Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN __________ BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐỀ TÀI HỆ MÃ HÓA RSA, GIẢI THUẬT BĂM MD5 & ỨNG DỤNG GVHD: PGS.TS. DỖ VĂN NHƠN HVTH: Lê Thúc Quốc Anh MSHV: CH1301002 Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 1 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn TP HCM, 01/2014 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay, các ứng dụng Công nghệ thông tin đã và đang ngày càng phổ biến rộng rãi đã ảnh hưởng rất lớn đến diện mạo của đời sống, kinh tế, xã hội. Mọi công việc hàng ngày của chúng ta đều có thể thực hiện được từ xa với sự hổ trợ của máy vi tính và mạng internet (từ việc học tập, giao dịch,… đến việc gửi thư). Tất cả thông tin liên quan đến những công việc này đều do máy vi tính quản lý và truyền đi trên hệ thống mạng. Đối với những thông tin bình thường thì không có ai chú ý đến, nhưng đối với những thông tin mang tính chất sống còn đối với một số cá nhân (hay tổ chức) thì vấn đề bảo mật thật sự rất quan trọng, vấn đề khó khăn đặt ra là làm sao giữ được thông tin bí mật và giữ cho đến đúng được địa chỉ cần đến. Nhiều tổ chức, cá nhân đã tìm kiếm và đưa ra nhiều giải pháp bảo mật phương pháp mã hóa khóa công khai được xem là phương pháp có tính an toàn khá cao. Như vậy việc đảm bảo an toàn thông tin, tránh mọi nguy cơ bị thay đổi, sao chép hoặc mất mát dữ liệu trong các ứng dụng trên mạng luôn là vấn đề bức xúc, được nhiều người quan tâm. Trong bài thu hoạch này, em trình bày những vấn đề liên quan đến mã hóa thông tin, thuật toán mã hóa RSA, thuật toán băm MD5. Từ đó viết ứng dụng minh họa giải thuật MD5. Em xin chân thành cám ơn PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, và các thầy cô trong trường Đại học CNTT- ĐHQG TP HCM cùng các bạn bè đã giúp em hoàn thành tốt môn học này. Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 2 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 3 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn I./ TỔNG QUAN VỀ MÃ HÓA: 1./ Khái niệm mã hóa: Mã hoá là một tiến trình biến đổi thông tin, sử dụng các thuật toán nhằm mục đích không cho người khác có thể nắm bắt được nếu thiếu một vốn thông số nhất định (key) để dịch ngược. Đi kèm với mã hoá là giải mã. Mã hóa là ngành khoa học nghiên cứu về giấu thông tin. Cụ thể mã hóa là ngành nghiên cứu cách chuyển đổi thông tin từ dạng "có thể hiểu được" thành dạng "không thể hiểu được". Mã hóa giúp đảm bảo các tính chất sau cho thông tin: • Tính bí mật (confidentiality): thông tin chỉ được tiết lộ cho những ai được phép. • Tính toàn vẹn (integrity): thông tin không thể bị thay đổi mà không thể phát hiện. • Tính xác thực (authentication): người gởi hoặc người nhận chứng minh là đúng họ. • Tính không chối bỏ (non-repudiation): người gởi (hoặc người nhận) sau này không thể chối bỏ việc đã gởi (hoặc nhận) thông tin. Có rất nhiều loại thuật toán mã hoá cho dữ liệu máy tính, chúng được gọi tên theo thuật toán và có thể so sánh trực tiếp với nhau, ví dụ mã hoá 128-bit, Triple-DES, 2048- bit RSA. 2./ Các thuật toán mã hóa: a./ Mã hóa đối xứng: Hình 1. Nguyên lý của hệ thống mã hoá đối xứng Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 4 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Mã hóa đối xứng sử dụng cùng một khóa cho việc mã hóa và giải mã. Có thể nói mã đối xứng là mã một khoá hay mã khóa riêng hay mã khoá thỏa thuận. Nguyên lý cơ bản của hệ thống mã hoá khoá đối xứng được chỉ ra trong (hình 1) Có thể thấy rằng bản chất của mã hoá đối xứng là cả phía thu và phía phát đều sử dụng cùng một khoá bí mật (SK), và thuật toán ở cả hai phía cũng đều giống nhau. Mã hoá đối xứng như trên dựa vào việc phân phối khoá một cách bảo mật giữa cả hai phía. Nhưng thực tế là khoá chung đó lại phân phối tới tất cả mọi người trong mạng, và vấn đề “kênh bảo mật” đã làm đau đầu những nhà quản trị mạng. Điều nguy hiểm nhất là bất cứ ai chiếm được khoá trong quá trình phân phối cũng có toàn quyền truy nhập tới dữ liệu do khoá đó bảo vệ. Do đó, quá trình phân phối khoá phải trên “kênh bảo mật”, bất kể là kênh logic hay kênh vật lý (hình 3). Hình 2: Kênh nguyên lý trong hệ thống mã hoá đối xứng. b./ Mã hoá bất đối xứng: Ngược lại với mã hoá đối xứng, thuật toán bất đối xứng hoạt động theo ít nhất là hai khoá, hay chính xác hơn là một cặp khoá (hình 1). Khoá sử dụng được biết đến như là khoá bí mật và khoá công khai và do đó có khái niệm mã hoá khoá công khai. Mỗi khoá được sử dụng để mã hoá hay giải mã, nhưng khác với thuật toán đối xứng, giá trị của khoá ở mỗi phía là khác nhau. Trong hệ thống RSA, dữ liệu được mã hoá bằng khoá bí mật (KX u ) và chỉ có thể giải mã được bằng khoá công khai của cặp khoá đó. Cặp khoá này được tạo ra cùng nhau và do đó có liên quan trực tiếp với nhau. Mặc dù có quan hệ với nhau nhưng nếu biết hay truy nhập được khoá công khai thì cũng không thể tính toán được giá trị của khoá bí mật. Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 5 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Do đó, công khai khoá mã cũng không làm ảnh hưởng tới tính bảo mật của hệ thống, nó cũng chỉ như một địa chỉ thư tín còn khoá bí mật vẫn luôn được giữ kín. Bản chất của mã hoá khoá công khai RSA là bất cứ bản tin mật mã nào đều có thể được nhận thực nếu như nó được mã hoá bằng khoá bí mật còn giải mã bằng khoá công khai. Từ đó, phía thu còn xác định được cả nguồn gốc của bản tin. Bất cứ người nào giữ khoá công khai đều có thể nghe trộm bản tin mật mã bằng cách tính toán với kho bí mật, không chỉ đảm bảo tính tin cậy của bản tin (trong một nhóm) mà còn được nhận thực, hay còn gọi là không thể từ chối, ví dụ như người gửi không thể từ chối rằng chính họ là tác giả của bản tin đó. Nó hoàn toàn trái ngược với hoạt động của khoá đối xứng, trong đó bản tin mật mã được đảm bảo tính toàn vẹn giữa phía mã hoá và giải mã, nhưng bất kỳ ai có được khoá chung đều có thể phát bản tin và từ chối rằng chính mình đã phát nó, còn phía thu thì không thể biết được đâu là tác giả của bản tin đó. Thuật toán đối xứng yêu cầu khả năng tính toán lớn hơn và do đó, tốc độ quá trình mã hoá chậm hơn so với mã hoá đối xứng. Đó cũng là trở ngại chính trong các hệ thống cho phép tỷ lệ lỗi lớn như trong truyền thông thoại. Do đó, mã hoá khoá công khai không phù hợp với các bản tin có chiều dài thông thường, tuy nhiên khi kết hợp cả hai chế độ với nhau lại có thể đảm bảo tính nhận thực, tin cậy và toàn vẹn của bản tin. Nói chung, các ứng dụng sử dụng thuật toán bất đối xứng là: • Sử dụng một giá trị “băm” nhỏ làm chữ ký điện tử. • Mã hoá các khoá bí mật được sử dụng trong thuật toán đối xứng. • Thỏa thuận khóa mã bí mật giữa các phía trong truyền thông. Hình 3: Nguyên lý cơ bản của mã hoá khoá công khai và thuật toán RSA. Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 6 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn c./ Hệ mã hóa RSA:  Khái niệm hệ mật mã RSA: Thuật toán được Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman mô tả lần đầu tiên vào năm 1977 tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Tên của thuật toán lấy từ 3 chữ cái đầu của tên 3 tác giả. Hệ mã hoá này dựa trên cơ sở của hai bài toán  Bài toán Logarithm rời rạc (Discrete logarith).  Bài toán phân tích thành thừa số. Trong hệ mã hoá RSA các bản rõ, các bản mã và các khoá (public key và private key) thuộc tập số nguyên ZN = {1, , N-1}. Trong đó tập ZN với N = p × q là các số nguyên tố khác nhau cùng với phép cộng và phép nhân Modulo N tạo ra modulo số học N. Khoá mã hoá E KB là cặp số nguyên (N, K B ) và khoá giải mã D kb là cặp số nguyên (N, k B ), các số là rất lớn, số N có thể lên tới hàng trăm chữ số. Các phương pháp mã hoá và giải mã là rất dễ dàng. Công việc mã hoá là sự biến đổi bản rõ P (Plaintext) thành bản mã C (Ciphertext) dựa trên cặp khoá công khai K B và bản rõ P theo công thức sau đây:  C = E KB (P) = E B (P) = P KB (mod N) (1) Công việc giải mã là sự biến đổi ngược lại bản mã C thành bản rõ P dựa trên cặp khoá bí mật k B , modulo N theo công thức sau:  P = D kB (C) = D B (C) = C kB (mod N) (2) Dễ thấy rằng, bản rõ ban đầu cần được biến đổi một cách thích hợp thành bản mã, sau đó để có thể tái tạo lại bản rõ ban đầu từ chính bản mã đó :  P = D B (E B (P)) (3) Thay thế (1) vào (2) ta có:  (P KB ) kB = P (mod N) (4) Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 7 Chọn p và q Tính N = p × q Tính γ(N) Chọn khóa KB C = PKB(mod N) P = CkB(mod N)Chọn khóa KB kB kB Bản rõ P Bảng mã C Bản rõ gốc P Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Trong toán học đã chứng minh được rằng, nếu N là số nguyên tố thì công thức (4) sẽ có lời giải khi và chỉ khi K B .k B = 1 (mod N-1), áp dụng thuật toán ta thấy N = p × q với p, q là số nguyên tố, do vậy (4) sẽ có lời giải khi và chỉ khi :  K B .k B ≡ 1 (mod γ(N)) (5) trong đó γ(N) = LCM(p-1, q-1) LCM (Lest Common Multiple) là bội số chung nhỏ nhất. Nói một cách khác, đầu tiên người nhận B lựa chọn một khoá công khai K B một cách ngẫu nhiên. Khi đó khoá bí mật k B được tính ra bằng công thức (5). Điều này hoàn toàn tính được vì khi B biết được cặp số nguyên tố (p, q) thì sẽ tính được γ(N). Hình 4: Sơ đồ các bước thực hiện mã hoá theo thuật toán RSA  Độ an toàn của hệ RSA: Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 8 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Độ an toàn của hệ thống RSA dựa trên 2 vấn đề của toán học: bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố các số nguyên lớn và bài toán RSA. Nếu 2 bài toán trên là khó (không tìm được thuật toán hiệu quả để giải chúng) thì không thể thực hiện được việc phá mã toàn bộ đối với RSA. Phá mã một phần phải được ngăn chặn bằng các phương pháp chuyển đổi bản rõ an toàn. Một nhận định chung là tất cả các cuộc tấn công giải mã đều mang mục đích không tốt. Trong phần độ an toàn của hệ mã hoá RSA sẽ đề cập đến một vài phương thức tấn công điển hình của kẻ địch nhằm giải mã trong thuật toán này. Chúng ta xét đến trường hợp khi kẻ địch nào đó biết được modulo N, khoá công khai K B và bản tin mã hoá C, khi đó kẻ địch sẽ tìm ra bản tin gốc (Plaintext) như thế nào. Để làm được điều đó kẻ địch thường tấn vào hệ thống mật mã bằng hai phương thức sau đây: • Phương thức thứ nhất: Trước tiên dựa vào phân tích thừa số modulo N. Tiếp theo sau chúng sẽ tìm cách tính toán ra hai số nguyên tố p và q, và có khả năng thành công khi đó sẽ tính được λ(N) và khoá bí mật k B . Ta thấy N cần phải là tích của hai số nguyên tố, vì nếu N là tích của hai số nguyên tố thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa bước, bởi vì có một số nguyên tố nhỏ hơn . Mặt khác, nếu N là tích của n số nguyên tố, thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa N 1/n bước. Một thuật toán phân tích thừa số có thể thành phức tạp hơn, cho phép phân tích một số N ra thành thừa số trong O()bước, trong đó p là số chia nhỏ nhất của N, việc chọn hai số nguyên tố là cho thuật toán tăng hiệu quả. • Phương thức thứ hai: Phương thức tấn công thứ hai vào hệ mã hoá RSA là có thể khởi đầu bằng cách giải quyết trường hợp thích hợp của bài toán logarit rời rạc. Trường hợp này kẻ địch đã có trong tay bản mã C và khoá công khai K B tức là có cặp (K B ,C). Cả hai phương thức tấn công đều cần một số bước cơ bản, đó là :  (exp) trong đó N là số modulo.  Một số tính chất của hệ RSA: • Trong các hệ mật mã RSA, một bản tin có thể được mã hoá trong thời gian tuyến tính. Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 9 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Đối với các bản tin dài, độ dài của các số được dùng cho các khoá có thể được coi như là hằng. Tương tự như vậy, nâng một số lên luỹ thừa được thực hiện trong thời gian hằng, các số không được phép dài hơn một độ dài hằng. Thực ra tham số này che dấu nhiều chi tiết cài đặt có liên quan đến việc tính toán với các con số dài, chi phí của các phép toán thực sự là một yếu tố ngăn cản sự phổ biến ứng dụng của phương pháp này. Phần quan trọng nhất của việc tính toán có liên quan đến việc mã hoá bản tin. Nhưng chắc chắn là sẽ không có hệ mã hoá nào hết nếu không tính ra được các khoá của chúng là các số lớn. • Các khoá cho hệ mã hoá RSA có thể được tạo ra mà không phải tính toán quá nhiều. Một lần nữa, ta lại nói đến các phương pháp kiểm tra số nguyên tố. Mỗi số nguyên tố lớn có thể được phát sinh bằng cách đầu tiên tạo ra một số ngẫu nhiên lớn, sau đó kiểm tra các số kế tiếp cho tới khi tìm được một số nguyên tố.Một phương pháp đơn giản thực hiện một phép tính trên một con số ngấu nhiên, với xác suất 1/2 sẽ chứng minh rằng số được kiểm tra không phải nguyên tố. Bước cuối cùng là tính p dựa vào thuật toán Euclid. Như phần trên đã trình bày trong hệ mã hoá công khai thì khoá giải mã (private key) k B và các thừa số p,q là được giữ bí mật và sự thành công của phương pháp là tuỳ thuộc vào kẻ địch có khả năng tìm ra được giá trị của k B hay không nếu cho trước N và K B . Rất khó có thể tìm ra được k B từ K B cần biết về p và q, như vậy cần phân tích N ra thành thừa số để tính p và q. Nhưng việc phân tích ra thừa số là một việc làm tốn rất nhiều thời gian, với kỹ thuật hiện đại ngày nay thì cần tới hàng triệu năm để phân tích một số có 200 chữ số ra thừa số. Độ an toàn của thuật toán RSA dựa trên cơ sở những khó khăn của việc xác định các thừa số nguyên tố của một số lớn. Bảng dưới đây cho biết các thời gian dự đoán, giả sử rằng mỗi phép toán thực hiện trong một micro giây. Số các chữ số trong số được phân tích Thời gian phân tích Đơn vị thời gian 50 4 Giờ 75 104 Giờ Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 10 [...]... Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 25 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hình 7: Kết quả Md5( " The quick brown fox jumps over the lazy eog") Hình 8: Kết quả Md5( "") IV KẾT LUẬN: Tiểu luận đã trình bày một số phương pháp thuật toán mã hóa RSA, MD5 để mã hóa thông tin Tuy đây là bài toán được đơn giản hóa nhưng cũng có khả năng mở rộng các chức năng để đáp ứng những... xây dựng các thuật toán mã khối Cấu trúc Luby-Rackoff sử dụng các hàm băm xây dựng mã khối có thể chứng minh được an toàn nếu hàm băm mà nó dựa vào là an toàn Ngoài ra, có nhiều hàm băm (bao gồm cả các hàm băm SHA) được xây Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 18 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn dựng bằng cách sử dụng một thuật toán mã khối mục đích... cơ sở các máy tính tại thời điểm hiện tại chưa đủ khả năng giải quyết việc phân tích các số nguyên rất lớn ra thừa số nguyên tố Năm 1994, Peter Shor, một nhà khoa học tại phòng thí nghiệm AT&T, đã đưa ra một thuật toán có thể phân tích một cách hiệu quả các số nguyên rất lớn trên máy tính lượng tử II./ TỔNG QUAN VỀ HÀM BĂM VÀ THUẬT TOÁN HÀM BĂM MD5 1./ Giới thiệu hàm băm mật mã: Hàm băm mật mã là một... paradox) 5./ Hàm băm mật mã: Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 16 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Hàm băm mật mã là hàm toán học chuyển đổi một thông điệp có độ dài bất kỳ thành một dãy bit có độ dài cố định (tùy thuộc vào thuật toán băm) Dãy bit này được gọi là thông điệp rút gọn (message digest) hay giá trị băm (hash value), đại diện cho thông điệp... bằng giải thuật tìm va chạm Vừa rồi, một số dự án đã tạo ra "bảng cầu vồng" MD5 có thể dễ dàng tiếp cận trực tuyến, và có thể được dùng để dịch ngược nhiều bảng băm MD5 thành chuỗi mà có thể đụng độ với đầu nhập gốc, thường dùng với mục đích bẻ mật khẩu III./ XÂY DỰNG ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN MD5: 1./ Mã giả cho thuật toán MD5: Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 23 Bài thu hoạch môn học. .. toàn mật mã sau đó, sử dụng dòng các byte ngẫu nhiên như là dòng khóa (keystream) SEAL là một thuật toán mã dòng sử dụng SHA-1 để tạo ra các bảng bên trong, mà sau đó được sử dụng trong một bộ sinh dòng khóa nhiều hay ít không liên quan đến các thuật toán băm SEAL không được đảm bảo tính mạnh (hay yếu) như SHA-1 10./ Ghép các hàm băm mật mã: Ghép các kết quả đầu ra từ nhiều hàm băm tạo ra tính kháng... bằng MD5 được công bố với thông số kiểm tra phần mềm tải về bằng MD5 Hệ điều hành Unix sử dụng MD5 để kiểm tra các gói mà nó phân phối, trong khi hệ điều hành Windows sử dụng phần mềm của hãng thứ ba • MD5 được dùng để mã hóa mật khẩu Mục đích của việc mã hóa này là biến đổi một chuổi mật khẩu thành một đoạn mã khác, sao cho từ đoạn mã đó không thể nào lần trở lại mật khẩu Có nghĩa là việc giải mã là... Hàm băm giúp xác định được tính toàn vẹn dữ liệu của thông tin: mọi thay đổi, dù là rất nhỏ, trên thông điệp cho trước, ví dụ như đổi giá trị 1 bit, đều làm thay đổi thông điệp rút gọn tương ứng Tính chất này hữu ích trong việc phát sinh, kiểm tra chữ ký điện tử, các đoạn mã chứng nhận thông điệp, phát sinh số ngẫu nhiên, tạo ra khóa cho quá trình mã hóa Hàm băm là nền tảng cho nhiều ứng dụng mã hóa. ..Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn 100 74 Năm 200 4.000.000 Năm 300 5 × 1015 Năm 500 4 × 1025 Năm  Một số phương pháp tấn công giải thuật RSA: Tính chất an toàn của phương pháp RSA dựa trên cơ sở chi phí cho việc giải mã bất hợp lệ thông tin đã được mã hóa sẽ quá lớn nên xem như không thể thực hiện được Vì khóa là công cộng nên việc tấn công bẻ khóa phương pháp... trị băm (mật mã) , mà bất kỳ sự thay đổi vô tình hay các ý trên dữ liệu sẽ thay đổi giá trị băm Dữ liệu đem mã hóa thường được gọi Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 12 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn là thông điệp (message), và giá trị băm đôi khi còn được gọi là tóm lược thông điệp (message digest) hay giá trị tóm lược (digest) Hàm băm mật mã lý . hóa đối xứng sử dụng cùng một khóa cho việc mã hóa và giải mã. Có thể nói mã đối xứng là mã một khoá hay mã khóa riêng hay mã khoá thỏa thuận. Nguyên lý cơ bản của hệ thống mã hoá khoá đối xứng. hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN __________ BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY. hóa: a./ Mã hóa đối xứng: Hình 1. Nguyên lý của hệ thống mã hoá đối xứng Hvth: Lê Thúc Quốc Anh - Mã số: CH1301002 Trang 4 Bài thu hoạch môn học Toán Cho Khoa Học Máy Tinh Gvhd: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Mã