engineering, 1:12, 2014.  20    7.1 Giới thiệu -  Chương này trình bày phân tích giới hạn cận trên (upper bound) của tấm  mỏng (Kirchhoff) theo tiêu chuẩn “von Mises” dùng giải tích đẳng hình học.  Bài tốn tối ưu trong phân tích giới hạn được thiết  lập bằng cách cực tiểu  cơng tiêu tán và chịu các ràng buộc gồm điều kiện biên và cơng ngoại. Chỉ  có bậc tự do chuyển vị (khơng có góc xoay) được xấp xỉ trong bài tốn tối  ưu. Bài tốn này được biến đổi sang dạng phù hợp để tìm nghiệm tối ưu bằng  chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP).  7.2 Cơng thức đẳng hình học cho phân tích giới hạn mỏng Kirchhoff  -  Xem    2 là mặt phẳng trung hòa của tấm và  w là vận tốc của chuyển  vị theo phương trục z. Biên động học và biên tĩnh học lần lượt được định  nghĩa như sau:  1  w  wn và  2  m  mn , trong đó n là pháp vectơ.  Cơng thức tổng qt cho phân tích giới hạn của tấm mỏng Kirchhoff được  viết như sau:  Phương trình cân bằng:  chọn  trường  moment  uốn  mT  [mxx , myy , mxy ]   sao cho thỏa mãn điều kiện cân bằng  (2 )T  m  q  , trong đó  q và   lần lượt là tải trọng theo phương z và hệ số tải giới hạn, tốn tử   thì được  2  2 T 2 ] định nghĩa    [ x y xy   Điều kiện tương thích: Liên hệ giữa vận tốc của chuyển vị và vận tốc biến  dạng uốn được viết dưới dạng          [ xx ,  yy ,2 xy ]T  2w   (61)  -  Tốc độ tiêu tán dẻo thì được viết    Dp (  )    t /2   t /2    T  dz dA  mp     T   d   (62)  4  1     trong đó, mp   0t / ,    xx yy xy   z và    2      0 1   -  Dùng lý thuyết phân tích cận trên, hệ số tải trọng giới hạn được xác định  như sau       Dp (  )d    (63)  T  -  Sử dụng hàm cơ sở NURBS trong phương trình (24), sau đó thay thế vào  phương trình (61), vận tốc biến dạng uốn được viết như sau    21         BI w I trong đó    R,xx  T R, xy     (64)    T  d   (65)  R,yy I -  Năng lượng tiêu tán dẻo được viết lại  nel h Dp  mp     T  d  mp   e 1 e -  Phương trình trên được tính tốn thơng qua cơng thức tích phân Gauss  NG h Dp  mp  i Ji    i T  i   (66)  i 1 trong đó, NG =nelxnG là tổng số điểm Gauss của  bài tốn,  nel là tổng số  phần tử, nG là số điểm Gauss của mỗi phần tử,  i là trọng số Gauss và  Ji là ma trận Jacobi ở điểm Gauss.  -  Bây giờ vận tốc biến dạng được đánh giá tại điểm Gauss    (67)   i  Bi w i       i  1, NG    -  Công ngoại cũng được đánh giá tại điểm Gauss  NG   Wext (w )   qi Ji N(i ,i )w i  1  (68)  i 1 trong đó, N  [N1(i ,i ), N2 (i ,i ),, NnCP (i ,i )] là vectơ hàm cơ sở toàn cục.  -  Cuối cùng bài tốn tối ưu kết hợp với giải tích ĐHH được viết lại:  NG      mp  i Ji T  i i i 1     i  Bi w i ,      i  1, NG   (69)     s.t w  0   nd   n  0   n   a w o    NG  Wext (w )   qi Ji N( i ,i )w i   i 1  -  Bài tốn phân tích giới hạn là bài tốn tối ưu khơng tuyến tính với ràng  buộc  bằng.  Bài  tốn  có  thể  biến  đổi  sang  bài  tốn  cực  tiểu  tổng  của  một  chuẩn.  Năng  lượng  tiêu  tán  dẻo  có  thể  được  viết  dưới  dạng  tổng  của  một  chuẩn như sau  NG Wint  mp  i Ji CT  i   (70)  i 1 22    2  trong đó,  C  1 3 0 0   là hệ số Cholesky of     1  -  Cuối cùng bài tối ưu này có thể biến đổi sang bài tốn lập trình hình nón  bậc hai bởi giới thiệu thêm biến phụ  NG    mp  i Ji ti i 1  i  t i ,      i  1, NG    (71)    T  i     i  NG s.t i  C Bi w  , Bec w  bec    -  Ràng buộc thứ nhất là dạng hình nón bậc hai. Bài tốn tối ưu trên có thể  giải bằng phần mềm Mosek.  7.3 Các ví dụ số -  Phần kết quả số được trình bài chi tiết trong bài báo5 hay trong luận văn.  7.4 Kết luận -  Giải tích đẳng hình học với góc xoay tự do cho phân tích giới hạn cận trên  của tấm mỏng được trình bày. Một vài kết luận được rút ra như sau:   Chỉ có bậc tự do chuyển vị được xấp xỉ trong bài tốn tối ưu.    Điều kiện biên góc xoay được áp trực tiếp thơng qua chuyển vị.     Kết quả đạt được từ phương pháp hiện tại phù hợp với các lời giải đã  được cơng bố thơng qua các ví dụ số.    CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 8.1 Kết luận -  Trong luận văn này, phương pháp giải tích đẳng hình học đã được áp dụng  cho phân tích đàn hồi và đàn dẻo của kết cấu tấm. Mục tiêu của phương pháp  giải tích ĐHH là hợp nhất giữa mơ hình hình học và xấp xỉ nghiệm bài tốn  thơng qua hàm cơ sở NURBS. Hình học dùng trong giải tích ĐHH là hình  học chính xác. Các kỹ thuật làm mịn lưới (h-refinement) hay tăng bậc của  hàm  cơ  sở  (p-refinement)  trong  phương  pháp  đẳng  hình  học  giống  với  phương pháp phần tử hữu hạn thơng thường. Mơt kỹ thuật mới (k-refinement)  được  xuất  trong  giải  tích  ĐHH  bằng  cách  kết  hợp  “h-refinement”  và  “prefinement”. Thơng qua các ví dụ số đã được kiểm tra, phương pháp đẳng  hình học phù hợp cho phân tích đàn hồi và đàn dẻo của kết cấu tấm. Một vài  kết luận được rút ra như sau:  23    -  Đề xuất được cơng thức ổn định khơng bị khóa cắt (shear locking), khi  kết hợp giữa phương pháp phân tích đẳng hình học và lý thuyết biến dạng  cắt bậc nhất cho phân tích của kết cấu tấm.  -  Phân tích đẳng hình học của kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến  dạng cắt từng lớp (layerwise) được giới thiệu đầu tiên. Trong lý thuyết này  trường chuyển vị được giả thuyết là biến đổi tuyến tính qua từng lớp và áp  liên tục chuyển vị tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp. Do đó hệ số hiệu chỉnh cắt  được bỏ qua, đây chính là điểm khác biệt so với lý thuyết FSDT. Ứng suất  cắt đạt được từ mơ hình “layerwise” chính xác hơn mơ hình FSDT.  -  Lý thuyết biến dạng bậc cao mới được đề xuất trong luận văn này. Bốn  hàm phân bố biến dạng và ứng suất mới qua bề dày tấm được đề xuất. Dùng  những hàm phân bố mới này, kết quả đạt được tốt hơn các lý thuyết khác đã  cơng bố trước đây, khi so với lời giải chính xác đàn hồi 3D.  -  Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng qt được đề xuất. Từ lý thuyết này,  chúng ta có thể tìm lại được lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết  cổ bằng cách thiết lập hàm phân bố ứng suất và biến dạng qua chiều dày của  tấm.  -  Bài tốn tối ưu hóa cho phân tích giới hạn cận trên của tấm mỏng dùng  giải tích ĐHH được thành lập. Chỉ có bậc tự do chuyển vị được xấp xỉ trong  bài tốn ưu (khơng có bậc tự do góc xoay). Điều kiện biên chính cho góc xay  được áp dụng trực tiếp mà khơng dùng bất kỳ một kỹ thuật nào khác (phương  pháp phạt, phương pháp “Lagrange”…).  Đây chính là điểm  mới và chỉ áp  dụng được trong phương pháp đẳng hình học.  8.2 Hướng phát triển -  Phương pháp hiện tại thể hiện rất hiệu quả cho phân tích kết cấu tấm thơng  qua các bài tốn thơng dụng (benchmark problems). Đề tài có thể phát triển  hơn nữa với những hướng nghiên cứu sau:    Phương pháp giải tích ĐHH kết hợp với các lý thuyết tấm khác nhau  có thể mở rộng cho bài tốn biến dạng lớn (hình học và vật liệu) của kết cấu  tấm/vỏ.    Vật  liệu  nano-composite  có  thể  được  phân  tích  khi  dùng  giải  tích  ĐHH và các lý thuyết tấm trên.    Phân tích giới hạn của kết cấu tấm dễ dàng mở rộng cho phân phân  tích giới hạn của kết vỏ.    Phương pháp hiện tại nên được áp dụng cho cấu trúc vi mơ dùng lý  thuyết đàn hồi khơng cục bộ (nonlocal elasticity theory) và lý thuyết ứng suất  kết hợp hiệu chỉnh (modified couple stress theory).    Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao có thể mở rộng sang lý thuyết biến  dạng cắt giả 3D (quasi-3D) (kể thêm biến dạng theo phương z).  24    DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐƯỢC CƠNG BỐ Tạp chí quốc tế: Chien H Thai, S Kulasegaram, Loc V Tran, H Nguyen-Xuan Generalized shear deformation theory for functionally graded isotropic and sandwich platesbased on isogeometric approach Computer and Structures, 141: 94-112, 2014 Chien H Thai, A.J.M Ferreira, T Rabczuk, S.P.A Bordas, H NguyenXuan Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a new inverse trigonometric shear deformation theory European Journal of Mechanics- A/Solids, 43: 89-108, 2014 H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, J Bleyer, Vinh Phu Nguyen Upper bound limit analysis of plates using a rotation-free isogeometric approach Asia Pacific Journal on Computational Engineering, 1:12, 2014 H Nguyen-Xuan, Loc V Tran, Chien H Thai, Canh V Le Plastic collapse analysis of cracked structures using extended isogeometric elements and second order cone programming Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 72: 13-27, 2014 Loc V Tran, Chien H Thai, Hien T Le, Buntara S Gan, Jaehong Lee, H Nguyen-Xuan Isogeometric analysis of laminated composite plates based on a four-variable refined plate theory Engineering Analysis with Boundary Elements, 47: 68-81, 2014 H Nguyen-Xuan, Loc V Tran, Chien H Thai, S Kulasegaram, S.P.A Bordas Isogeometric finite element analysis of functionally graded plates using a refined plate theory Composite Part B, 64: 222-234, 2014 Chien H Thai, A.J.M Ferreira, E Carrera, H Nguyen-Xuan Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a layerwise deformation theory Composite Structures, 104: 196-214, 2013 P Phung-Van, L De Lorenzis, Chien H Thai, M Abdel-Wahab, H Nguyen-Xuan Analysis of laminated composite plates integrated with piezoelectric sensors and actuators using higher-order shear deformation theory and isogeometric finite elements Computational Materials Science, 96: 495-505, 2015 H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory Composite Part B, 55: 558-574, 2013 10 Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan An isogeometric finite element formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates Finite Element in Analysis and Design, 73: 65-76, 2013 11 Chien H Thai, T Rabczuk, H Nguyen-Xuan A rotation-free isogeometric analysis for composite sandwich thin plate International Journal of Composite Material, 3A:10-18, 2013 12 Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, S.P.A Bordas, N Nguyen-Thanh and T Rabczuk Isogeometric analysis of laminated composite plates using the higherorder shear deformation theory, Mechanics of Advanced Materials and Structures, 22: 451-469, 2015 13 Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, N Nguyen-Thanh, T.H Le, T Nguyen-Thoi, T Rabczuk Static, free vibration and buckling analyses of laminated composite Reissner-Mindlin plates using NURBS-based isogeometric approach, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(6):571-603, 2012 Tạp chí quốc gia: Hoang H Truong, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan Isgeometric analysis of two-dimensional piezoelectric structures Vietnam Journal of Mechanics, 35(1): 79-91, 2013 Tran Vinh Loc, Thai Hoang Chien, Nguyen Xuan Hung On two-field NURBS-based isogeometric formulation for incompressible media problem Vietnam Journal of Mechanics, 35(3): 225-237, 2013 Thai Hoang Chien, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Thoi Trung Buckling analysis of laminated composite plates by the third shear deformation theory based on NURBS-based isogeometric approach Journal of Science and Technology, 49(4A): 93-103, 2011 Hội nghị quốc tế: Nguyen Xuan Hung, Thai Hoang Chien Upper bound limit analysis of plates using a rotation-free isogeometric approach APCOM& ISCM2013, Singapore, December 11th, 2013 Thai Hoang Chien, Tran Trung Dung, Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung Isogeometric limit analysis for plane stress problems The international conference on advances in computational Mechanics (ACOME) Vietnam, August 14-16, 2012, pages 822-836 Hội nghị quốc gia: Thai Hoang Chien, Tran Vinh Loc, Nguyen Xuan Hung, A new higherorder shear deformation theory for functionally graded sandwich plates TTCTKH-HNKH toàn quốc- CHVR biến dạng lần thứ XI Tp.Hồ Chí MinhViệt Nam, 8/11/2013, trang 143-152 Thai Hoang Chien, Tran Vinh Loc, Nguyen Thoi Trung, Nguyen Xuan Hung A rotation-free isogeometric analysis for composite sandwich Kirchhoff-Love plates TTCTKH-HNKH toàn quốc lần thứ Hà Nội-Việt Nam, ngày 8-9/12/2012, trang 105-114 Chien Thai Hoang, Tran Chuong and Hung Nguyen Xuan, Isogeometric finite element method for static and free vibration analysis of composite plates TTCTKH-HNKH toàn quốc-CHVR biến dạng lần thứ X Thái Nguyên-Việt Nam, ngày 12-13/11/2010, trang 71-80 ... Gần đây, Hughes và cộng sự đã đề xuất? ?phương? ?pháp? ?giải tích? ?đẳng? ?hình? ? học? ?(hay? ?phương? ?pháp? ?phần? ?tử? ?hữu? ?hạn? ?đẳng? ?hình? ?học) . Ý tưởng thú vị của  phương? ?pháp? ?số hiện đại này là hợp nhất giữa mơ? ?hình? ?hình? ?học? ?và xấp xỉ ... nghiệm bài tốn thơng qua hàm cơ sở NURBS. Giải tích? ?đẳng? ?hình? ?học? ?khơng  địi hỏi bất kỳ chương trình tạo lưới như trong? ?phương? ?pháp? ?phần? ?tử? ?hữu? ?hạn? ? truyền thống. Giải tích? ?đẳng? ?hình? ?học? ?cho phép: 1) duy trì? ?hình? ?học? ?chính xác ... được áp dụng trực tiếp mà khơng dùng bất kỳ một kỹ thuật nào khác  (phương? ? pháp? ?phạt,? ?phương? ?pháp? ?“Lagrange”…).  Đây chính là điểm  mới và chỉ áp  dụng được trong? ?phương? ?pháp? ?đẳng? ?hình? ?học.   8.2 Hướng phát triển -  Phương? ?pháp? ?hiện tại thể hiện rất hiệu quả cho phân tích kết cấu tấm thơng