Bài tập Phương pháp mô phỏng I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các phép tính trên ma trận Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận. Phương pháp ma trận trở thành đối tượng quan tâm lớn của các nhà vật lý vào những năm 1920 khi Heisenberg áp dụng ma trận vào cơ học lượng tử. Giả sử chúng ta có cặp phương trình tuyến tính: U = Ax + By V = Cx + Dy Trong đó: A, B, C, D là các hệ số đã biết, x và y là các biến. Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng ma trận như sau:             =       y x DC BA V U * Phép nhân ma trận Giả sử ta có hai ma trận       = TR QP M và       = DC BA N . Khi đó tích hai ma trận được tính như sau:       ++ ++ =             = TDRBTCRA QDPBQCPA DC BA TR QP MN Tổng quát, các phần tử của ma trận tích có dạng: ∑ = = n k kjikij bac 1 . Một số điểm cần lưu ý trong phép nhân ma trận: - Thứ tự nhân ma trận: tích MN cho kết quả khác với tích NM - Tích MN chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận M bằng số dòng của ma trận N - Nếu m, n lần lượt là số dòng và số cột của ma trận M và n, k lần lượt là số dòng và số cột của ma trận N, thì tích của MN là một ma trận có m dòng và n cột. * Tích của nhiều ma trận Tích của các ma trận chỉ có tính kết hợp chứ không có tính giao hoán. Khi tính tích của ma trận L, M, N ta có thể tính theo hai cách: L(MN) hoặc (LM)N 1 Ví dụ:       = 24 31 L ;       = 13 12 M và       = 31 24 N       =       ++ ++ =             = 913 79 3.12.31.14.3 3.12.21.14.2 31 24 13 12 MN ( )       =       ++ ++ =             = 4662 3448 9.27.413.29.4 9.37.113.39.1 913 79 24 31 MNL       =       ++ ++ =             = 614 411 1.21.43.22.4 1.31.13.32.1 13 12 24 31 LM ( )       =       ++ ++ =             = 4662 3448 3.62.141.64.14 3.42.111.44.11 31 24 614 411 NLM * Phép cộng và phép trừ ma trận Nếu hai ma trận M và N có số dòng và số cột bằng nhau thì tổng và hiệu của chúng được tính bằng cách cộng và trừ các cặp tương ứng của phần tử ma trận. Nếu P = M + N thì P jk = M jk + N jk . Nếu gọi O là ma trận null (ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0) thì: M ± O = M và M – M = O Ma trận cũng tuân theo quy tắc phân phối: A(B + C) = AB + AC 2. Phương pháp ma trận trong quang học gần trục Khi chúng ta sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau: • Bỏ qua bước sóng ánh sáng và sự truyền ánh sáng có thể mô tả dưới các tia riêng lẻ chứ không phải là các mặt sóng. • Chỉ xét những tia gần trục, những tia này gần như song song với trục vì vậy chúng ta có thể sử dụng xấp xỉ bậc nhất cho hàm sin và hàm tan các góc hợp bởi các tia này và trục. a) Ma trận truyền tia Một tia sáng khi truyền qua các mặt khúc xạ sẽ bao gồm một loạt đường thẳng và mỗi đường thẳng đặc trưng bởi hai thông số là tọa độ và góc mà nó tạo với trục Oz. Mặt phẳng vuông góc với trục Oz gọi là mặt phẳng quy chiếu (Reference Plane – RP). Tại mặt phẳng quy chiếu, mỗi tia được đặc trưng bởi độ cao y và góc V tạo với trục Oz. 2 Khi tia sáng truyền qua hệ thống thấu kính khúc xạ chỉ có hai quá trình truyền cơ bản: • Truyền qua: tia sáng truyền thẳng qua môi trường đến mặt khúc xạ kế tiếp, chúng ta cần biết độ dày t của môi trường và chiết suất khúc xạ n. • Khúc xạ tại mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau. Để xác định được độ lệch của tia khúc xạ chúng ta cần biết bán kính cong của mặt khúc xạ và hai giá trị chiết suất của hai môi trường. Nếu tia sáng truyền qua mặt phẳng quy chiếu thứ nhất được đặc trưng bởi hai giá trị y 1 và V 1 , sau đó qua mặt phẳng quy chiếu thứ hai được đặc trưng bởi hai giá trị y 2 và V 2 . Chúng ta có thể biểu diễn y 2 , V 2 theo y 1 , V 1 dưới dạng ma trận như sau:             =       1 1 2 2 V y DC BA V y (*) b) Ma trận truyền qua Xét tia sáng truyền qua một môi trường có chiều dài t và chiết suất n như hình vẽ. Qua biến đổi, biểu thức (*) có thể viết lại: 3             =       1 1 2 2 10 /1 V y nt V y Ma trận       = 10 /1 nt T được gọi là ma trận truyền qua c) Ma trận khúc xạ Xét tia sáng truyền tới một mặt cầu bán kính r phân cách hai môi trường chiết suất n 1 và n 2 . Qua biến đổi, biểu thức (*) có thể viết lại: ( )               − − =       1 1 12 2 2 1 01 V y r nn V y Ma trận ( )         − − = 1 01 12 r nn R được gọi là ma trận phản xạ Người ta quy ước: r > 0 với mặt cầu lồi và r < 0 với mặt cầu lõm. Trường hợp r → ∞, tức mặt cầu trở thành mặt phẳng, ma trận khúc xạ R trở thành ma trận đơn vị       10 01 Thấu kính được xem như là một hệ gồm các mặt khúc xạ và môi trường truyền qua. Với thấu kính mỏng, người ta có thể bỏ qua môi trường truyền qua giữa các mặt khúc xạ. Khi đó, ma trận khúc xạ của thấu kính mỏng trở thành:         − = 1 1 01 f R 4 Trong đó: f là tiêu cự thấu kính. Người ta cũng quy ước: f > 0 với thấu kính hội tụ và f < 0 với thấu kính phân kỳ. Ngoài ra người ta còn dùng khái niệm độ tụ f D 1 = với quy ước dấu tương tự. d) Ma trận truyền tia cho một hệ thống Ma trận truyền tia M cho một hệ thống được xác định bằng cách lấy tích của các ma trận truyền tia thành phần theo thứ tự ngược chiều truyền của ánh sáng. M = M 1 .M 2 .M 3 M n-1 .M n e) Xác định tính chất của một hệ quang học dựa vào ma trận truyền tia của nó Giả sử ma trận M đặc trưng cho hệ thống quang học. Khi đó:             =       1 1 2 2 V y DC BA V y Trong đó: (AD – BC) = 1 5 Để hiểu ý nghĩa của các đại lượng A, B, C, D, chúng ta lần lượt xét các trường hợp nếu một trong 4 đại lượng bằng 0. e1> Nếu D = 0 thì V 2 = Cy 1 + 0V 1 , tức là tất cả các tia từ một điểm ở mặt phẳng vào đều tạo với trục một góc V 2 mà không phụ thuộc vào V 1 và mặt phẳng quy chiếu RP 1 được gọi là mặt phẳng hội tụ đầu tiên của hệ thống. e2> Nếu B = 0 thì y 2 = Ay 1 + 0V 1 , tức là tất cả các tia ở điểm O tại mặt phẳng quy chiếu RP 1 sẽ truyền qua điểm I ở mặt phẳng quy chiếu RP 2 . Do đó, O và I là các điểm vật và ảnh tương ứng và 1 2 y y A = là độ khuyếch đại của hệ thống. e3> Nếu C = 0 thì V 2 = DV 1 , tức là chùm tia tới song song đi vào hệ thống với góc V 1 so với trục sẽ rời khỏi hệ thống theo hướng khác, hướng này họp với trục một góc V 2 . Trong đó: 1 2 2 1 V V n Dn = là độ khuyếch đại góc tạo bởi hệ thống. 6 e4> Nếu A = 0 thì y 2 = BV 1 , tức là tất cả các tia song song đi vào hệ thống sẽ hội tụ tại một điểm trên mặt phẳng quy chiếu RP 2 và RP 2 được gọi là mặt phẳng hội tụ thứ hai của hệ thống. e5> Nếu thành phần A hoặc D trong ma trận truyền tia bằng 0 thì từ biểu thức (AD – BC) = 1 suy ra được BC = -1. Nếu B hoặc C bằng 0 thì A là nghịch đảo của D. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Một thanh thủy tinh chiều dài 2.8cm và chiết suất 1.6 có hai mặt biên là hai mặt cầu lồi bán kính 2.4cm. Một vật chiều cao 2cm, đặt trong không khí, nằm trên trục tọa độ cách mặt cầu trái của thanh thủy tinh trên một khoảng 8cm. Tìm vị trí và kích thước của ảnh tạo bởi hệ thống. Bài giải 7 Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n 1 → Mặt cầu phân cách bán kính r 1 → Môi trường thủy tinh chiết suất n 2 → Mặt cầu phân cách bán kính r 2 → Môi trường không khí chiết suất n 1 . Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là: • Ma trận truyền qua:       = 10 /1 nt T • Ma trận khúc xạ: ( )         − − = 1 01 12 r nn R Sau đây là phần lập trình để tìm vị trí và chiều cao của ảnh (Bài toán thuận) % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung % GVHD: TS. Le Vu Tuan Hung % % BAI LAP TRINH Problem2(trang 44) %- BAI TOAN THUAN (CHO VAT TIM ANH) clc clear all syms x2 h2 % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao anh % % BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET x1=input('Nhap vao khoang cach giua vat va thanh thuy tinh (cm):'); h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (cm):'); r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm) (Phai la so duong):'); while r1<0 r1=input('Phai la so duong. Vui long nhap lai:'); end r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) (Phai la so am):'); while r2>0 r2=input('Phai la so am. Vui long nhap lai:'); end n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):'); n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai:'); L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):'); % % BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA M1=[1 x1/n1;0 1]; % Moi truong khong khi M2=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Mat cau ban kinh r1 M3=[1 L/n2;0 1]; % Moi truong trong thanh thuy tinh M4=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Mat cau ban kinh r2 M5=[1 x2/n1;0 1]; % Moi truong khong khi M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc % % BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA ANH A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M disp('Anh cach thanh thuy tinh mot khoang la:') x2=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0 x2=double(x2) % Chuyen ket qua sang so thap phan disp('Chieu cao cua anh:'); h2=subs(A*h1) % The x2 vao A de tim h2 % 8 Như vậy, ảnh thu được cách thanh thủy tinh một khoảng 2.4390cm và có chiều cao 0.7805cm. Ở đây, dấu “ - ” thể hiện ảnh nằm ngược chiều với vật. Tiếp theo, ta sẽ làm lại bài tập trên với điều kiện ngược lại, tức là cho biết trước vị trí và chiều cao của ảnh, yêu câu xác định vị trí và chiều cao của vật (bài toán nghịch). Khi đó, thứ tự các thành phần truyền tia như sau: Môi trường không khí chiết suất n 1 → Mặt cầu phân cách bán kính r 2 → Môi trường thủy tinh chiết suất n 2 → Mặt cầu phân cách bán kính r 1 → Môi trường không khí chiết suất n 1 . Sau đây là phần chương trình: % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung % GVHD: TS. Le Vu Tuan Hung % % BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 1 % BAI TOAN NGHICH (CHO ANH TIM VAT) clc clear all syms x1 h1 % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao vat % % BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET x2=input('Nhap vao khoang cach giua anh va thanh thuy tinh (cm):'); h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (cm):'); r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm) (Phai la so duong):'); while r2<0 r2=input('Phai la so duong. Vui long nhap lai:'); end r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) (Phai la so am):'); while r1>0 r1=input('Phai la so am. Vui long nhap lai:'); end n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):'); n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai:'); L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):'); % % BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA M1=[1 x2/n2;0 1]; % Moi truong khong khi M2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Mat cau ban kinh r2 M3=[1 L/n1;0 1]; % Moi truong trong thanh thuy tinh M4=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Mat cau ban kinh r1 M5=[1 x1/n2;0 1]; % Moi truong khong khi M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc 9 % % BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA VAT A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M disp('Vat cach thanh thuy tinh mot khoang la:') x1=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0 x1=double(x1) % Chuyen ket qua sang so thap phan disp('Chieu cao cua vat:'); h1=subs(h2*A) % The x1 vao A de tim h1 % Problem4: Một vật cao 2 inches đặt cách màn 10 feet. Tiêu cự thấu kính là bao nhiêu để ảnh thu được trên màn cao 40 inches và màn đặt cách thấu kính bao nhiêu? Bài giải Hệ quang học đã cho gồm 3 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n 1 = 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f → Môi trường không khí chiết suất n 1 = 1. Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là: • Ma trận truyền qua:       = 10 /1 nt T • Ma trận thấu kính mỏng:         − = 1 1 01 f R Điều kiện vật thật cho ảnh thật: B = 0, khi đó: D A 1 = Sau đây là phần lập trình với bài toán thuận: % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung % Giang vien huong dan: TS. Le Vu Tuan Hung % % BAI LAP TRINH 1 - BAI TAP 2 - BAI TOAN THUAN clc 10 [...]... x=x/11 .97 % Problem 5: Một thấu kính dương có tiêu cự là 8 cm cách thấu kính âm có tiêu cự là -12 cm , khoảng cách giữa hai thấu kính là 6 cm Nếu một vật cao 3 cm nằm trên trục cách thấu kính dương là 24 cm về bên trái, tìm vị trí và kích thước ảnh qua hệ thống kính Bài giải Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí chiết suất n1 = 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f1 → Môi... de tinh x x=x/11 .97 % 13 Problem 5: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự 8cm đặt cách một thấu kính kì có tiêu cự -12cm một khoảng 6cm Một vật cao 3cm đặt trên trục chính về phía bên trái thấu kính hội tụ, cách thấu kính hội tụ 24cm, tìm vị trí và chiều cao của ảnh BÀI GIẢI: Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường không khí → Thấu kính hội tụ có tiêu cự f1 → Môi trường không... disp('****************') disp('Khoang cach giua hai thau kinh (cm):'); 19 L Trường hợp 2: Cho biết tiêu cự f của hệ thấu kính tương đương (f = 20cm), vị trí các điểm chính H1, H2 (H1 = -10cm, H2 = -10cm) và chiết suất n (n = 1) Yêu cầu xuất ra tiêu cự f 1 của thấu kính hội tụ, tiêu cự f2 của thấu kính phân kỳ và khoảng cách L giữa hai thấu kính PROBLEM 9 - BAI TOAN NGHICH - TRUONG HOP 2 % Ho ten hoc vien: LE PHUC... cach tu thau kinh den vat (feet):') x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x x=x/11 .97 % Chuyen tu don vi inches sang feet % Như vậy, tiêu cự của thấu kính là 5.7inches và thấu kính đặt cách vật một khoảng 0.5feet Khoảng cách từ thấu kính đến ảnh là: 10.5 – 0.5 = 10(feet) Tương tự, ta có phần chương trình cho bài toán nghịch như sau: % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung %... kính hội tụ có tiêu cự f1 → Môi trường không khí → Thấu kính phân kì có tiêu cự f2→ Môi trường không khí Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là: 1 t / n  1   • Ma trận truyền qua: T =  0 •  1 R = − 1 Ma trận khúc xạ:  f  0  1  Sau đây là phần lập trình để tìm vị trí và chiều cao của ảnh (Bài toán thuận) RP1 f1 = +8 cm RP2 f12= -12 cm 0.33 m I O P1 = +12.5 D 0.24 m P2 = -8.33... cach tu thau kinh den vat (feet):') x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x x=x/11 .97 % Chuyen tu don vi inches sang feet % Như vậy, tiêu cự của thấu kính là 5.7inches và thấu kính đặt cách vật một khoảng 0.5feet Khoảng cách từ thấu kính đến ảnh là: 10.5 – 0.5 = 10(feet) Tương tự, ta có phần chương trình cho bài toán nghịch như sau: % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat ly Ung dung %... bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh % % BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):'); disp('Chuyen sang don vi inches la:'); L=L*11 .97 % 1 feet = 11 .97 inches h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):'); h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):'); n1=1; % Chiet suat cua khong khi % % BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA... bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh % % BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):'); disp('Chuyen sang don vi inches la:'); L=L*11 .97 % 1 feet = 11 .97 inches h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):'); h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):'); n1=1; % Chiet suat cua khong khi % % BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA... bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh % % BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):'); disp('Chuyen sang don vi inches la:'); L=L*11 .97 % 1 feet = 11 .97 inches h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):'); h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):'); n1=1; % Chiet suat cua khong khi % % BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA... trường không khí chiết suất n2 = 1→Thấu kính mỏng tiêu cự f2→ Môi trường không khí chiết suất n3 Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là: • 1 t / n Ma trận truyền qua: T =   0 1  •  1 Ma trận thấu kính mỏng: R = − 1  f  0  1  Điều kiện vật thật cho ảnh thật: B = 0, khi đó: A = 1 D Sau đây là phần lập trình với bài toán thuận: % Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien % Bo mon Vat . Bài tập Phương pháp mô phỏng I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Các phép tính trên ma trận Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận. Phương pháp ma trận trở thành đối.       = 31 24 N       =       ++ ++ =             = 91 3 79 3.12.31.14.3 3.12.21.14.2 31 24 13 12 MN ( )       =       ++ ++ =             = 4662 3448 9. 27.413. 29. 4 9. 37.113. 39. 1 91 3 79 24 31 MNL       =       ++ ++ =             = 614 411 1.21.43.22.4 1.31.13.32.1 13 12 24 31 LM (. )       =       ++ ++ =             = 4662 3448 3.62.141.64.14 3.42.111.44.11 31 24 614 411 NLM * Phép cộng và phép trừ ma trận Nếu hai ma trận M và N có số dòng và số cột bằng nhau thì tổng và hiệu của chúng được tính bằng cách cộng và trừ các cặp tương ứng của phần