Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ( )ax b α + a 1 1 ( ) 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + x a ln x a C a + x e x e C+ ax b e + 1 ax b e C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tgx + C 2 1 cos ( )ax b+ 1 ( )tg ax b C a + + 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b+ 1 cot ( )g ax b C a − + + ' ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − + + tgx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2 ln x x a C+ + + cotgx ln sin x C+ II. BÀI TẬP: 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ĐS. F(x) = Cx xx ++− ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x + ĐS. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 . f(x) = 2 1 x x − ĐS. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x − ĐS. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 1 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh 5. f(x) = 4 3 xxx ++ ĐS. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6. f(x) = 3 21 xx − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1( − ĐS. F(x) = Cxxx ++− ln4 8. f(x) = 3 1 x x − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 2 3 5 3 9. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = xx 22 cos.sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx ++ 3ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x + +13 3 1 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x 2 + x + 3 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1 3 2 3 +− x x 3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3 40 23 8 2 −− xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2 + x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2 3 2 1 2 2 −++ x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2 =−== fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2 ++ x x Bài 3: Ch ng minh r ng h m s : ứ ằ à ố F(x) = ln 2 x x k+ + (k là hằng số khác 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 1 x k+ trên các khoảng mà chúng cùng xác định. Áp dụng: tính 3 2 0 16 dx x + ∫ 2 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh Bài 4: Tính đạo hàm hàm số u(x) = x + 2 1x + . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : a) f(x) = ( ) 2 2 2 1 1 x x x + + + b) h(x) = 2 1 1x + c) g(x) = ( ) 2 2 1 1 1x x x+ + + MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dxxudt )('=⇒  I = ∫ ∫ = dttfdxxuxuf )()(')].([ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ − dxx )15( 2. ∫ − 5 )23( x dx 3. dxx ∫ − 25 4. ∫ −12x dx 5. ∫ + xdxx 72 )12( 6. ∫ + dxxx 243 )5( 7. xdxx .1 2 ∫ + 8. ∫ + dx x x 5 2 9. ∫ + dx x x 3 2 25 3 10. ∫ + 2 )1( xx dx 11. dx x x ∫ 3 ln 12. ∫ + dxex x 1 2 . 13. ∫ xdxxcossin 4 14. ∫ dx x x 5 cos sin 15. ∫ gxdxcot 16. ∫ x tgxdx 2 cos 17. ∫ x dx sin 18. ∫ x dx cos 19. ∫ tgxdx 20. ∫ dx x e x 21. ∫ − 3 x x e dxe 22. ∫ dx x e tgx 2 cos 23. ∫ − dxx .1 2 24. ∫ − 2 4 x dx 25. ∫ − dxxx .1 22 26. ∫ + 2 1 x dx 27. ∫ − 2 2 1 x dxx 28. ∫ ++ 1 2 xx dx 29. ∫ xdxx 23 sincos 30. dxxx .1 ∫ − 31. ∫ +1 x e dx 32. dxxx .1 23 ∫ + 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay ∫ ∫ −= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxxcos 3. ∫ + xdxx sin)5( 2 4 ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 5. ∫ xdxx 2sin 6. ∫ xdxx 2cos 7. ∫ dxex x . 8. ∫ xdxln 9. ∫ xdxx ln 10. dxx ∫ 2 ln 11. ∫ x xdxln 12. ∫ dxe x 13. ∫ dx x x 2 cos 14. ∫ xdxxtg 2 15. ∫ dxxsin 16. ∫ + dxx )1ln( 2 3 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh 17. ∫ xdxe x cos. 18. ∫ dxex x 2 3 19. ∫ + dxxx )1ln( 2 20. ∫ xdx x 2 21. ∫ xdxx lg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫ + dx x x 2 )1ln( 24. ∫ xdxx 2cos 2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Thì: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân:  Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : 0)( = ∫ a a dxxf  Tính chất 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫  Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;a b thì: ( ) b a cdx c b a= − ∫  Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫  Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b và [ ] ( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥ ∫ ∫  Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤ − ∫  Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b thì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫  Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫  Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫  Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên [ ] ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ∫ ∫ ∫ Bài 1: Tính các tích phân sau: 1/ ∫ − ++ 1 1 2 )12( dxxx 2/ ∫ −− 2 0 3 ) 3 2 2( dxxx 3/ ∫ − − 2 2 )3( dxxx 4/ ∫ − − 4 3 2 )4( dxx 4 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh 5/ dx xx ∫       + 2 1 32 11 6/ ∫ − 2 1 3 2 2 dx x xx 7/ ∫ e e x dx 1 1 8/ ∫ 16 1 .dxx 9/ dx x xx e ∫ −+ 2 1 752 10/ dx x x ∫         − 8 1 3 2 3 1 4 11/ ∫ − + 3 2 1 2 dx x x 12/ dx x x ∫       − + − 1 0 3 1 22 13/ ∫ −       +− − − 0 1 12 12 2 dxx x x 14/ dxx x x ∫       −− + − 2 0 1 2 13 15/ dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 32 16/ dxx x xx ∫ −         +− − ++ 0 1 2 12 1 1 17/ dxx x xx ∫         +− + −+ 1 0 2 1 1 22 18/ ∫ ++ 1 0 2 34xx dx 19/ ∫ − 2 2 3cos.5cos π π xdxx 20/ ∫ − 2 2 2sin.7sin π π xdxx 21/ ∫ 4 0 cos 2 sin π xdx x 22/ ∫ 4 0 2 sin π xdx 23/ dxe x ∫ − + 0 1 32 24/ ∫ − 1 0 dxe x Bài 2: 1) 3 2 3 x 1dx − − ∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2)dx − + − − ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ 5) 3 x 0 2 4dx− ∫ 6) 0 1 cos2xdx π + ∫ 7) 2 0 1 sinxdx π + ∫ 8) dxxx ∫ − 2 0 2 II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) 5 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh Chú ý. Dấu hiệu Cách chọn 1. ∫ xdxxf cos)(sin 2. ∫ xdxxf sin).(cos 3. ∫ dxeef xx )( 4. ∫ dx x xf 1 ).(ln t = sinx t = cosx t = e x t = lnx Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 3) 1 0 x 1 xdx− ∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 8) 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ 9) 4 2 0 1 sin2x dx cos x π + ∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin2x cos2x dx sinx cosx π π + + + ∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+ ∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ − −+ + 0 2 2 32 22 dx xx x 18) ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx Bài 2: Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ 3) 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ 4) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 7) e 1 1 lnx dx x + ∫ 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ 9) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ 11) 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ 12) 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x 17) ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 18) ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg 19) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 20) ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 22) ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 25) ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 6 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh 2) DẠNG 2: Tính I = b a f(x)dx ∫ bằng cách đặt x = (t)ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)  Chú ý: Dấu hiệu Cách đặt 22 xa − 22 ax − 22 xa + xa xa − + hoặc xa xa + − ))(( xbax −− x = asint với 2/2/ ππ ≤≤− t x = x a sin với t }0{\]2/;2/[ ππ −∈ x = atgt với 2/2/ ππ <<− t x = acos2t x = a+(b-a)sin 2 t Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1 x dx− ∫ 2) 1 2 0 1 dx 1 x+ ∫ 3) 1 2 0 1 dx 4 x− ∫ 4) 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ 5) 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 6) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 7) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 8) 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 9) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 10) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 13) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 15) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 16) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx 19) 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ 20) 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ 21) 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ 22) ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫ 23) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ 24) 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ 25) ∫ + 32 5 2 4xx dx II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: 7 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu  Chú ý: Dấu hiệu Cách đặt ∫ b a xdxxP sin).( hoặc ∫ b a xdxxP cos).( ∫ b a x dxexP ).( ∫ b a xdxxP ln).( ∫ b a x xdxe sin. hoặc ∫ b a x xdxe cos. Đặt u = P(x) Đặt u = P(x) Đặt u = lnx Đặt u = sinx hoặc u = cosx Tính các tích phân sau 1) ∫ 1 0 3 . dxex x 2) ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx 3) ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx 4) ∫ 2 0 2sin. π xdxx 5) ∫ e xdxx 1 ln 6) ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( 7) ∫ 3 1 .ln.4 dxxx 8) ∫ + 1 0 2 ).3ln(. dxxx 9) ∫ + 2 1 2 .).1( dxex x 10) ∫ π 0 .cos. dxxx 11) ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx 12) ∫ + 2 0 2 .sin).2( π dxxxx 13) 2 5 1 lnx dx x ∫ 14) 2 2 0 xcos xdx π ∫ 15) 1 x 0 e sinxdx ∫ 16) 2 0 sin xdx π ∫ 17) e 2 1 xln xdx ∫ 18) 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ 19) 2 0 xsinx cos xdx π ∫ 20) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 21) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 22) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 23) e 2 1 (xlnx) dx ∫ 24) 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π + ∫ 8 1 C y 2 C y 2 C x 1 C x Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh 25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 26) 1 2 0 xtg xdx ∫ 27) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 28) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 29) ∫ e dx x x 1 ln 30) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 31) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 32) ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx III .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Công thức: [ ] ∫ −= b a dxxgxfS )()( [ ] ∫ −= b a dyygyfS )()( Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H 1 ): 2 2 x y 4 4 x y 4 2  = −     =   2) (H 2 ) : 2 y x 4x 3 y x 3  = − +   = +   3) (H 3 ): 3x 1 y x 1 y 0 x 0 − −  =  −  =   =   4) (H 4 ): 2 2 y x x y  =   = −   5) (H 5 ): 2 y x y 2 x  =   = −   6) (H 6 ): 2 y x 5 0 x y 3 0  + − =  + − =  7) (H 7 ): lnx y 2 x y 0 x e x 1  =    =   =  =   8) (H 8 ) : 2 2 y x 2x y x 4x  = −   = − +   9) (H 9 ): 2 3 3 y x x 2 2 y x  = + −    =  10) (H 10 ): 2 y 2y x 0 x y 0  − + =  + =  11)      −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12)      =∆ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x 13)    −= += 1 12 2 xy xy 14)      =+ −−= 03 4 2 2 yx xy 15)      = =−+ = 0 02 y yx xy 16        + = = 2 2 1 1 2 x y x y 17    === = 3,0, 2 2 yyxy xy 18      == == ex e x yxy , 1 0,ln IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. 9        =∆ =∆ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1        =∆ =∆ = = by ay ygxC yfxC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 xfyC = )(:)( 2 xgyC = ax = bx = O x y )(H a b )(:)( 1 yfxC = )(:)( 2 ygxC = ay = by = O Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh Công thức: [ ] dxxfV b a 2 )( ∫ = π [ ] dyyfV b a 2 )( ∫ = π Bµi 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng: 1) y= 34 2 +− xx ;y=3 (§S: 8(®vdt)) 2) y= 5;1 2 +=− xyx (§S: ( 3 73 ®vdt)) 3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0. (§S: ( 6 5 ®vdt)) 4) y=x 2 ; y= x y x 8 ; 8 2 = (§S: 8ln3) 5) y=x 2 ; y= x y x 27 ; 27 2 = (§S: 27ln3) 6) y=x 2 ; x=y 2 . 7) y=e x ; y=e -x ;x=1. Bµi 2 : TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi quay miÒn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: 1. y=4-x 2 ; y=2+x 2 quanh Ox. (§S : 16 ) π 2. y=x 2 ; x=y 2 quanh Ox. 3. y=2x-x 2 ; y=x 2 -2x quanh Ox. (§S : ) 5 16 π . 4. y=-x 2 +4x : a. Quanh Ox. (§S : ) 15 512 π b. Quanh Oy. (§S : ) 3 128 π 5. y=(x-2) 2 ;y=4 a. Quanh Ox (§S : ) 5 256 π b. Quanh Oy (§S : ) 3 128 π 6. y=x 2 +1 ; Ox ; Oy ; x=2. a) Quanh Ox (§S : ) 15 206 π b) Quanh Oy (§S : 12 ) π Bài tập tự luyện Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x 2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 y (x 2)= − và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . 10 a b 0 = y )(:)( xfyC = b ax = bx = x y O b a x y 0 = x O )(:)( yfxC = by = ay = [...]... Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox Bi10: Cho min D gii hn bi cỏc ng y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox Bi trong cỏc thi : 1 (ĐH C.Đoàn 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y = x 2 ; y = 8 x2 và y = x 8 2 (HV Ngân Hàng TP HCM 1999 - 2000) a Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đờng cong (C):... Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox 51 (ĐH CĐ-B2008) Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y = x 2 + 4 x; y = x 13 inh Vit Vinh THPT Tỏnh Linh TCH PHN TRONG CC THI ln 3 1 x3 1 dx - D b 1 02 s: (1 ln 2) 1/ 2 2 0 x +1 0 2x 3 x(e + x + 1)dx - D b 3 02 s: 3/ 4/ 1 2 6 ex 2/ (e x + 1)3 0 dx - D b 2 02.s: 2 1 3 4 2 4e 7 12 1 Cos 3 x Sinx.Cos 5 xdx - D b 4 . số f(x) Thì: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân:  Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : 0)(. x )1ln( 3 x+ ; y = 0 ; x = 1 Tớnh th tớch khi trũn xoay c to nờn do D quay quanh trc Ox Bi trong cỏc thi : 1. (ĐH C.Đoàn 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 2 2 ; 8 x y x y= = . giới hạn bởi các đờng xxxy =+= y ;4 2 13 Đinh Viết Vinh THPT Tánh Linh TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI 1/. ∫ + 1 0 2 3 1 dx x x - Dự bị 1 – 02. Đs: )2ln1( 2 1 − 2/. ∫ + 3ln 0 3 )1( dx e e x x