Đang tải... (xem toàn văn)
Ba phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 8≥.Rx∈∀ Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi 8022040 ≥⇔≥+−⇔≥Δ yy. Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 1=⇔x. Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ - 0 + y -∞ +∞ 8 Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…) Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 … thì hỏng rồi! 0≥ BÀI TẬP MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :xxS cossin +=. HD.cách 1.( BDT). Ta có ≤+= xx22cossin11mincossin =⇒=+ SSxx. 2222)4sin(22)cos)(sin11(cossin =⇒≤+=++≤+= MaxSxxxxxSπ. Cách 2.( ĐH) 2sin cos sinx cos 2 sinx.cosSxxS x=+⇒=++ x. Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4sincos23sin2cos+−++=xxxxS trong khoảng( );π π−. HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình 4sincos23sin2cos+−++=xxxxS phải có nghiệm xSxSS cos)21(sin)2(34 −++=−⇔ có nghiệm 2112)34()21()2(222≤≤⇒−≥−++⇒ SSSS. Cỏch 2.( H). t 22211cos;12sin2ttxttxxtgt+=+==.Bin i S thnh hm s hu t n t.Dựng phng phỏp o hm hoc iu kin phng trỡnh bc hai cú nghim ,suy ra kt qu. Vớ d 3. Tỡm gớỏ tr ln nht ca biu thc : 222.2 xxxxf ++=. HD.cỏch 1(H).Dựng o hm trc tip ,chỳ ý hm s liờn tc trong on [ ]2;2. Cỏch 2.t tkieọnủieuxxt +=22.Dựng phng phỏp o hm, hoc PT Cỏch 3.( Vevt). t );2;1(),2;1;(22xxvxxu ==222.2. xxxxvu ++= v 33.3 )2(1.)2(1.2222==++++= xxxxvu Ta cú : vuvu 32.222++xxxx. ng thc xy ra khi 122122====xkxxxkkx. Vớ d 4. Cho hai s thc x , y thay i v tha món iu kin: 24.)1.( xyyx =. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca t s yx. HD.iu kin . tn ti giỏ tr ln nht v nh nht ca 22 xyx thỡ 0;0 yx Bin i ()2244.)1.( xxyxxyyx +== t hyx=.)0( h.Biu thc vit li : 24 xxh+= l mt hm s liờn tc trong on [ ]2;2. Vớ d 5.Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc :2222yxyxyxyxS+++= ( )Ryx ,. HD. Lớ lun 0xchia t v mu cho x2 .t xyt=.Kho sỏt hm s S n t,hoc kpt. Vớ d 6. Cho cỏc s thc x,y tho món iu kin: x2 + y2 = 1 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc :32212422++=yxyxyxS. HD.Cỏch 1.Th iu kin x2 + y2 = 1 vo S gii nh bi trờn. Cỏch 2.t cossin == yx. a hm s S= )2cos,2(sinS.Dựng kpt. Vớ d 7.Cho hai s thc x,y thay i v tha món iu kin : x02 + y2 = 2x2y + y2x . Tớnh giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ca biu thc yxS12+=. HD. y = tx, th vo iu kin v biu thc S ,kho sỏt hm s S n t . Vớ d 8. Cho hai s thc dng x,y tho iu kin :x+y = 1. Tớnh giỏ tr nh nht ca biu thc :.11 yyxxf+= HD.t ,22cossin == yx2;0. Vớ d 9.Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s :2sin)(2xxexfx+=. HD.Dựng phng phỏp o hm. Vớ d 10.(1993 bng A) .Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s )20092007()(2xxxf −+= trong miền xác định của nó. Lời giải :Miền xác định của hàm số [ ]2009;2009−=D.Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta xét hàm số trong [ ]2009;0'=D.Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có 22220092007.2010.)2009.1.2007.2007()20092007()( xxxxxxxf −+≤−+=−+= 2008.2008220092007.200822=−++≤xx. Vậy GTLN =2008.2008 khi và chỉ khi 2008=x GTNN=2008.2008− khi và chỉ khi 2008−=x. Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác . HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương . Hoặc đưa về một biến x = sin2C. Dùng phương pháp ĐH để giải. Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2sin12sin12sin1222CBAS ++= . Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=3cos3cos3cosπππCBAS . HD.Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007). Giải bài 12.Cách 1.Giả sử { }CBAMaxA ;;=032cos3<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⇒≥⇒ππBAA,ta có: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+32cos22cos32cos23cos3cosππππBABABABA .(1) Có dạng ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≥+22)()(BAfBfAf. Tương tự ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛++≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+323cos233cos3cosπππππCC (2). Cộng (1) và (2) ta có :32cos433cos3cos3cos3cosππππππ≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+CBA 2332cos33cos3cos3cos −=≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=ππππCBAS. Cách 2.Giả sử {}CBAMaxA ;;=032cos3<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⇒≥⇒ππBAA,ta có: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+32cos22cos32cos23cos3cosππππBABABABA . Có dạng ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≥+22)()(BAfBfAf. ⇒2332cos3)3(3)()()(3cos3cos3cos −==++≥++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ππππCBAfCfBfAfCBA. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai. Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ). HD: … aa 3113≥++Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1. Chứng minh rằng :++++ zyyx1122 2312≥+ xz. HD : .4112xxxz≥+++ Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện :6≥++ zyx. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :yxzzxyzyxS+++++=333 HD: Cách 1. Áp dụng xzyzyx3223≥++++… Cách 2: . 2333)()( zyxyxzxzyS ++≥+++++Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 . 12≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abababP+++++=111111. HD :Áp dụng 5225111≥+++abab (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 Tương tự 5225111≥+++bcbc (2) ; 5225111≥+++caca (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta có 562525356251251251≥++++⇔≥++++++cabcabPcabcabP 535625122535625253222≥⇒≥++⇔≥++++⇔ PPcbaP Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn :.43=++cba Chứng minh rằng :3333333≤+++++ accbba HD : Ta có 311333+++≤+baba… Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng :6434343≥+++++zyx HD:Cách 1.Ta có 84424.1.1.1443xxx=≥+… Cách 2 Dùng phương pháp vectơ. Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn4111=++zyx. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=zyxzyxzyx ++++++++ 212121 HD. zyxzyxxzyx ++≥+++=++2161111112… Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có:.256)91)(1)(1(2≥+++yxyx HD : 436243319)91()(274)3331(yyyyyy≥+⇒≥+++. 43329433311xyxyxyxyxy≥+++=+ ; 1+x = .34333133xxxx≥+++ Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 45=+yx. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :.414yxS += HD: Cách 1 . Thay xy−=45 450;4514<<−+=⇒xxxS. +Ta sử dụng khảo sát hàm số. +Hoặc 55254514164514=≥−+=−+=xxxxS. Cách 2 : Bất đẳng thức Côsi : 5)(42545.541.541454=+=++++≥≥+=yxyxxxxyxyxS. Ví dụ 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :accbba++. trong đó các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :a+b+c 3 . ≥HD. Đặt bacacbcbaaccbbaAaccbbaA 2222222+++++=⇒++= Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được accbacbaba42≥+++; baacbacbcb42≥+++; cbbacbacac42≥+++ Cộng từng vế suy ra . 3≥AVí dụ 23. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :cabbacabcS++=. HD.)(2)()()(2222222cbacabbacabcS+++++= .Ta có 222)()(cbacabc≥+… Ví dụ 24. Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: .1.2 =+ xzxy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .543zxyyzxxyzS ++= HD.Ta có ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=zxyyzxzxyxyzyzxxyzzxyyzxxyzS 32543 .42(484)(4)(2642 =+=+≥+++=++≥xyxzxyxzyxzxxyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .31===zyx Ví dụ 25 .Cho A,B,C là ba góc của một tam giác bất kỳ . Tìm giá trị nhỏ nhất: S=5cotg2A + 16cotg2B +27cotg2C. HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dùng trong tam giác Ví dụ 26. Chứng minh rằng 512729111111333≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+cba. trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. HD .Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp dụng hằng đăngt thức bậc ba C.Các bài tập đưa về giá tị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất. Bài 1.Cho elíp (E) có phương trình .191622=+yx Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác dịnh tọa độ M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó . Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho elíp có phương trình 4x2 + 3y2 – 12 = 0.Tìm điểm trên elíp sao cho tiếp tuyến của elíp tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y2 = 2x và đường thẳng (d) x – y + 2 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách giữa M và (d) ngắn nhất . Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng (d) :0212=−++myx và hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 -2x +4y -4 = 0 . và (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y -56 = 0. Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho (d) cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B . Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó? Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện : .024222≤+−++ zxzyxHãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d1) ; (d⎩⎨⎧=−=−+03042zyx2) ⎩⎨⎧=−=+010xzyLập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2). Bài 7.Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2) ; B(6;-1;-2); C(-1;-4;3) ;D(1;6;-5). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ; 4). Tìm tọa độï điểm M trên (d) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất . Bài 9.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho các điểm A(1;2); B(2;-3) ;C(-1;4). Tìm trên đường thẳng x+y+3 = 0 các điểm M sao cho MCMBMA 543++ là nhỏ nhất. Bài 10.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 có giá trị nhỏ nhất. Bài 11 .Cho hàm số xxxy−+−=110422 có đồ thị ( C ) . Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm có độ dài nhỏ nhất. Bài 12.Tìm trên đường cong (C) 1332+++=xxxy điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Bài 13.Tìm trên đồ thị ( C ) của hàm số =y12−xx một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất . Bài 14.Cho đường cong (C) có hàm số .21442++++=xxxy Tìm điểm M thuộc đường cong (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Bài 15.Cho đường cong (C) có hàm số :112−+=xxy và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tìm trên (C) điểm B sao cho hai điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh khác nhau,và độ dài AB nhỏ nhất. Bài 16.Tìm trên đường 11−+=xxyhai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhausao cho AB nhỏ nhất. Bài 17.Cho hệ phương trình : ⎩⎨⎧=−+++=+01)12(922mmyxmyx Xác định tham số m để hệ phương trình trên có hai nghiệm (x1;y1) ; (x2;y2) sao cho biểu thức A = (x1 – x2 )2 +(y1 – y2 )2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 18. Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình ⎩⎨⎧+=+−=−1342mymxmmyxTìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 + y2 -2x , khi m thay đổi . Bài 19.Cho hệ phương trình ⎩⎨⎧−+=+−=+3212222aayxayx. Tìm tất cả các tham số a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất . Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⎩⎨⎧=++=++48222zxyzxyzyxTìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z. . BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất. dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp