Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN  BÀI TIỂU LUẬN MƠN TỐN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG LOGIC MỜ TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT Giảng viên hướng dẫn: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Họ tên học viên: Đặng Thị Mỹ Hạnh Mã số học viên: CH1301012 MỤC LỤC Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Trang Chương 1: I II III IV V VI Chương 2: Một số vấn đề Logic mờ Giới thiệu Logic mờ Khái niệm Logic mờ Các phép toán tập mờ Suy luận xấp xỉ dựa logic mờ Xây dựng tập mờ 10 Khái niệm số mờ 11 Ứng dụng Logic mờ việc giải tốn tìm đường ngắn 14 I Ý tưởng 14 II Phát biểu toán 14 III Hướng giải toán 15 CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỜ I GIỚI THIỆU LOGIC MỜ - Logic mệnh đề logic vị từ (hay gọi logic truyền thống) quan tâm đến giá trị tuyệt đối (đúng sai) Logic truyền thống tuân theo giả thuyết Một tính thành viên tập hợp: Với phần tửvà tập hợp bất kỳ, phần tửhoặc thuộc tập hợp đó, thuộc phần bù tập Giảthiết thứhai định luật loại trừtrung gian, khẳng định phần tửkhông thểvừa thuộc tập hợp vừa thuộc phần bù Ví dụ: Nếu nhiệt độ 35 độC nóng, ngược lại khơng nóng Hình bên minh họa tập hợp “NĨNG” gồm tất cảcác nhiệt độtừ35 độC trởlên Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hình: Biểu diễn tập nhiệt độ“NĨNG” - Từhình vẽta thấy logic truyền thống không thểhiện sựkhác biệt thành viên tập hợp Giữa hai nhiệt độ45 55 độC, logic khơng thểhiện nhiệt độnào nóng nhiệt độnào - Ngồi ra, logic cịn có nhược điểm khác quan trọng chúng khơng thểbiểu diễn dữkiện mang tính mơhồ, khơng xác mà thực tếlại có nhiều phát biểu ngôn ngữtựnhiên ởdạng này; chẳng hạn như: Chiến sĩ cơng an khácao=> nhưvậy chiến sĩ cơng an có thuộc tập hợp người cao hay không? Hoặc: Nữ an ninh cao => nhưthếnào cao? - Vì vậy, logic truyền thống khơng thểhỗtrợcho suy luận thơng tin mang tính mơhồ, thiếu xác nhưvậy II KHÁI NIỆM LOGIC MỜ Đểkhắc phục khuyết điểm logic truyền thống, Lotfi Zadeh đưa lý thuyết vềlogic gọi logic mờ(fuzzy logic) Lý thuyết Zadeh biểu diễn tính mờ hay tính thiếu xác phát biểu (như đề cập trên) theo cách định lượng cách đưa hàm tưcách thành viên tập hợp (set membership function) nhận giá trị thựcgiữa 1 Định nghĩa tập mờ Tập mờ A xác định không gian kinh điển X tập mà phần tử cặp µ Ánh xạ A ( x , µ A ( x )) x ∈X µ A ( x) ánh xạ µ A : X → [ 0,1] gọi hàm liên thuộc (hàm phụ thuộc) tập mờ A Hình: Tập mơ Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Giả sử tập mờ B số tự nhiên nhỏ nhiều so với Xác định phụ thuộc hàm µ (x) B có dạng liệt kê sau: B = {(1,1),(2,1),(3,0.8),(4,0.7)} Các số tự nhiên có độ phụ thuộc µ B (1) µ B ( 3) = µ B ( 2) =1 ; số tự nhiên µ B ( 4) có độ phụ thuộc nhỏ 1: = 0,8 = 0,07 Những số không liệt kê có độ phụ thuộc Sử dụng hàm liên thuộc để tính độ phụ thuộc phần tử x có ba cách: Tính trực tiếp (nếu tường minh) hoặc: µ A ( x) - Tra bảng (nếu dạng bảng) µ A ( x) cho trước dạng cơng thức µ A ( x) - Tìm giá trị tương ứng đồ thị (nếu biểu diễn dạng đồ thị ) Trong nhiều tài liệu để biểu diễn tập mờ người ta thường dùng ký hiệu sau:  µ (x ) µ (x ) µ (x ) µ (x )  n µ (x ) A =  A + A + A + + A n  = ∑ A i x2 x3 x n  i =1 xi  x1 A=∫ Cho tập hữu hạn µ A ( x) x cho tập vơ hạn Phép cộng (+) hiểu phép hợp Ví dụ: Đồ thị hàm liên thuộc tập mờ µA (x) m1 m2 m3 m4 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hình: Đờ thị hàm liên thuộc của tập mơ µ A ( x) Các hàm liên thuộc có dạng “trơn” hình vẽ gọi hàm liên thuộc kiểu S Đối với hàm liên thuộc kiểu S công thức biểu diễn có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho phần tử lâu Bởi kỹ thuật điều khiển mờ thông thường hàm liên thuộc kiển S hay thay gần hàm tuyến tính đoạn Một hàm liên thuộc có dạng tuyến tính đoạn gọi hàm liên thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính Hàm liên thuộc hàm thuộc tập kinh điển µ A ( x) hình vẽ với m1=m2 và m3=m4 Khái niệm hàm liên thuộc Như trình bày, A tập hợp khơng gian X, phần tử x X, có hai khả xảy ra, x∈A x∉A , để đánh giá khả thuộc vào tập A phần tử x không gian X, người ta xây dựng ánh xạ hàm gọi hàm liên thuộc (Membership Function) µ A (x) Hàm liên thuộc định nghĩa cho tập A không gian X khái niệm tập hợp kinh điển có hai giá trị x∈A x∉A µ A (x) = 1 nÕu x ∈ A  0 nÕu x ∉ A Ví dụ A = { x∈R/ < x< } Hình sau mơ tả hàm thuộc tập A : Một số khái niệm liên quan tập mờ Trong ví dụ hàm liên thuộc có độ cao Điều nói Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn tập mờ có phần tử với độ phụ thuộc Trong thực tế khơng phải tập mờ có phần tử có độ phụ thuộc Tương ứng với điều khơng phải hàm liên thuộc có độ cao Định nghĩa 1:Độ cao tập mờ A không gian X giá trị h = sup µ ( x ) x∈X sup µ ( x ) Ký hiệu: x∈ X giá trị nhỏ tất giá trị chặn hàm µ(x) Một tập mờ với phần tử có độ phụ thuộc gọi tập mờ tắc tức h =1 ngược lại tập mờ A với h < gọi tập mờ không tắc Bên cạnh khái niệm độ cao tập mờ A cịn có hai khái niệm quan trọng khác là: miền xác định miền tin cậy Định nghĩa 2: Miền xác định tập mờ A không gian X ký hiệu S tập X thoả mãn S = Suppµ A ( x ) = { x ∈ X / µ A ( x ) > } Ký hiệu supp viết tắt từ tiếng Anh support rõ tập X chứa phần tử x mà hàm µ A (x) có giá trị dương Định nghĩa 3:Miền tin cậy tập mờ tập mờ A không gian X ký hiệu T tập X thoả mãn T = { x ∈ X / µ ( x ) = 1} A Định nghĩa : Miền biên tập mờ tập mờ A không gian X ký hiệu U tập X thoả mãn U = { x ∈ X / < µ A ( x ) < 1} Miền tin cậy Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Miền xác định Miền U Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hình: Miền của tập mơ Định nghĩa 5: Tập cắt α (α∈ [0,1]) tập mờ tập mờ A không gian X ký hiệu Aα tập X thoả mãn Aα= {x / µA(x) ≤α } gọi tập cắt mạnh Aα+ = {x / µA(x) μTre(An) = 0.8 μTrung niên(An) = 0.3 + Bảo 35 tuổi => μTre(Bảo) = 0.3 μTrung niên(Bảo) = 0.8 + Châu 23 tuổi => μTre(Châu) = 1.0 - Ta gọi số0.8, 0.2, 1.0 giá trịmờ (fuzzy values) Vậy từ giá trị xác hay giá trị‘giịn’ (sốtuổi: 28, 35, 23…), ta suy giá trịmờtương ứng Thao tác gọi mờhóa (fuzzification)các giá trịgiịn Các ví dụ tập mờ Ví dụ: Tập đánh giá nhiệt độ thời tiết Lạnh = 1 nÕu - 45 < x < 10  − x / 10 + nÕu 10 ≤ x ≤ 20 0 nÕu x > 20  Ví dụ hiểu sau: - Nếu nhiệt độ thấp 10oC ( -45< x 20  0 nÕu x ≤ 20 hc x ≥ 40   x / 10 − nÕu 20 ≤ x < 30 - x/10 + nÕu 30 ≤ x ≤ 40  Mát = Nóng = 0 nÕu x ≤ 10 hc x ≥ 30   x / 10 − nÕu 10 ≤ x ≤ 20 - x/10 + nÕu 20 ≤ x ≤ 30  1 nÕu x ≥ 40   x / 10 − nÕu 30 ≤ x ≤ 40 0 nÕu x ≤ 30  lạnh mát ấm nóng 1020 30 40 Hình: Đờ thị đánh giá nhiệt độ III CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP MỜ Những phép tốn tập mờ phép hợp, phép giao phép bù giống định nghĩa tập mờ phép toán tập mờ định nghĩa thông qua hàm liên thuộc xây dựng tương tự hàm thuộc phép hợp, giao, bù hai tập hợp kinh điển Nói cách khác việc xây dựng phép toán tập mờ hiểu việc xác định hàm liên thuộc cho phép hợp A∪B, giao A∩B, bù A …từ tập mờ A, B Một nguyên tắc việc xây dựng phép tốn tập mờ khơng mâu thuẫn với phép tốn có lý thuyết tập hợp kinh điển Mặc dù không giống tập hợp kinh điển, hàm liên thuộc tập mờ A∪B, giao A∩ B , bù A… định nghĩa với tập mờ, song không mâu thuẫn với phép toán tương tự tập hợp kinh điển chúng thoả mãn tính chất tổng quát phát biểu “tiên đề” lý thuyết tập hợp kinh điển Đó “tiên đề” cho phép giao A∩B, phép hợp phép bù Phép hợp hay toán tửOR Hợp hai tập mờ(A∪B) thểhiện mức độmột phần tửthuộc vềmột hai tập Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Công thức: μ A∨B(x) = max (μA(x) , μB(x) ) Ví dụ:μTre(An) = 0.8 μTrung niên(An) = 0.3 => μTre ∨Trung Niên(An) = max( 0.8, 0.3) = 0.8 Phép giao hay toán tửAND Giao hai tập mờ(A∩B) thểhiện mức độmột phần tửthuộc vềcảhai tập Công thức: μ A∧B(x) = (μA(x) , μB(x) ) Ví dụ:μTre(An) = 0.8 μTrung niên(An) = 0.3 => μTre ∧Trung Niên(An) = min( 0.8, 0.3) = 0.3 Phép bù hay toán tửNOT Bù tập mờthểhiện mức độmột phần tửkhơng thuộc vềtập Cơng thức: μ ¬A(x) = - μA(x) Ví dụ: μTrẻ(An) = 0.8 μ ¬Trẻ(An) = – 0.8 = 0.2 Nhận xét: Logic mờkhông tuân theo luật vềtính bù logic truyền thống: μ ¬A∨A(x) ≡1 μ ¬A ∧A(x) ≡0 Ví dụ: μ ¬A∨A(x) = max (0.8, 0.2) = 0.8 10 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn μ ¬A ∧A(x) = min( 0.8, 0.2) = 0.2 IV SUY LUẬN XẤP XỈ DỰA TRÊN LOGIC MỜ Suy diễn xấp xỉ hay cịn gọi suy luận mờ q trình suy kết luận dạng mệnh đề mờ điều kiện quy tắc, luật, liệu đầu vào cho trước khơng hồn tồn xác định Trong cơng trình Zadeh đưa khái niệm lập luận xấp xỉ sau: Bảng Suy luận xấp xỉ Tiền đề Nếu màu của cà chua nào là đỏ cà chua là chín Điều kiện Màu của cà chua Q là đỏ Kết luận Quả cà chua Q chín Chúng ta thấy lược đồ tương tự luật Modus ponens logic kinh điển: A ⇒ B, có A cho phép ta rút kết luận B Tuy nhiên lược đồ giả thiết (tiền đề) ta khơng có A mà có A' =' Rất đỏ' biến tướng A, ta rút kết luận xấp xỉ B B' = 'Rất chín' chẳng hạn Vấn đề cần xây dựng phương pháp luận cho phép lựa chọn kết luận B' phù hợp với quy luật thực tiễn Nhờ tính mềm dẻo phương pháp lập luận mờ có nhiều phương pháp suy diễn xấp xỉ Xét lược đồ lập luận mờ đa điều kiện sau: Bảng điều kiện suy diễn xấp sỉ Tiên đề if X = A1 then Y = B1 Tiên đề if X = A2 then Y = B2 : : : : Tiên đề n if X = An then Y = Bn Tiên đề n+1 if X = An+1 then Y = Bn+1 Kết luận Y = B0 11 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Trong Ai Bi điều kiện mờ, mơ hình mơ tả quan hệ phụ thuộc hai đại lượng A B Giá trị X = A0 gọi Input Y = B0 gọi Output Phương pháp lập luận xấp xỉ tính Y = B0 gồm bước sau: Bước 1:Giải nghĩa mệnh đề điều kiện: Chúng ta xem khái niệm mờ Ai, Bi nhãn tập mờ biểu thị ngữ nghĩa Ai, Bi Để cho tiện ta ký hiệu hàm giá trị chân lý tương ứng Ai(u) Bi(v) không gian tham chiếu U V Một cách trực cảm, mệnh đề Nếu hiểu phép kéo theo logic mờ Ai(u) ⇒Bi(v) Khi u v biến thiên, biểu thức xác định ánh xạ hàm giá trị chân lý µi : UX V → [0,1] Bước 2:Kết nhập (aggregation): Qua phép tốn logic mờ thu cơng thức dạng µ = @in 1µ i = @ công thức mô tả giá trị chân lý phép toán logic hội tuyển ( chẳng hạn ta chọn hàm tương ứng ( Min Max) Việc kết nhập bảo đảm µchứa thơng tin cho mệnh đề if then dạng mệnh đề logic mờ Bước 3:Tính OutputB0: Để tính B0 ta sử dụng cơng thức B0 = A0oµ , o phép hợp thành A0và µ Bước 4:Khử mơ: Kết tính bước giá trị mờ Trong nhiều toán điều khiển người ta cần xác định giá trị thực biến Y Phương pháp tính giá trị thực "tương ứng" với giá trị chân lý B0 gọi phương pháp khử mờ Sẽ khơng có phương pháp "tốt nhất" đưa mà đánh giá theo giá trị ngưỡng tuỳ thuộc q trình thử nghiệm trực cảm Ví dụ ta khử mờ theo trung bình cộng có trọng số, cho công thức: ∑ vB0 (v) defuz( B0 ) = v∈V ∑ B ( v) v∈V Có thể hình dung phương phương pháp lập luận mờ mơ hình tổng quát sau: Phương pháp lập luận suy diễn xấp xỉ Output B0 Input A0 12 Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012 Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Bảng: Mơ hình suy diễn xấp xỉ V XÂY DỰNG TẬP MỜ Tập mờ A xác định không gian X tập hợp thỏa mãn: + Mỗi phần tử A có dạng (x,µA(x)) + µA(x) ánh xạ từ X [0,1] gọi hàm liên thuộc xác định độ thuộc x vào tập A Miền xác định tập mờ Miền xác định tập mờ A không gian X tập phần tử X ký hiệu S thỏa mãn S= {x∈ X | µA(x) > 0} Miền tin cậy tập mờ Miền tin cậy tập mờ A không gian X tập phần tử X ký hiệu T thỏa mãn T= {x∈ X | µA(x) = 1} Miền biên tập mờ Miền biên tập mờ A không gian X tập phần tử X ký hiệu U thỏa mãn U= {x∈ X | 0