Toán Kinh tế PGS.TS Trần Lộc Hùng Trường Đại học Tài - Marketing thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011 Bài Hàm hai biến số PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý Gửi bạn tham gia lớp ôn tập Tài liệu mà sử dụng để giảng dạy cho chương trình ơn tập Tốn Kinh tế lưu đường link sau code.google.com/p/tlhungvn − ufm − economaths Những tài liệu dành cho tất muốn nắm kiến thức toán để thi vào cao học QTKD, hồn tồn miễn phí Nghiêm cấm việc sử dụng tài liệu với mục đích khác chưa đồng ý tác giả PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Hàm hai biến số Khái niệm hàm hai biến Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời Hàm liên tục Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R Ánh xạ f : R2 −→ R, ứng cặp số thực (x, y) ∈ D số thực z, ký hiệu z = f (x, y), gọi hàm hai biến số thực Ký hiệu f : (x, y) −→ z = f (x, y) D tập hợp mặt phẳng R2 D gọi miền xác định hàm số f Hai biến x y gọi hai biến độc lập, z biến phụ thuộc Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R gọi miền giá trị hàm số f Hàm n biến số y = f (x1 , x2 , , xn ) định nghĩa tương tự PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R Ánh xạ f : R2 −→ R, ứng cặp số thực (x, y) ∈ D số thực z, ký hiệu z = f (x, y), gọi hàm hai biến số thực Ký hiệu f : (x, y) −→ z = f (x, y) D tập hợp mặt phẳng R2 D gọi miền xác định hàm số f Hai biến x y gọi hai biến độc lập, z biến phụ thuộc Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R gọi miền giá trị hàm số f Hàm n biến số y = f (x1 , x2 , , xn ) định nghĩa tương tự PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định điểm dừng (−1, −2) (1, 2), x0 = − 1 ; y0 = − ; λ = ± 2λ λ Chú ý: Với λ = , có điểm dừng (−1, −2) 2 Với λ = − , có điểm dừng (1, 2) PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định điểm dừng (−1, −2) (1, 2), x0 = − 1 ; y0 = − ; λ = ± 2λ λ Chú ý: Với λ = , có điểm dừng (−1, −2) 2 Với λ = − , có điểm dừng (1, 2) PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d Lλ (x, y) = ∂2 ∂2L ∂2L dx + dy = dxdy + ∂x∂y ∂x ∂y = 2λd x + 2λd y Do ∂2L ∂x ∂2L ∂y = 2λ = 2λ ∂2L ∂x∂y =0 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d Lλ (x, y) = ∂2 ∂2L ∂2L dx + dy = dxdy + ∂x∂y ∂x ∂y = 2λd x + 2λd y Do ∂2L ∂x ∂2L ∂y = 2λ = 2λ ∂2L ∂x∂y =0 PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d Lλ (x, y) = ∂2 ∂2L ∂2L dx + dy = dxdy + ∂x∂y ∂x ∂y = 2λd x + 2λd y Do ∂2L ∂x ∂2L ∂y = 2λ = 2λ ∂2L ∂x∂y =0 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 25 (tiếp) Cực trị Các giá trị cực trị có điều kiện fmin = f (−1, −2) = −5; fmax = f (1, 2) = PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với giá trị λ = ± , ta xét vi phân bậc hai D = d Lλ D = d L = dx + dy > 2 D= d L− = −dx − dy < Vậy, ta có kết luận Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (−1, −2), ứng với λ= 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (1, 2), ứng với λ = −2 PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với giá trị λ = ± , ta xét vi phân bậc hai D = d Lλ D = d L = dx + dy > 2 D= d L− = −dx − dy < Vậy, ta có kết luận Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (−1, −2), ứng với λ= 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (1, 2), ứng với λ = −2 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với giá trị λ = ± , ta xét vi phân bậc hai D = d Lλ D = d L = dx + dy > 2 D= d L− = −dx − dy < Vậy, ta có kết luận Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (−1, −2), ứng với λ= 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (1, 2), ứng với λ = −2 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với giá trị λ = ± , ta xét vi phân bậc hai D = d Lλ D = d L = dx + dy > 2 D= d L− = −dx − dy < Vậy, ta có kết luận Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (−1, −2), ứng với λ= 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu điểm (1, 2), ứng với λ = −2 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tập Bài tập Tính giá trị gần A= (1.02)2 + (1.96)2 PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tập Bài tập Tìm giá trị cực trị hàm số sau z = f (x, y) = 2x + 2xy + y − x + y + z = f (x, y) = 2x + 6xy − 6x − 3y − 30y + PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tập Bài tập Tìm giá trị cực trị hàm số sau z = f (x, y) = 2x + 2xy + y − x + y + z = f (x, y) = 2x + 6xy − 6x − 3y − 30y + PGS.TS Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tập Bài tập Tìm giá trị cực trị có điều kiện hàm số sau z = f (x, y) = − 4x − 3y với điều kiện x + y = z = f (x, y) = x + y với điều kiện PGS.TS Trần Lộc Hùng x + y = Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tập Bài tập Tìm giá trị cực trị có điều kiện hàm số sau z = f (x, y) = − 4x − 3y với điều kiện x + y = z = f (x, y) = x + y với điều kiện PGS.TS Trần Lộc Hùng x + y = Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) ... Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ Khơng tồn xy x2 + y2 (x,y)→(0,0) lim xy x +y xy lim(1/n ,2/ n)→(0,0) 2 x +y lim(1/n,1/n)→(0,0) = 1 /2. .. x2 + y2 (x,y)→(0,0) lim xy x +y xy lim(1/n ,2/ n)→(0,0) 2 x +y lim(1/n,1/n)→(0,0) = 1 /2 = 2/ 5 Hai giới hạn (1) (2) khác nên không tồn giới hạn lim(x,y)→(0,0) x 2xy +y PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh. .. nên (2) (2) fxy = fyx = 6x y + 4x ∂f ∂x ∂f ∂y ∂2f ∂x∂y = 6x y + 4x ∂2f ∂y∂x = 6x y + 4x = 3x y + 4xy + = 2x y + 2x PGS.TS Trần Lộc Hùng Tốn Kinh tế (chương trình ơn thi cao học Quản trị kinh