CHUN ĐỀ 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phần 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. Mơc tiªu bµi häc: - Về kiến thức: Học sinh nắm chắc hơn định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn. - Về kỹ năng: Giải tốn về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm. Áp dụng được đạo hàm để giải các bài tốn đơn giản. - Về ý thøc, th¸i ®é: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng tạo trong q trình tiếp thu kiến thức mới. II. Ph ¬ng tiƯn d¹y häc SGK, SBT,làm bài tập ở nhà III. Ph ¬ng ph¸p d¹y häc chđ u: VÊn ®¸p – hoạt động nhãm IV. TiÕn tr×nh d¹y häc 2. Bµi míi: 1 : Ơn lý thuyết u cầu hs trình bày lại: Tính đơn điệu, hàm số đồng biến, hs nghịch biến, Mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và sự biến thiên hàm số. Để xét tính đơn điệu của hàm số ta làm theo quy tắc: - Tìm TXĐ - Tính y’=f’(x). Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó y’=0 hoặc khơng xác định - lập bảng biến thiên và xét dấu y’ - kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến 2 : Tổ chức luyện tập 1)Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 -3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 -x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y= f(x) = x 3 −3x 2 . g) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . h) y= f(x) = x 4 −2x 2 . i) y = f(x) = sinx trên [0; 2π]. Tiếp tục u cầu các nhóm giải bài tập , Hướng dẫn nhanh cách giải ; Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, Để Hs đồng biến thì đạo hàm phải dương,nghịch biến thì đạo hàm phải âm . 2) Cho hàm số y = f(x) = x 3 -3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Định m để hàm số ln đồng biên trên từng khoảng xác định của nó (ĐS:1 ≤ m ≤ 0) 3) Tìm m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biên trên từng khoảng xác định của nó. (ĐS:m = 0) 4) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 5) Tìm m để hàm số mx 2mmx2x y 2 − ++− = ln đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/ Mục tiêu : 1/ Kiến thức : Nắm vững hơn về định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số, hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, tìm tham số m để hàm số có cực trị . 2/ Kĩ năng: Vận dụng thành thạo hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, biết vận dụng cụ thể từng trường hợp của từng qui tắc. 3/ Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận, chính xác. II. Ph ¬ng tiÖn d¹y häc SGK, SBT, làm bài tập ở nhà III. Ph ¬ng ph¸p d¹y häc chñ yÕu: VÊn ®¸p – hoạt động nhóm IV. TiÕn tr×nh d¹y häc 1: Cũng cố lý thuyết Để tìm cực trị của hàm số ta áp dụng quy tắc 1 sau: - Tìm TXĐ - Tính y’ và tìm các điểm x i (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định - Lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực trị của hàm số Để tìm cực trị của hàm số ta còn áp dụng quy tắc 2 sau: - Tìm TXĐ - Tính y’ và tìm các điểm x i (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định - Tính y’’ và y’’(x i ) - Dựa vào dấu của y’’(x i ) để kết luận các điểm cực trị của hàm số 2: Tổ chức luyện tập 1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I: a) y = x 3 . b) y = 3x + x 3 + 5. . 2) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II: a / 4 2 3 2y x x= − + b) y = x 2 lnx c) y = sin 2 x với x∈[0; π ] . 3) Xác định tham số m để hàm số y = x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x = 2. ( m = 11) 4) Xác định m để hàm số y = f(x) = x 3 -3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trị. ( m ≥1) b.Có cực đại và cực tiểu. ( m <1) 5) Xác định m để hàm số y = f(x) = x1 mx4x 2 − +− a. Có cực đại và cực tiểu. (m>3) b.Đạt cực trị tại x = 2. (m = 4) c.Đạt cực tiểu khi x = -1 (m = 7) 6) Tìm cực trị của các hàm số : a) x 1 xy += . b) 6x2 4 x y 2 4 ++−= . 7) Xác định m để hàm số sau đạt cực đại tại x =1: y = f(x) = 3 x 3 -mx 2 +(m+3)x-5m+1. (m = 4) 3 / Hướng dẫn học ở nhà : BT về nhà B1. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx= − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. B2. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m để hàm số có cực trị B3. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Buổi 2: GTLN – GTNN – TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Phần 1: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs thành tạo trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số và biết ứng dụng vào các bài toán thuwowngf gặp. Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt. Thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận. II/ Chuẩn bị của GV và HS Hs: Học bài ở nhà nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN. Chuẩn bị trước bt ở nhà. III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp,hoạt động nhóm IV/ Tiến trình tiết dạy: 1 / Ổn định lớp: 2/ Bài mới: 1: Ôn lý thuyết : - Tính y’. Tìm các điểm x 1 , x 2 ,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định - Tính f(a), f(b), tính f(x 1 ), f(x 2 ),…. - Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên [ ] [ ] ; ; max ( ) ; min ( ) a b a b f x M f x m= = 2: Tổ chức luyện tập 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 -2x+3. ( R Min f(x) = f(1) = 2) 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 -2x+3 trên [0;3]. ( ]3;0[ Min f(x) = f(1) = 2 và ]3;0[ Max f(x) = f(3.) = 6 3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. ( )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = -4) 4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 5) Tìm GTLN: y = −x 2 +2x+3. ( R Max y = f(1 ) = 4) 6) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. ( );0( Min ±∞ y = f(1 ) = −3) 7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 ( 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − ) 8) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. ( R Min y = f(±1) = 2; Không có R Max y) b) y = x 4 +4x 2 +5. ( R Min y=f(0)=5; Không có R Max y) Gv sửa sai,hoàn thiện lời giải Phần 2 : TIỆM CẬN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về giới hạn của hàm số, Nắm kỹ hơn về tiệm cận,cách tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số và biết ứng dụng vào bài toán thực tế. Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt. Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận. II/ Chuẩn bị của GV và HS Hs: nắm vững lí thuyết về giới hạn,tiệm cận của đồ thị. Chuẩn bị trước bt ở nhà. III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp IV/ Tiến trình tiết dạy: 1/ Ổn định lớp: 2/ Bài mới: Phần 1 : Yêu cầu học sinh chia làm 4 nhóm nhắc lại một số kiến thức lý thuyết có liên quan đến bài học như sau : 1 / Khái niệm giới hạn bên trái,giới hạn bên phải. 2 / Giới hạn vô cùng - Giới hạn tại vô cùng 3 / Khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị 4 / Khái niệm tiện cận đứng của đồ thị Cả lớp thảo luận,bổ sung ,sửa sai,hoàn thiện phần lý thuyết để khắc sâu kiến thức cho Hs 2 : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải các bài tập. Bài tập 1 : Chia lớp làm 4 nhóm yêu cầu mỗi nhóm giải mỗi câu sau.Tìm tiệm cận đứng,ngang của đồ thị các hàm số sau : a/ 2 1 2 x y x − = + b/ 3 2 1 3 x y x − = + c/ 5 2 3 y x = − d/ 4 1 y x − = + Đại diện các nhóm trình bày trên bảng, lớp thảo luận bổ sung, góp ý, hoàn chỉnh .ghi chép Gợi ý lời giải : a / 2 1 2 x y x − = + ta có 2 2 1 lim , 2 x x x + →− − = −∞ + và 2 2 1 lim , 2 x x x − →− − = +∞ + Nên đường thẳng x = - 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị Bài tập 2 : Tiến hành tương tự cho bài tập 2 như sau : a./ 2 2 12 27 4 5 x x y x x − + = − + b/ 2 2 2 ( 1) x x y x − − = − c / 2 2 3 4 x x y x + = − d / 2 2 4 3 x y x x − = − + Đại diện các nhóm trình bày ,lớp thảo luận ,góp ý ,bổ sung. Gợi ý lời giải : a./ 2 2 12 27 4 5 x x y x x − + = − + Vì 2 2 12 27 lim 1 4 5 x x x x x →±∞ − + = − + nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị Vì 2 4 5x x− + > 0 , ∀ x nên đồ thị không có tiệm cận đứng 4/ Củng cố : Nhắc lại cách tìm giới hạn của hsố trên . Lưu ý cách tìm tiệm cận đứng nhanh bằng cách tìm các giá trị làm cho mẫu thức bằng không. BTVN: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a. 4 3 2 3 2 9y x x x x= − − + trong đoạn [ ] 2;2− b. 2 1 2 x y x + = − trong đoạn [ ] 3;4 c. [ ] 3 2 6 9 , 0;4y x x x x = − + ∈ d. [ ] 2 2 , 2;2y x x x= + − ∈ − Buổi 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số, Nắm kỹ hơn về biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số . Về tư duy : Đảm bảo tính logic V thỏi : Thỏi nghiờm tỳc, cn thn.chớnh xỏc, II/ Chun b ca GV v HS Hs: nm vng lý thuyt v khảo sát hàm số và các bài toán liên quan. III/ Phng phỏp: Gi m, vn ỏp kt hp hot ng nhúm . IV/ Tin trỡnh tit dy: * ễn lý thuyt : 1. Sơ đồ khảo sát hàm số: 1. Txđ 2. Sự biến thiên a) Giới hạn và tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận của các hàm phân thức) b) Bảng biến thiên: - Tính o hm - Tìm các điểm x i sao cho phơng trình y (x i ) = 0. Tính y(x i ) - Lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị. 3. Vẽ đồ thị: - Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc một số điểm đặc biệt) - Vẽ đồ thị 2. PTTT ca th hm s a) PTTT ca hm s (C): y = f(x) ti im M 0 (x 0 ; y 0 ) Bc 1: PTTT cn tỡm cú dng: y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) Bc 2: Tớnh f (x) Bc 3: Tớnh f (x 0 ) Bc 4: Thay x 0 , y 0 v f (x 0 ) vo bc 1 b) PTTT ca (C): y = f(x) bit h s gúc k cho trc Bc 1: Tớnh f (x) Bc 2: Gii phng trỡnh f (x 0 ) = k nghim x 0 Bc 3: Tớnh y 0 = f(x 0 ) Bc 4: Thay x 0 , y 0 v k = f (x 0 ) vo PT: y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) * Tin hnh hng dn,gi m dn dt hc sinh gii cỏc bi tp. VD1 : Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 - 2 a) Khảo sát hàm số. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm y=0 Giải: a) Khảo sát hàm số: 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn: lim x y = m b) Bảng biến thiên: y = - 3x 2 + 6x, y = 0 - 3x 2 + 6x = 0 1 1 2 1 0 2 2 2 x y x y = = = = - Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) và nghịch biến trên khoảng (- ; 0) và (2 ; +) - Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) 3. Đồ thị : - Điểm uốn : y = - 6x + 6; y = 0 khi x = 1 y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0) - Giao Ox : (1 3;0); (1 3;0); (1;0)A B U + - Giao Oy : D(0 ; -2) Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng. b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0) Hệ số góc k = f(1) = 3 Vậy ta có phơng trình tiếp tuyến là : y - y 0 = k(x - x 0 ) hay : y - 0 = 3(x - 1) y = 3x - 3 Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba : 1. Txđ: R 2. 0 lim ; 0 lim x x a y a y > = < = m 3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y > 0 hoặc X - 0 2 + y - 0 + 0 - y + 2 -2 - 2 -2 y x O y < 0 x R) 4. Tìm điểm uốn trớc khi vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. VD 2: Cho hm s (C): y = -x 3 + 3x + 2 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) b) Da vo th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x 3 3x 2 + m = 0 S: * m > 4: 1 n 0 ; * m = 4: 2 n 0 ; * 0 < m < 4: 3 n 0 ; * m = 0: 2 n 0 ; * m < 0: 1 n 0 c) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im I(0; 2). S: y = 3x + 2 d) Vit phng trỡnh ng thng i qua im cc i v im cc tiu ca th (C) HD: PT t i qua 2 im A(x A ; y A ) v B(x B ; y B ) cú dng: A A B A B A x x y y x x y y = . S: y = 2x + 2 VD3: Cho hm s (C): y = x 3 + 3x 2 + 1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) b) Da vo th (C), bin lun theo k s nghim ca phng trỡnh: x 3 + 3x 2 k = 0 S: * k > 4: 1 n 0 ; * k = 4: 2 n 0 ; * 0 < k < 4: 3 n 0 ; * k = 0: 2 n 0 ; * k < 0: 1 n 0 c) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh bng -1 HD: Th x = -1 vo (C) y = 3: M(-1; 3). S: y = -3x d) Vit phng trỡnh ng thng i qua im cc i v im cc tiu ca th (C) S: y = -2x + 1 VD4: Cho hm s (C): y = x 3 3x 2 + 4 a) Kho sỏt v v th hm s (C) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) song song vi ng thng y = 5 x 1 3 . S: y = 5 83 x 3 27 + ; y = 5 115 x 3 27 + VD5: Cho hm s (C m ): y = 2x 3 + 3(m 1)x 2 + 6(m 2)x 1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) khi m = 2 b) Vi giỏ tr no ca m, th ca hm s (C m ) i qua im A(1; 4). S: m = 2 c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca hm s (C) i qua im B(0; -1). S: y = -1; y = 9 x 1 8 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: 3 12 12y x x= + (C) a) Khảo sát hàm số. b) Tìm giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = - 4 Bài 2: Cho hàm số 3 2 1 ( ) 3 y x x C= (Đề thi TN 2002) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0) Bài 3: Cho hàm số 3 1 3 ( ) 4 y x x C= (Đề TN 2001) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 3 (d) Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x 3 - (m + 2)x + m a) Tìm m để hàm số có cự đại tơng ứng với x = 1 b) Khảo sát hàm số tơng ứng với m = 1(C) c) Biện luận số giao điểm của (C) với đờng thẳng y = k Bài 5 : (Đề 97) Cho hàm số y = x 3 - 3x + 1 (C) Khảo sát hàm số (C) Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 9 (C) a) Khảo sát hàm số b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm phơng trình y=0 c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm của phơng trình x 3 - 6x 2 + 9 - m. 6 4 2 -2 5 x y Bµi 8 : Cho hµm sè 3 2 1 2,( ) 3 y x x C= − + a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) biÕt r»ng tiÕp tun ®ã vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d: 1 2 3 y x= − + Buổi 4: KHẢO SÁT HÀM SỐTRÙNG PHƯƠNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN I/ Mục tiêu: Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số, Nắm kỹ hơn về biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số . Về tư duy : Đảm bảo tính logic Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác, II/ Chuẩn bị của GV và HS Hs: nắm vững lí thuyết về kh¶o s¸t hµm sè vµ c¸c bµi to¸n liªn quan. III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm . IV/ Tiến trình tiết dạy: Phần 1 : Ơn lý thuyết : 1. S¬ ®å kh¶o s¸t hµm sè: 2/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò  Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ( )m ϕ .  Phương pháp giải: B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y= ( )m ϕ . Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. Ví dụ: Cho hàm số y=x 3 – 6x 2 + 9x (C). Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 Giải: Phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 ⇔ x 3 – 6x 2 + 9x = m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thò ta có: Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm. Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm. Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm. Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm. Phần 2 : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải các bài tập. Hµm sè bËc 4 trïng ph¬ng y = ax 4 + bx 2 + c VD1: Cho hµm sè 4 2 1 9 2 ( ) 4 4 y x x C= − + + a) Kh¶o s¸t hµm sè b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 1. Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè 6 4 2 y 5 x O 1 Tập xác định: R Sự biến thiên a) Giới hạn: lim x y = b) Bảng biến thiên: 1 1 3 2,3 2,3 9 0 4 y' = - x + 4x; y' = 0 25 2 4 x y x y = = = = x - - 2 0 2 + y + 0 - 0 + 0 - y 25 4 25 4 - 9 4 - Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) và (2; +) Cực trị: CD CD 25 9 x = 2 y = ; 0 4 4 CT CT x y = = Đồ thị : (H2) - Điểm uốn: y = - 3x 2 +4; y = 0 2 161 36 3 x y = = - Giao với Ox : A(-3 ; 0) và B(3 ; 0) - Giao Oy : 9 (0; ) 4 C (H2) b) x 0 = 1 y 0 = 4, y(x 0 ) = y(1) = 3. Nên phơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4 = 3(x - 1), hay : y = 3x + 1. Một số lu ý khi khảo sát hàm số bậc 4 trùng phơng : a) Txđ : R b) 0 : lim x a y > = + đt hàm số có hai cực tiểu - một cực đại hoặc chỉ có một cực tiểu (y = 0 chỉ có một nghiệm, khi đó đồ thị giống đồ thị parabol) 0 : lim ; x a y < = đt hàm số có hai cực đại - một cực tiểu hoặc chỉ có một cực đại. c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận. VD2: Cho hm s (C): y = - x 4 + 2x 2 + 1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: -x 4 + 2x 2 + 1 m = 0 S: * m > 2: vụ n 0 ; * m = 2: 2 n 0 ; * 1 < m < 2: 4 n 0 ; * m = 1: 3 n 0 ; * m < 1: 2 n 0 c) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú tung bng 2 HD: Th y = 2 vo (C) x = 1: M(-1; 2), N(1; 2). S: y = 2 VD3: Cho hm s (C): y = x 4 2x 2 3 a) Kho sỏt v v th hm s (C) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit h s gúc ca tip tuyn l 24. S: y = 24 43 VD4: Cho hm s (C m ): y = x 4 (m + 7)x 2 + 2m 1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) khi m = 1 b) Xỏc nh m th (C m ) i qua im A(-1; 10). S: m = 1 c) Da vo th (C), vi giỏ tr no ca k thỡ phng trỡnh: x 4 8x 2 k = 0 cú 4 nghim phõn bit. S: -14 < k < 0 Bài tập tự luyện : Bài 1 : Cho hàm số y = x 4 - 2x 2 - 3 (C) a) Khảo sát hàm số. 2 -2 -4 y 5 x 1 O I b) Dựa vào (C), tìm m để phơng trình x 4 - 2x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 2: Khảo sát hàm số: y = - x 4 + 4x 2 - 5 Bài 3: Cho hàm số: y = x 4 + mx 2 - m - 5 (C m ) a) Khảo sát hàm số với m = 1 (C) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. c) Tìm m để (C m ) có cực đại và cực tiểu. Bài 4: Cho hàm số: 4 2 1 9 2 4 y x mx= (C m ) a) Khảo sát hàm số với m = 3. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 9 (0; ) 4 A . Bài số 5. Khảo sát các hàm số sau: 4 2 4 2 4 2 1) y x 4x 3 2) y x x 2 3) y x 2x 1 = + = + = + Bui 5: KHO ST HM S PHN THC BC NHT TRấN BC NHT V CC BI TON LIấN QUAN I/ Mc tiờu: V kin thc: Giỳp hc sinh nm chc hn v s kho sỏt hm s, Nm k hn v bin thiờn,Cc tr,GTLN,GTNN,tim cn,cỏch v th hm s V k nng: Rốn luyn cho hs cú k nng thnh to trong vic kho sỏt v th hm s . V t duy : m bo tớnh logic V thỏi : Thỏi nghiờm tỳc, cn thn.chớnh xỏc, II/ Chun b ca GV v HS Hs: nm vng lớ thuyt v khảo sát hàm số và các bài toán liên quan. III/ Phng phỏp: Gi m, vn ỏp kt hp hot ng nhúm . IV/ Tin trỡnh tit dy: VD1: Cho hàm số: 4 ( ) 1 x y C x + = a) Khảo sát hàm số. b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = 2x + 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm trên. Giải: a) Khảo sát hàm số: 1.Tập xác định: D = R\{1} 2.Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 2 3 ' 0, ( 1) y x D x = > . Nên hàm số nghịch biến trên (- ; 1) và (1; + ) b) Cực trị: Đồ thị hàm số không có cực trị. c) Giới hạn và tiệm cận: 1 lim x y + = x = 1 là tiệm cận đứng. lim 1 x y + = y = - 1 là tiệm cận ngang. d) Bảng biến thiên : x - 1 + y - - y + -1 -1 - 3.Đồ thị : (H3) - Giao với Ox : A(4 ; 0) - Giao với Oy : B(0 ; -4) - Đồ thị nhận I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm của(C) và đờng thẳng d là nghiệm Của phơng trình: 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 6 0 3 1 5 2 x y x x x x x x y = = + = + + = = = Vậy giao điểm của (C) và đờng thẳng d là: 1 2 3 ( 2; 2), ( ;5) 2 M M - Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 1 có hệ số góc là: 1 1 '( 2) 3 k y= = Nên có phơng trình là: 1 1 8 2 ( 2) 3 3 3 y x y x+ = + = - Phơng trình tiếp của (C) tại M 2 có hệ số góc là: 2 3 '( ) 12 2 k y= = . Nên có phơng trình là: 3 5 12( ) 12 23 2 y x y x = = + Những lu ý khi khảo sát hàm b1/b1: 1. Tập xác định: \{ }. d D R c = 2. Hàm số luôn đồng biến (y>0) hoặc luôn nghịch biến (y<0) trên các khoãng xác định. 3. Đồ thị hàm số không có cực trị. 4. Giới hạn và tiệm cận: ) lim d x c d y x c + = = là tiệm cận đứng. )lim x a a y y c c + = = là tiệm cận ngang +) Không có tiệm cận xiên. vd2. Cho hàm số 3x 1 y x 3 = có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1 3) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [0; 2]. Hớng dẫn giải. 1) Hs tự khảo sát. Đồ thị: 2) Có ( ) 2 10 5 y' y'( 1) 8 x 3 = = ; y( 1) 1 = Phơng trình tiếp tuyến: ( ) 5 5 3 y x 1 1 y x 8 8 8 = + + = + 3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2]. Do đó: [ ] [ ] 0;2 0;2 1 max y y(0) ; min y y(2) 5 3 = = = = . VD3. Cho hm s (C): y = x 1 x 3 + a) Kho sỏt v v th hm s (C) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng phõn giỏc phn t th nht HD: ng phõn giỏc phn t th nht l: y = x. S: y = -x v y = -x + 8 VD4.: Cho hm s (C m ): y = mx 1 2x m + a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C 2 ) [...]... hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại... hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại... giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S = ∫ f ( x ) − ( x )]dx [ g a TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm... 1)x − 2m + 1 x −1 3 1 1 ) ĐS: y = x − 8 8 4 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung HD: Giao điểm với trục tung ⇒ x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒ y = -1: E(0;... 3 3 x 4 ∫ x dx + ∫ 1dx = ( 4 + 1)dx = −1 3 −1 3 + x) −1 π 4 =( −1 π 4 81 1 + 3) − ( − 1) = 24 4 4 π π 4 4 1 ( − 3sin x )dx = 4 ∫ dx − 3 ∫ sin xdx = (4 tan x + 3 cos x ) 4π = b/ ∫ − cos2 x cos2 x −π −π −π 4 4 4 4 π π π π = (4 tan 4 + 3 cos 4 ) − [4 tan( − 4 ) + 3 cos( − 4 )] =8 2 c/ ∫ −2 1 2 1 2 −2 1 −2 1 x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx =(x- x2 1 x2 2 ) −2 + ( − x )... tích hình phẳng: a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) b :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x ) dx a b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x)... CMR: y ' tan x − y ''− 1 = 0 3 y = ln ( sin x ) CMR: y '+ y ''sin x + tan 4 y = e x cos x CMR: 2 y '− 2 y − y '' = 0 x =0 2 y= ln x x 5 y = ln 2 x CMR: x 2 y ''+ x y ' = 2 Bi 9 PT, BPT, HPT, HBPT mò( 3tiÕt) I Mục tiêu: 1) Về kiến thức: C¸c kiÕn thøc vỊ l thõa vµ mò 2) Về kỹ năng: – Thực hiện thành thạo việc gi¶i PT, BPT, hƯ PT vµ hƯ BPT mò 3) Về tư duy và thái độ: – Tự giác, tích cực trong học tập... 0 < a ≠ 1 ln a α 5, ∫ a u du = au + C , 0 < a ≠ 1 ln a 6, ∫ cos x.dx = sin x + C 6, ∫ cos u.du = sin u + C 7, ∫ sin x.dx = − cos x + C 7, ∫ sin u.du = − cos u + C dx = tan x + C cos 2 x dx 9, ∫ 2 = − cot x + C sin x 8, ∫ 8, ∫ du = tan u + C cos 2 u du 9, ∫ 2 = − cot u + C sin u b.Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm... 36+ 2 2 +1− 2 − 4 − 2 = 33 = 27 2 Hµm sè mò y=ax(a>0,a≠1) a>1 y’>0 víi mäi x ∈ R Hµm sè ®ång biÕn trªn R lim a = +∞ ; lim a = 0 lim a = 0 ; lim a = +∞ B¶ng biÕn thi n II 0 . Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại. tiệm cận ngang. d) Bảng biến thi n : x - 1 + y - - y + -1 -1 - 3.Đồ thị : (H3) - Giao với Ox : A(4 ; 0) - Giao với Oy : B(0 ; -4) - Đồ thị nhận I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm. chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 )