SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 1 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2003 – 2004 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 13/7/2003 Bài 1: ( 1,5 điểm). Cho 0 < a < 1 , hãy rút gọn biểu thức: M =         −−         +−− − + −−+ + a a aa a aa a 1 1 1 . 11 1 11 1 2 2 . Bài 2: ( 2,0 điểm). Cho x, y là hai số thỏa mãn đẳng thức: 4 4 1 2 2 2 2 =++ y x x ( với x ≠ 0). Xác định x, y để tích xy đạt giá trị bé nhất. Bài 3: ( 2,5 điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, phương trình: ( ) 01.12122 2 =−++− xnnx không có nghiệm nguyên. Bài 4: ( 2,5 điểm). Cho 7 đường thẳng bất kỳ, đôi một không song song. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp đường thẳng trong số 7 đường thẳng đã cho, mà góc hợp bởi hai đường thẳng đó nhỏ hơn 26 0 . Bài 5: ( 1,5 điểm). Chứng minh rằng bên trong đường tròn (O; R) không thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng 5 R mà đôi một không cắt nhau. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán (Chuyên Toán) Bài 1: ( 1,5 điểm). Với 0 < a < 1, ta có: A = aa a aa a +−− − + −−+ + 11 1 11 1 2 = ( ) aaa a aa a −−+− − + −−+ + 111 1 11 1 = aa aa −−+ −++ 11 11 = ( ) a aa 2 11 2 −++ = a a 2 122 2 −+ = a a 2 11 −+ (1) ( 0,5 điểm). B = a a aa a a a 11111 1 1 22 2 −− =− − =−− (2) ( 0,5 điểm). Từ (1) và (2) ta suy ra: M = a a 2 11 −+ . a a 11 2 −− = 1− ( 0,5 điểm). Bài 2: ( 2,0 điểm). Ta có: 4 4 1 2 2 2 2 =++ y x x ⇔ 2 2 1 22 =−       ++       − xy y x x x ( 0,5 điểm). ⇔ 22 2 1 2       ++       −+−= y x x xxy 2−≥ ( 0,5 điểm). Vậy giá trị bé nhất của xy là 2− , điều này xảy ra khi và chỉ khi:    −= = 2 1 y x hoặc    = −= 2 1 y x ( 0,5 điểm). Kết luận: với    −= = 2 1 y x hoặc    = −= 2 1 y x thì tích xy đạt giá trị bé nhất. ( 0,5 điểm). Bài 3: ( 2,5 điểm). Giải phương trình đã cho ta được: ( ) ( ) 11212 33 2,1 ++±+= nnx ( 0,5 điểm). Đặt n k 3 (2 1)+ = , ( k ≠ 0). Vì n ∈ Z nên k ∈ Z. Khi đó 1 2,1 +±= kkx . Giả sử có ít nhất một trong hai nghiệm trên là số nguyên, chẳng hạn 1++ kk = a là số nguyên. Từ đó ( ) 2 1212 akkk =+++ hay ( ) 1212 2 −−=+ kakk là số nguyên. ⇒ ( ) 12 +kk là số nguyên. ( 1,0 điểm). Lại đặt ( ) 12 +kk = m , (m ∈ Z) hay ( ) 2 1 m kk =+ là số hữu tỉ. Ta có ( ) 1+kk là nghiệm của phương trình x 2 – k(k + 1) = 0 với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. Nếu ( ) 1+kk = t , (t ∈ Z) hay k(k + 1) = t 2 thì t chắc chắn phải lớn hơn k và nhỏ hơn k + 1. Không có số nguyên nào thỏa mãn điều đó. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. ( 1,0 điểm). Bài 4: ( 2,5 điểm). Gọi 7 đường thẳng cho trước là a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , và a 7. Từ một điểm O bất kỳ trong mặt phẳng, ta kẻ các đường thẳng b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 và b 7 tương ứng song song với các đường thẳng đã cho. 2 Theo giả thiết các đường thẳng a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , và a 7 đôi một không song song, nên 7 đường thẳng b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , b 7 cũng không có hai đường thẳng nào trùng nhau. ( 1,0 điểm). Do đó 7 đường thẳng b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 và b 7 cho ta 7 góc liên tiếp kề nhau: (b 1 , b 2 ); (b 2 , b 3 ); (b 3 , b 4 ); (b 4 , b 5 ); (b 5 , b 6 ); (b 6 , b 7 ); (b 7 , b 1 ). Tổng của 7 góc này bằng 180 0 ( 0,5 điểm). Từ đó suy ra ít nhất cũng phải có một góc nào đó trong 7 góc ở trên nhỏ hơn 26 0 . Vì nếu không có góc nào nhỏ hơn 26 0 thì tổng 7 góc sẽ lớn hơn 180 0 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết trên. ( 0,5 điểm). Giả sử (b i , b i+1 ) < 26 0 , suy ra (a i , a i+1 ) < 26 0 (với i = 1, 2, …, 7 và b 8 ≡ b 1 , a 8 ≡ a 1 ) ( đpcm). ( 0,5 điểm). Bài 5: ( 1,5 điểm). Giả sử vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng 5 R mà đôi một không cắt nhau nằm trong đường tròn (O; R). Khi đó ta có: 2 5 .25       R π < 2 .R π ⇔ R 2 < R 2 , vô lý. ( 1,0 điểm). Vậy không thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng 5 R mà đôi một không cắt nhau nằm trong đường tròn (O; R). ( 0,5 điểm). oOo 3 . aa aa −−+ −++ 11 11 = ( ) a aa 2 11 2 −++ = a a 2 12 2 2 −+ = a a 2 11 −+ (1) ( 0,5 điểm). B = a a aa a a a 11 111 1 1 22 2 −− =− − =−− (2) ( 0,5 điểm). Từ (1) và (2) ta suy ra: M = a a 2 11 −+ . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán (Chuyên Toán) Bài 1: ( 1, 5 điểm). Với 0 < a < 1, ta có: A = aa a aa a +−− − + −−+ + 11 1 11 1 2 = ( ) aaa a aa a −−+− − + −−+ + 11 1 1 11 1 = aa aa −−+ −++ 11 11 . SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 1 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2003 – 2004 Thời gian làm bài 15 0 phút Ngày thi: 13 /7/2003 Bài 1: ( 1, 5 điểm). Cho