SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN -Bảng A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,5 điểm). a) Cho A= 4 3 2 2 16 2 15k k k k+ − − + với k Z∈ . Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho 2 2 2 a b c+ + là số chính phương. Câu 2 (5,5 điểm). a) Giải phương trình: 2 2 1 16 2x x x− − + = b) Cho ,x y thoả mãn: 3 2 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y y x x y y  + − + =   + − =   Tính Q = 2 2 x y+ Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1 1 1 1 1 3 3 3 a b b c c a     + + + + + +  ÷ ÷ ÷     Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện 3 2 a b c+ + ≤ Câu 4 (5,5 điểm). Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB VÀ CD vuông góc với nhau. E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N. a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2 OM.EA. b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON AM DN + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC, lấy điểm 1 C thuộc cạnh AB, 1 A thuộc cạnh BC, 1 B thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài đoạn thẳng 1 1 1 AA , ,BB CC không lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 1 3 ABC S ≤ ( ABC S là diện tích tam giác ABC). - - - - -Hết- - - - - 1 Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 2009 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng A CâuNội dungĐiểm14,5a/Cho A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét các trờng hợp: TH1: k chẵn A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 là một số lẻ A không chia hết cho 2 A không chia hết cho 16 (loại) (1) 1,0 TH2: k lẻ, ta có: A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 = (k 2 - 1)(k 2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0 0,5b/Đặt A = a 2 + b 2 + c 2 . Do tích a.b chẵn nên ta xét các trờng hợp sau:TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ a 2 M 4; b 2 : 4 d 1 a 2 + b 2 : 4 d 1 a 2 + b 2 = 4m + 1 (m N) Chọn c = 2m a 2 + b 2 + c 2 = 4m 2 + 4m + 1 = (2m + 1) 2 (thoả mãn) (1)1,0TH2: Cả 2 số a, b cùng chẵn. a 2 + b 2 M 4 a 2 + b 2 = 4n (n N) Chọn c = n - 1 a 2 + b 2 + c 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) ta luôn tìm c Z thoả mãn bài toán.1,025,5a/Giải phơng trình x 2 - x - 2 1 16x 2+ = . ĐKXĐ: 1 x 16 Khi đó phơng trình x 2 - x = 2( 1 16x 1)+ + 2 Đặt: 1 16x 1 2y+ + = ( 1 y 2 ) 1 + 16x = 4y 2 -4y + 1 4y 2 - 4y = 16x y 2 - y = 4x (*) Ta có: 2 2 y y 4x (x y)(x y 3) 0 x x 4y = + + = = x y 1 1 x y 3 0 (loại vì x - và y ) 16 2 = + + = Với x = y thay vào (*) x 2 - x = 4x x 2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 = = x 5 (thoả mãn) x 0 (loại) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5 0,25 0,5 1,25 0,5 0,25 0,25b/Cho x, y thoả mãn: + + = + = 3 2 2 2 2 x 2y 4y 3 0 (1) x x y 2xy 0 (2) Từ (1) x 3 = -2y 2 + 4y -3 x 3 = -2(y 2 - 2y + 1) - 1 x 3 = -2(y - 1) 2 - 1 -1 với y x 3 -1 x -1 (*) 3 Tõ (2) ⇒ x 2 (y 2 + 1) = 2y ⇔ x 2 = ≤ + 2 2y 1 y 1 víi ∀ y ⇒ x 2 ≤ 1 ⇔ | x | ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 (**) Tõ (*) vµ (**) ⇒ x = -1 thay vµo (2) ta ®îc: y 2 - 2y + 1 = 0 ⇔ (y - 1) 2 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ (x, y) = (-1, 1) (tho¶ m·n) ⇒ Q = x 2 + y 2 = (-1) 2 + 1 2 = 2 1,0 1,0 0,533,0§Æt + = 1 1 x a b ; + = 1 1 y b c ; + = 1 1 z c a ⇒ (x, y, z > 0) ⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z) = 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz ≥ 2 3 3 27 9 (xyz) 27 xyz xyz + + + (*) L¹i cã: 1 1 1 1 1 1 8 xyz a b b c c a abc     = + + + ≥  ÷ ÷ ÷     (v× a, b, c > 0) mµ 3 3 3 1 a b c 3 abc abc 2 2 ≥ + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥ 1 8 8 abc 64 xyz 64 8 abc abc Thay vµo (*) ta ®îc: 23 3 P 27 9 64 27 64 64≥ + + + = 27 + 144 + 108 + 64 = 343 DÊu "=" cã khi a = b = c = 1 2 ⇒ P min = 343 Khi a = b = c = 1 2 1,5 4 0,75 0,5 0,25 45,5a/XÐt ∆COM vµ ∆CED cã:  = =     0 ˆ ˆ O E 90 ˆ C chung ⇒ ∆COM ∆CED (g-g) ⇒ = CO OM CE ED (1) Do AB, CD lµ 2 ®êng kÝnh vu«ng gãc víi nhau ⇒ = = 0 1 1 ˆ ˆ E A 45 XÐt ∆AMC vµ ∆EAC cã:  = =     0 1 1 ˆ ˆ E A 45 ˆ C chung ⇒ ∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒ = AC AM CE AE mµ AC 2 CO= (do ∆ACO vu«ng c©n t¹i O) ⇒ = = AM 2 CO 2 OM AE CE ED (do (1)) ⇒ AM.ED = 2 OM.AE (§PCM) 1,0 1,0 5 S S N M D C O B A E 1 1 1,0b/Tơng tự câu a ta có: BON BEA = BO ON BE EA BND BDE = = DN BD 2BO DE BE BE DN 2 ON DE EA = ON DN ON EA EA DN 2 DE 2 DE = = Từ câu a ta có: AM.ED = 2 .OM.AE = OM ED AM 2 EA = OM ON 1 . AM DN 2 mà + = = OM ON OM ON 1 2 . 2 2 AM DN AM DN 2 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi: = = = OM ON ED EA ED EA AM DN 2EA 2ED E là điểm chính giữa cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ nhất của + = OM ON 2 AM DN E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD 0,5 0,5 0,5 6 S S 1,051,5Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö ≥ ≥ ⇒ ≥ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ A B C A 60 TH1: ≤ < 0 0 ˆ 60 A 90 kÎ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC ABC 1 S CH.AB 2 ⇒ = mµ CH ≤ CC 1 ≤ 1 ta cã: 1 0 BB BK 1 1 2 AB SinA SinA SinA Sin60 3 = ≤ ≤ ≤ = ABC 1 2 1 S .1. 2 3 3 ⇒ ≤ = (1) TH2: 0 ˆ A 90≥ ⇒ AB ≤ BB 1 ≤ 1, CH ≤ CC 1 ≤ 1 ABC 1 1 1 S .1.1 2 2 3 ⇒ ≤ = < (2) Tõ (1) vµ (2) ABC 1 S 3 ⇒ ≤ 0,5 0,5 0,5 Chó ý : ThÝ sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a 7 K H A B C A 1 B 1 C 1 . ABC). - - - - -Hết- - - - - 1 Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 20 09 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn:. 2 x 2y 4y 3 0 (1) x x y 2xy 0 (2) Từ (1) x 3 = -2 y 2 + 4y -3 x 3 = -2 (y 2 - 2y + 1) - 1 x 3 = -2 (y - 1) 2 - 1 -1 với y x 3 -1 x -1 (*) 3 Tõ (2) ⇒ x 2 (y 2 + 1) = 2y ⇔ x 2 = ≤ + 2 2y 1 y. ta có: A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 = (k 2 - 1)(k 2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2