CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – đònh lý vi ét I. MỤC TIÊU: • HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm • Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm; • Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m II. NỘI DUNG: A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0  ∆ = b 2 – 4ac > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -b + 2a ∆ ; x 2 = -b - 2a ∆  ∆ = b 2 – 4ac = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = b 2a −  ∆ = b 2 – 4ac < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm 2. Đònh lý Vi ét:  Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm x 1 ; x 2 thì tổng và tích các nghiệm đó là: S = x 1 + x 2 = -b a ; P = x 1 .x 2 = c a  Nếu có hai số x 1 ; x 2 có S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 3. Chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m • Lập ∆ • Biến đổi ∆ về dạng: ∆ = A 2 ≥ 0 với mọi m hoặc ∆ = A 2 + k > 0 với mọi m Ví dụ: Cho phương trình: x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m Hướng dẫn: ∆ ’ = (m – 1) 2 – m + 3 = m 2 – 3m + 4 = (m – 2 3 ) 2 + 4 7 > 0 với mọi giá trò của m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó: • Lập ∆ • Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0. Từ đó suy ra điều kiện của m • Áp dụng đònh lý Vi ét tính S = x 1 + x 2 ; P = x 1 .x 2 • Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích • Thay S và P vào suy ra giá trò của m • Đối chiếu điều kiện và kết luận Ví dụ: Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số: Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ Hướng dẫn: Δ ’ = m 2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1 Áp dụng đònh lý Viét ta có: x 1 .x 2 = 1m 1m − + = 5 ⇒ m = 2 3 ⇒ x 1 + x 2 = 1m m2 − = 6 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ ⇔ 2(x 1 2 + x 2 2 ) + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2(x 1 + x 2 ) 2 + x 1 x 2 = 0 ⇔ 2. ( ) 1m 1m 1m m4 2 2 − + + − = 0 ⇔ 9m 2 = 1 ⇔ m = 3 1 ± 5. Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m • Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm Ví dụ: Cho phương trình x 2 + (m + 1)x + 5 – m = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với m tìm được ở câu a, hãy viết một hệ thức giữa x 1 và x 2 độc lập đối với m Hướng dẫn: a) Ta có: ∆ = (m + 1) 2 – 4(5 – m) = m 2 + 6m – 19 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ = m 2 + 6m – 19 > 0. Ta xét dấu ∆ m –3 – 2 7 –3 + 2 7 ∆ + 0 – 0 + Vậy khi m < –3 – 2 7 hoặc m > –3 + 2 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Ta có: x 1 + x 2 = –m – 1 (1) ; x 1 . x 2 = 5 – m (2). Từ (2) suy ra: m = –x 1 .x 2 + 5 Thay vào (1): x 1 + x 2 = x 1 .x 2 – 6 Vậy hệ thức cần tìm là x 1 + x 2 – x 1 .x 2 + 6 = 0 6. Một số hệ thức khác: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:  Hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0  Hai nghiệm đều dương ⇔ 0 S > 0 P > 0 ∆ ≥       Hai nghiệm đều âm ⇔ 0 S < 0 P > 0 ∆ ≥      Ví dụ: Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x 2 + 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương Hướng dẫn: a) Phương trình có hai nghiệm dương khi: ( ) m - 1 0 ' = m + 3 0 2 m + 1 S = - > 0 m - 1 m + 2 P = > 0 m - 1 ≠   ∆ ≥        ⇔ m 1 m -3 -1 < m < 1 m < -2 hay m > 1 ≠   ≥      ⇔ m ∈ ∅ b) Phương trình có đúng một nghiệm dương khi xảy ra một trong các trường hợp sau: • Có nghiệm kép dương: ⇔ 0 -b m + 1 x = = - > 0 2a m - 1 ∆ =      ⇔ m = -3 m + 1 - > 0 m - 1      ⇔ không có giá trò của m • Có một nghiệm bằng 0; một nghiệm dương ⇔ x = 0 suy ra m = -2. Lúc đó nghiệm thứ hai là x = - 2 3 không thoả mãn • Có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m – 1)(m + 2) < 0 ⇔ -2 < m < 1 B. LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho phương trình x 2 – (2m – 3)x + m 2 – 3m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 1 < x 1 < x 2 < 6 c) Xác đònh m để x 1 2 + x 2 2 đạt giá trò nhỏ nhất Hướng dẫn: a) Ta có Δ = (2m – 3) 2 – 4(m 2 – 3m) = 9 > 0 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) x 1 = m – 3; x 2 = m ⇒ 1 < x 1 < x 2 < 6 ⇔ 1 < m – 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6 c) x 1 2 + x 2 2 = (m – 3) 2 + m 2 = 2m 2 – 6m + 9 = 2( m 2 – 3m + 2 9 ) = 2(m – 2 3 ) 2 + 2 9 ≥ 2 9 Vậy giá trò nhỏ nhất của x 1 2 + x 2 2 là 2 9 khi m = 2 3 Bài 2: Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số: a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1 b) Xác đònh giá trò của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ Hướng dẫn: a) Δ ’ = m 2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1 b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x 1 .x 2 = 1m 1m − + = 5 ⇒ m = 2 3 ⇒ x 1 + x 2 = 1m m2 − = 6 a) x 1 + x 2 = 1m m2 − = 1m m2 − – 1 + 1 = 2m-(m-1) m+1 +1= +1= m-1 m-1 x 1 .x 2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x 1 .x 2 – (x 1 + x 2 ) + 1 = 0 d) 0 2 5 x x x x 1 2 2 1 =++ ⇔ 2(x 1 2 + x 2 2 ) + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] + 5x 1 x 2 = 0 ⇔ 2(x 1 + x 2 ) 2 + x 1 x 2 = 0 ⇔ 2. ( ) 1m 1m 1m m4 2 2 − + + − = 0 ⇔ 9m 2 = 1 ⇔ m = 3 1 ± Bài 3: Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + m 2 – 4m + 5 = 0 a) Đònh m để phương trình có nghiệm b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x 1 2 + x 2 2 theo m c) Tìm m sao cho x 1 2 + x 2 2 = 12 Hướng dẫn: a) Ta có ∆ ’ = (m + 1) 2 – m 2 + 4m – 5 = 6m – 4 Phương trình có nghiệm khi ∆ ’ ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 3 b) p dụng hệ thức Viet ta có S = x 1 + x 2 = 2(m + 1) P = x 1 . x 2 = m 2 – 4m + 5 x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 12 4(m + 1) 2 – 2m 2 + 8m – 10 = 12 2m 2 + 16m – 6 = 12 m 2 + 8m – 9 = 0 m 1 = 1; m 2 = -9 (loại) Bài 4: Cho phương trình x 2 + 2 mx – m 2 + m – 1 = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m. Xác đònh dấu của các nghiệm b) Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x 1 2 + x 2 2 đạt giá trò nhỏ nhất Hướng dẫn: a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m 2 + m – 1 = -(m - 1 2 ) 2 - 3 4 < 0 nên ac < 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x 1 + x 2 = - 2 m; P = x 1 .x 2 = – m 2 + m – 1 x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 .x 2 = 2m 2 + 2m 2 – 2m + 2 = 4m 2 – 2m + 2 = (m - 1 2 ) 2 + 7 4 ≥ 7 4 với mọi m Vậy giá trò nhỏ nhất của x 1 2 + x 2 2 là 7 4 khi m = 1 2 Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x 2 – 2x – m 2 – 4 = 0 a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x 1 2 + x 2 2 = 20 c) Giải phương trình khi m = -2 Hướng dẫn: a) Ta có: ∆ ’ = 1 + m 2 + 4 = m 2 + 5 > 0 ∀ m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x 1 + x 2 = 2; P = x 1 .x 2 = – m 2 – 4 mà x 1 2 + x 2 2 = 20 hay (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = 20 4 + 2m 2 + 8 = 20 2m 2 = 8 m 2 = 4 m = ± 2 c) Khi m = -2 ta có phương trình: x 2 – 2x – 8 = 0. Giải phương trình này ta được hai nghiệm x 1 = 4; x 2 = -2 Bài 6: Cho phương trình 2x 2 – 5x + 1 = 0 Tính 1 2 2 1 x x x x+ (x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình) Hướng dẫn: Ta có: ∆ = 25 – 8 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng đònh lý Viét : S = x 1 + x 2 = 2 5 > 0; P = x 1 .x 2 = 2 1 > 0 ⇒ hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm dương ⇒ ( ) 2 225 2 1 2 2 5 2 2211 2 21 + =+=++=+ xxxxxx ⇒ 2 225 21 + =+ xx A = 1 2 2 1 x x x x+ = ( ) 2121 xxx +x = 2 225 2 1 + ⋅ = 225 2 1 +⋅ Bài 7: Cho phương trình: x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau Hướng dẫn: a) ∆ ’ = (m – 1) 2 – m + 3 = m 2 – 3m + 4 = (m – 2 3 ) 2 + 4 7 > 0 với mọi giá trò của m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Áp dụng đònh lý Viét ta có: x 1 + x 2 = 2(m – 1) ; x 1 .x 2 = m – 3 Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x 1 + x 2 = 2(m – 1) = 0 m = 1 Bài 8: Cho hai phương trình: x 2 – (2m + n)x – 3m = 0 (1) x 2 – (m + 3n)x – 6 = 0 (2) Tìm m và n để hai phương trình tương đương Hướng dẫn: Xét hai phương trình: x 2 – (2m + n)x – 3m = 0 (1) x 2 – (m + 3n)x – 6 = 0 (2) Ta có: ∆ 1 = (2m + n) 2 + 12m; ∆ 2 = (m + 3n) 2 + 24 > 0 với mọi m; n ⇒ phương trình (2) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Do đó để hai phương trình tương đương thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt Áp dụng đònh lý Viét ta có:    = += -3mP n2mS 1 1 và 2 2 S m 3n P 6 = +   =  (1) ⇔ (2) nên P 1 = P 2 và S 1 = S 2 ⇔    +=+ = 3nmn2m 63m- ⇔    = = -1n -2m Bài 9: Cho phương trình x 2 + mx + n – 3 = 0 (1) a) với n = 0. Hãy chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm b) Tìm m; n sao cho    =− =− 7xx 1xx 2 2 2 1 21 với x 1 ; x 2 là các nghiệm của (1) Hướng dẫn: a) Phương trình x 2 + mx – 3 = 0 có ∆ = m 2 + 12 > 0 với mọi m b) p dụng đònh lý Viét ta có: x 1 + x 2 = -m; x 1 .x 2 = n - 3 x 1 2 – x 2 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 – x 2 ) = 7 ⇒ m = -7 và x 1 = 4; x 2 = 3 ⇒ n = 15 Bài 10: Cho phương trình x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m Hướng dẫn: a) Khi m = 2 ta có phương trình: x 2 – 2x – 1 = 0 . Giải phương trình ta được: x 1 = 1 + 2 ; x 2 = 1 – 2 b) Ta có: ∆ ’ = (m – 1) 2 – m + 3 = m 2 – 3m + 4 = (m – 3 2 ) 2 + 7 4 ≥ 7 4 > 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: S = x 1 + x 2 = 2m – 2 P = x 1 . x 2 = -m + 3 ⇒ S + 2P = 4 Vậy hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là: x 1 + x 2 + 2 x 1 . x 2 = 4 Bài 11: Cho phương trình x 2 – 10x – m 2 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trò m ≠ 0 b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghòch đảo của các nghiệm của phương trình: m 2 x 2 + 10x – 1 = 0 (2) với m ≠ 0 c) Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện 6x 1 + 5x 2 = 5 Hướng dẫn: a) Vì a = 1 > 0; c = -m 2 < 0 ⇒ ac < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m khác 0 b) Gọi a là nghiệm của phương trình (1) ta có: a 2 – 10a – m 2 = 0 Vì a khác 0 nên chia cả hai vế cho a 2 ta được: 1 – 10. – m 2 . 2 1 a = 0 Hay: m 2 . 2 1 a + 10. - 1 = 0 ⇒ là nghiệm của phương trình m 2 x 2 + 10x – 1 = 0 Vậy nghiệm của phương trình (1) là nghòch đảo của các nghiệm của phương trình: m 2 x 2 + 10x – 1 = 0 (2) với m ≠ 0 c) p dụng hệ thức Viet ta có: S = x 1 + x 2 = 10; P = x 1 . x 2 = -m 2 Kết hợp với giả thiết 6x 1 + 5x 2 = 5 ta được x 1 = - 45 ; x 2 = 55 ⇒ x 1 . x 2 = -m 2 = -2475 ⇒ m = 2475± Bài 12: Cho ba số a; b; c thoả mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12. Chứng minh rằng trong 3 phương trình sau: x 2 + ax + b = 0 (1) x 2 + bx + c = 0 (2) x 2 + cx + a = 0 (3) có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm Hướng dẫn: Từ a > b > c > 0 và a + b + c = 12 ⇒ 3a > a + b + c = 12 > 3c ⇒ a > 4 > c Δ 1 = a 2 – 4b > 4a – 4b = 4(a – b) > 0 ⇒ phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm Δ 2 = c 2 – 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < 0 ⇒ phương trình x 2 + cx + a = 0 vô nghiệm Bài 13: Xác đònh m để hai phương trình : x 2 – mx + 2m + 1 = 0 mx 2 – (2m + 1)x – 1 = 0 có nghiệm chung Hướng dẫn: Gọi x 0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có: ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 x mx 2m m 0 (1) mx 2m 1 x 1 0 (2)  − + + =   − + − =   Từ (2) suy ra x 0 ≠ 0. Nhân cả hai vế của (1) với x 0 rồi cộng với (2) ta được: x 0 3 = 1 ⇒ x 0 = 1 Thay x 0 = 1 vào hệ phương trình ta được: m 2 0 m 2 m 2 0 + =  ⇒ = −  − − =  Vậy với m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung Bài 14: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn: 2 1 =+ b 1 a 1 . Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm (x 2 + ax + b)(x 2 + bx + a) = 0 Hướng dẫn: Xét phương trình (x 2 + ax + b) = 0 (1) có ∆ 1 = a 2 – 4b Xét phương trình (x 2 + bx + a) = 0 (2) có ∆ 2 = b 2 – 4a ∆ 1 + ∆ 2 = a 2 + b 2 – 4(a + b) mà 2 1 =+ b 1 a 1 ⇔ 2(a + b) = ab ⇒ ∆ 1 + ∆ 2 = a 2 + b 2 – 4(a + b) = a 2 + b 2 – 2ab = (a – b) 2 ≥ 0 ⇒ Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm. Do đó phương trình (x 2 + ax + b)(x 2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm . ≥      Ví dụ: Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x 2 + 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương Hướng dẫn: a) Phương trình có hai. > 0 với mọi giá trò của m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó: • Lập ∆ • Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0. Từ đó. cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m II. NỘI DUNG: A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Phương trình bậc hai: ax 2 +