1)Trong không gian Oxyz , cho A(1,2,4) , (P) x+y-z+1=0 và đường thẳng (d) x=2+t,y=1-t,z=1-3t , Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) , vuông góc với (d) và khoảng cách từ A đến đường thẳng đó bằng 3 2 Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có a D =[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1) Gọi H là hình chiếu của A lên (D) => d(A,(D))=AH= 3 2 Khi đó H thuộc giao tuyến của (P) và (Q) , Q là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (D) (Q) : 2(x-1)-(y-2)+(z-4)=0  2x-y+z-4=0 => H(1,t,2+t) => (t-2) 2 +(t-2) 2 =18  t=5 , t=-1 => H(1,5,7) , H(1,-1,1) Có hai đường thẳng : (D1) x=1+2t,y=5-t, z=7+t , (D2): x=1+2t,y=-1-t,z=1+t 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: (P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d): 1 2 1 2 1 x y z + − = = − Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất . Giải : Gọi n(a,b,c) là VTPT của (Q) , -a+2b+c=0 =>c=a-2b Gọi x là góc của hai mặt phẳng (P) (Q) , cosx = 2 2 2 | 2a 2 | 3 b c a b c − − + + b=0=> c=a => cosx = 2 2 | 2a 2 | 3 c a c − + =0 b=1 => c=a-2 => cosx= 2 1 2 4a+5a − >0 x nhỏ nhất  a=1 , b=1,c=-2 => (Q) x+y-2z-5=0 3) Cho điểm ( ) 2;5;3A và đường thẳng 1 2 : . 2 1 2 x y z d − − = = Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) α lớn nhất. Giải : Gọi K là hình chiếu của A trên d K ⇒ cố định; Gọi ( ) α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( ) α . Trong tam giác vuông AHK ta có .AH AK≤ Vậy ( ) max AH AK α = ⇔ là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK. ( ) α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ( ) : 4 3 0x y z α ⇒ − + − = 4) Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. Giải : Gọi ( ) ( ) 1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − − ( ) ( ) ; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = = Trường hợp 1: ( ) ( ) 0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − − uuuur ( ) . 0 ' 0 5;0; 5 P P MN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ − uuuur uur uuuur uur Trường hợp 2: ( ) ( ) 1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − − 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 5 1 1 3 4 : 1 + = = zyx d 13 3 1 2 : 2 zyx d = + = Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d 1 v d 2 Gii Gi s mt mt cu S(I, R) tip xỳc vi hai ng thng d 1 , d 2 ti hai im A v B khi ú ta luụn cú IA + IB AB v AB ( ) 1 2 ,d d d du bng xy ra khi I l trung im AB v AB l on vuụng gúc chung ca hai ng thng d 1 , d 2 Ta tỡm A, B : ' AB u AB u uuur r uuur ur Ad 1 , Bd 2 nờn: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t) AB uuur (.) A(1; 2; -3) v B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) Mt cu (S) cú tõm I(2; 1; -1) v bỏn kớnh R= 6 Nờn cú phng trỡnh l: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z + + + = 6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d một góc 0 30 Gii : .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt );;( CBAn = thì ta phải có : = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+= CACACACA . Vậy CA = hoặc CA = 2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( mp có phơng trình 0)2(2 =++ zyx hay 042 =++ zyx Nếu CA = 2 ta có thể chọn 2,1 == CA , khi đó 1=B , tức là )2;1;1( =n và )( mp có phơng trình 02)2( = zyx hay 022 =+ zyx 7) Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z 2 = 0 v hai ng thng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + + = = v (d) x 1 2t y 2 t z 1 t = + = + = + Vit phng trỡnh tham s ca ng thng ( ) nm trong mt phng (P) v ct c hai ng thng (d) v (d) Gii Mt phng (P) ct (d) ti im A(10 ; 14 ; 20) v ct (d) ti im B(9 ; 6 ; 5) ng thng cn tỡm i qua A, B nờn cú phng trỡnh : x 9 t y 6 8t z 5 15t = = = 8) Cho hai ng thng cú phng trỡnh: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = + = = Viết phương trình đường thẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải : Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA k MB= uuur uuur ( ) ( ) 3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − − uuur uuur 3 1 3 1 1 11 2 3 3 2 11 2 4 2 2 4 1 a kb a kb a a kb k a k kb k a kb a kb b − = − = =       ⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ =       − + = − + = =    => ( ) 2; 10; 2MA = − − uuur Phương trình đường thẳng AB là: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = +   = −   = −  9) Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng      = = = ∆ 1 2: z ty tx và điểm )1,0,1( −A Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng ∆ để tam giác AEF là tam giác đều. Gải + Đường thẳng )1,0,0( 0 Mquađi∆ và có vtcp )0,2,1( → u ; )2,2,4(,;)2,0,1( 00 −=       −= →→→ uAMAM + Khoảng cách từ A đến ∆ là AH = 5 62 , ),( 0 =       =∆ → →→ u uAM Ad + Tam giác AEF đều 5 24 3 2 . ===→ AHAFAE .Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 5 24 và đường thẳng ∆ , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :          =+++− = = = 5 32 )1()1( 1 2 222 zyx z ty tx t = 5 221 suy ra tọa độ E và F là :            = + = + = ∨            = − = − = 1 5 242 5 221 1 5 242 5 221 z y x z y x 10, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng 1 ( ) : 1 2 3 x y z d + = = − − và 1 4 ( ') : 1 2 5 x y z d − − = = Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Giải : *(d) đi qua 1 (0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − − uur (d’) đi qua 2 (0;1;4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u = uur *Ta có 1 2 ; ( 4; 8;4)u u O   = − − ≠   uur uur ur , 1 2 (0;2;4)M M = uuuuuuur Xột 1 2 1 2 ; . 16 14 0u u M M = + = uur uur uuuuuuur (d) v (d) ng phng . *Gi (P) l mt phng cha (d) v (d) => (P) cú vtpt (1;2; 1)n = ur v i qua M 1 nờn cú phng trỡnh 2 2 0x y z+ + = *D thy im M(1;-1;1) thuc mf(P) , t ú ta cú pcm 11. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho ( ) 052: =++ zyxP v ng thng 31 2 3 :)( =+= + zy x d , im A( -2; 3; 4). Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca ( d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm trờn im M sao cho khong cỏch AM ngn nht. Gii : Chuyn phng trỡnh d v dng tham s ta c: += = = 3 1 32 tz ty tx Gi I l giao im ca (d) v (P) ( ) 3;1;32 + tttI Do ( ) ( ) 4;0;1105)3()1(232 ==++ IttttPI * (d) cú vect ch phng l )1;1;2(a , mp( P) cú vect phỏp tuyn l ( ) 1;2;1 n [ ] ( ) 3;3;3n,a = . Gi u l vect ch phng ca ( ) 1;1;1u += = = u4z uy u1x : . Vỡ ( ) u4;u;u1MM + , ( ) u;3u;u1AM AM ngn nht AM 0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM =++= 3 4 u = . Vy 3 16 ; 3 4 ; 3 7 M 12) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú phng trỡnh 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t = + = = + . Tỡm trờn d nhng im M sao cho tng khong cỏch t M n A v B l nh nht. Gii M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d. Gi A i xng vi A qua d => MA= MA => MA+ MB = MA + MB AB (MA+ MB) min = AB, khi A, M, B thng hng => MA = MA = MB MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình 3 1 12 1 == zyx . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gii : Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HIAH => HI lớn nhất khi IA Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. )31;;21( tttHdH ++ vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. == uuAHdAH là véc tơ chỉ phơng của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 . khoảng cách từ A đến ( ) α lớn nhất. Giải : Gọi K là hình chiếu của A trên d K ⇒ cố định; Gọi ( ) α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( ) α . Trong tam giác vuông AHK. là lớn nhất. Gii : Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P),. 2 Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có a D =[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1) Gọi H là hình chiếu của A lên (D) => d(A,(D))=AH= 3 2 Khi đó H thuộc giao tuyến của (P) và (Q) , Q là