TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 Năm học 2010-2011 Thời gian làm bài 120 phút Câu I(4 điểm). 1.Giải phương trình: 3 3 (1 tanx)cos x (1 cotx)sin x 2sin2x.+ + + = 2. Tìm các nghiệm trong khoảng ( ) ;−π π của phương trình: 2 2sin 3x 1 8sin 2xcos 2x. 4 π   + = +  ÷   Câu II(4 điểm). 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011.≤ ≤ Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k 5 2011 5 2011 5 2011 2016 C .C C .C C .C C − − + + + = Câu III(4 điểm). 1.Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 u 1,= 2 n n 1 n 1 u 1 u , n 1. u + + − = ∀ ≥ a. Chứng minh: n n 1 u tan , n 1. 2 + π = ∀ ≥ b. Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của ( ) n u . 2. Cho 1 2 x ,x là hai nghiệm của phương trình: 2 x 3x a 0,− + = 3 4 x ,x là hai nghiệm của phương trình: 2 x 12x b 0− + = . Biết rằng 1 2 3 4 x ,x ,x ,x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm a, b. Câu IV(4 điểm). 1. Cho n là số nguyên dương và a 0≠ . Chứng minh rằng: n x 0 1 ax 1 a Lim . x n → + − = 2. Cho hàm số 2 x khi x 2 f (x) x 2x 2 khi 2 x 5 ax 2 khi x 5 <   = − + ≤ <   + ≥  Tìm a để hàm số liên tục trên ¡ . Câu V(4 điểm). 1.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 2.Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2 MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất. Hết . TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 Năm học 2010-2011 Thời gian làm bài 120 phút Câu I(4 điểm). 1.Giải phương trình:. trí của M và điều kiện của a, b, c để thi t diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thi t diện trong trường hợp đó. 2.Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2 MA MB MC MD+ +