ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH TIỂU LUẬN MÔN HỌC TOÁN HỌC CHO KHMT ĐẠI SỐ BOOL VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. NGUYỄN PHI KHỨ Học viên thực hiện: NGUYỄN NGỌC HOÀNG Mã số học viên: CH1301026 TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2013 LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay, máy tính là một công cụ hữu hiệu phục vụ cho các hoạt động lao động sáng tạo cũng như giải trí. Máy tính với bộ phận chính là bộ vi xử lý được cấu thành từ hành triệu mạch số khác nhau. Để có thể chế tạo được các mạch số hoạt động hiệu quả thì cần một cơ sở nền tảng có hệ thống để chứng minh tính hiệu quả của mạch số từ đó có thể sản xuất ra các bộ vi xử lý hiệu quả hơn và tăng năng lực tính toán cho máy tính. Sau một quá dài nghiên cứu dựa trên logic mệnh đề, các nhà nhiên cứu đã phát triển nên đại số Bool. Đại số Bool với cơ sở lý luận toán học vững vàng đã làm nền tảng để thiết kế cũng như tối ưu các mạch số. LỜI CẢM ƠN Toán học là nền tảng của ngành Khoa Học Máy Tính. Trong đó phần logic chính là kim chỉ nam cho việc suy diễn, định hướng suy nghĩ cho mọi nghiên cứu sau này. Với các chuyên đề được giảng dạy trong môn Toán học cho Khoa Học Máy Tính như cơ sở toán học, phương pháp phân tích và thiết kế thuật toán, logic mệnh đề - logic vị từ, PGS.TS Nguyễn Phi Khứ đã cung cấp hành trang vững chắc cũng như kiến thức nền tảng để cho tôi và các bạn trong lớp CH08 có khả năng học tốt những chuyên đề tiếp theo; và đó cũng là hành trang trong quá trình nghiên cứu sau này. Với những định hướng và gợi mở về những hướng đi mới, hỗ trợ tài liệu và ý tưởng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Phi Khứ. Ngoài ra cũng xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - những người đã luôn hỗ trợ, động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài. TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2013 Người thực hiện Nguyễn Ngọc Hoàng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời mở đầu Lời cảm ơn Mục lục - 5 - Chương 1: TỔNG QUAN 1.1. KHÁI NIỆM MẠCH SỐ Mạch số (hay mạch điện tử số) là mạch xử lý các tín hiệu ở mức rời rạc thay vì tín hiệu liên tục. Thông thường, mạch số xử lý ở dạng 0 hay 1, đúng (true) hay sai (false) hoặc mức cao hay mức thấp. Hình 1.1: Minh họa mức điện áp tương ứng với giá trị xử lý mạch số. • Ưu điểm của mạch số • Một ưu điểm của của mạch số so với mạch tương tự là tín hiệu truyền qua mạch số không bị suy hao do nhiễu giống như mạch tương tự. • Khi cần biểu diễn chính xác hơn hoặc tăng kích thước đầu vào ta chỉ cần tăng số lượng các mạch số mà không quan tâm đến độ tuyến tính, thuộc tính nhiễu như trong mạch tương tự. Do đó, có thể thiết kế mạch số xử lý tín hiệu đầu vào lơn một cách dễ dàng. GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 6 - • Các công cụ thiết kế mạch số dựa vào máy tính (Computer-Aided Design - CAD) ngày càng phát triển giúp cho việc thiết kế mạch số ngày càng đơn giản và giảm thời gian đưa sản phẩm ra thị trường. • Nhược điểm của mạch số • Trong một số trường hợp. mạch số có thể tiêu tốn nhiều năng lượng hơn khi thực hiện cùng một công việc so với mạch tương tự. • Mạch số thường phù hợp với việc sản suất với số lượng lớn nên sản phẩm sẽ trở nên đắt đỏ nếu sản xuất với số lượng nhỏ. • Hầu hết các mạch số khi sử dụng đều dùng các tín hiệu được chuyển từ tín hiệu tương tự (do các số liệu thực tế đều có giá trị tương tự) nên khi sử dụng mạch số sẽ có sai số lượng từ hóa. 1.2. TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ Như chúng ta đã biết, logic mệnh đề là một cơ sở toán học giải quyết với các biến mệnh đề chấp nhận giá trị 0 hoặc 1. Bên cạnh đó còn có các toán tử logic như and, or và not. Cơ sở toán học này là một nền tảng để phát triển các mạch số do mạch số cũng xử lý với các tín hiệu với giá trị 0 hoặc 1 đồng thời đảm bảo tính đúng đắn của mạch số. Đại số Bool là đại số trên các đại lượng 0 hoặc 1; dùng để mô tả các các phương trình logic, tối giản các thiết kế nên được dùng nhiều trong thiết kế mạch. GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 7 - Chương 2: BIỂU DIỄN PHƯƠNG TRÌNH LOGIC - ĐẠI SỐ BOOL 2.1. GIỚI THIỆU Logic mệnh đề thao tác trên các hằng mệnh đề, biến mệnh đề và các phép toán mệnh đề trong miền giá trị {0, 1}. Trong chương này, chúng ta sẽ hình thức hóa lại các khái niệm logic đồng thời nêu lên các định nghĩa, kỹ thuật mới để có thể biểu diễn được phương trình logic và ứng dụng trong thiết kế mạch số. Một mạch chuyển đơn giản chứa các phần tử chủ động như các diod hay các transistor có thể minh họa cho logic nhị phân với thuộc tính ON (công tắc đóng) hay OFF (công tắc mở). Các hàm chuyển có thể được biểu diễn bằng các phương trình Bool. Các phương trình Bool phức tạp có thể được tối giản nhờ vào một dạng số học mới thường được gọi là đại số Bool. Đại số Bool được phát minh bởi nhà toán học George Bool vào năm 1854. Đại số Bool thao tác với các quy tắc tương tự như các quy tắc logic mệnh đề. 2.2. CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN Đại số Bool cũng giống như bất cứ một hệ toán học suy diễn nào; có thể được định nghĩa với một tập các phần tử, một tập các phép toán, một số các giả thuyết và định lý. Giả sử S là một tập các phần tử, X và Y là các phần tử cụ thể. Nếu X ∈ S có nghĩa là một thành phần của S. Nếu Y ∉ S có nghĩa là Y không phải là một thành phần của S. Một toán tử hai ngôi định nghĩa trên một tập S là một quy tắc gán cho mỗi cặp các phần tử trong S một giá trị mới cũng thuộc S. Các định lý của một hệ thống toán học dựa trên một số các giả thuyết cho phép việc suy diễn các quy tắc, các hệ quả và các thuộc tính của hệ thống. Hầu hết các cấu trúc đại số khác nhau đều hình thành dựa trên các định lý chung được trình bày dưới đây: 2.2.1. Tính đóng Một tập được gọi là đóng với một toán tử hai ngôi nếu với mỗi cặp phần tử thuộc S, toán tử hai ngôi này có một quy tắc để xác định một phần tử duy nhất GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 8 - thuộc S. Ví dụ, tập số tự nhiên N được gọi là đóng với phép + do khi thực hiện xong phép + với hai số tự nhiên bất kỳ thì kết quả vẫn là một số tự nhiên. 2.2.2. Luật kết hợp Một toán tử hai ngôi * trên một tập S được gọi là kết hợp khi thỏa điều kiện: (A * B) * C = A * (B * C) với mọi A, B, C ∈ S 2.2.3. Luật giao hoán Một toán tử hai ngôi * trên một tập S được gọi là kết hợp khi thỏa điều kiện: A * B = B * A với mọi A, B, C ∈ S 2.2.4. Phần tử xác định Một tập hợp S được gọi là có phần tử xác định với phép toán hai ngôi * trên S nếu tồn tại phần tử E ∈ S sao cho: E * A = A * E = A. Ví dụ trong tập số nguyên I ta có phép + có phần tử xác định là 0 và phép * có phần tử xác định là 1. 2.2.5. Phần tử bù Nếu tập S có phần tử xác định là E với phép toán hai ngôi * thì ta định nghĩa phần tử bù B của phép toán hai ngôi * ứng với mỗi phần tử A ∈ S nếu A * B = E. 2.2.6. Luật phân phối Nếu * và (.) là hai phép toán hai ngôi trên tập S thì * được gọi là phân phối với phép (.) nếu thỏa: A * (B . C) = (A * B) . (A * C) 2.3. ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ BOOL Năm 1854, George Boole giới thiệu một cách tiếp cận logic có hệ thống và phát triển một hệ thống đại số để giải quyết các hàm logic đó chính là đại số Bool. Năm 1938, C.E. Shannon phát triển đại số Bool hai giá trị thường được gọi là đại số chuyển (Switching Algebra) và chứng minh rằng các mạch điện hai trạng thái hay hai giá trị có thể được biểu diễn bằng đại số này. Các định lý được đưa ra bởi E.V. Huntington vào năm 1904 được dùng như là định nghĩa chính thức cho đại số Bool. Tuy nhiên, các định lý này không phải là duy nhất để định nghĩa đại số Bool. Các GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 9 - định lý Huntington dưới đây thỏa điều kiện định nghĩa đại số Bool trên tập S với hai phép toán nhị phân (+) và (.). 1. Phép (+) thỏa mãn tính đóng. Phép (.) thỏa mãn tính đóng. 2. Phần tử định danh ứng với phép + là 0. Cụ thể: A + 0 = 0 + A = A Phần tử định danh ứng với phép . là 1. Cụ thể: A . 1 = 1 . A = A 3. Tính giao hoán của phép + : A + B = B + A. Tính giao hoán của phép . : A. B = B . A. 4. Tính phân phối của phép (.) đối với phép (+): A . (B + C) = (A . B) + (A . C) Tính phân phối của phép (+) đối với phép (.): A + (B . C) = (A + B) . (A + C) 5. Với mỗi phần tử A ∈ S, tồn tại một phần tử A’ ∈ S (gọi là phần tử bù của A) thỏa A + A’ = 1 và A.A’ = 0. 6. Tồn tại ít nhất hai phần tử A,B ∈ S thỏa A khác B. So sánh đại số Bool với số học và đại số chính thống áp dụng cho tập số nguyên ta thấy có một số khác biệt như sau: • Các định lý của Huntington không có các luật kết hợp. Tuy nhiên, đại số Bool tuân theo các luật như trên thì có thể suy luận ra được luật kết hợp cho cả hai phép toán. • Luật phân phối của phép (+) cho phép (.) thì đúng cho đại số Bool nhưng không đúng cho đại số thường. • Đại số Bool không có phép cộng và phép nhân đảo ngược do đó không có phép trừ và phép chia. • Luật số 5 định nghĩa phần tử bù của đại số Bool khác với đại số thường. • Đại số thường thao tác với số thực là một tập vô hạn các phần tử. Tuy nhiên, đại số Bool thao tác với một tập hữu hạn các phần tử chưa xác định. Với đại số Bool hai giá trị thì tập S chỉ chứa hai phần tử là 0 và 1. Các định lý trên chỉ xác định những cơ sở của đại số Bool. Do đó để có thể có một mô hình đại số Bool hoàn chỉnh cần thỏa các điều kiện sau: GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 10 - • Các phần tử của tập S. • Các quy tắc hoạt động của các phép toán nhị phân. • Phần tử tập S kết hợp với hai phép toán phải thỏa 6 định lý Huntington. Do vậy, tùy vào cách chọn các phần tử của tập S và các quy tắc tắc hoạt động của các phép toán mà ta có thể tạo ra các đại số Bool khác nhau. Trong giới hạn tiểu luận này, tôi chỉ xét đến đại số Bool hai giá trị do nó được ứng dụng nhiều trong lý thuyết tập hợp và logic mệnh đề. Ngoài ra đại số Bool hai giá trị cũng là nền tảng quan trọng trong thiết kế mạch số. 2.4. ĐẠI SỐ BOOL HAI GIÁ TRỊ Đại số Bool hai giá trị được định nghĩa trên một tập chỉ có hai phần tử S = {0, 1} với các quy tắc cho phép toán (+), phép toán (.) và phép bù được trình bày như bên dưới. Hình 2.1: Quy tắc phép (+) trong đại số Bool hai giá trị. Hình 2.2: Quy tắc phép (.) trong đại số Bool hai giá trị. GVHD: PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng [...]... tìm hiểu được, thiết kế hoàn chỉnh mạch cộng là một mạch cơ bản trong máy tính hiện đại Do thời gian có hạn nên việc vận dụng vào thiết kế mạch số của tiểu luận này chỉ áp dụng cho mạch cộng Bên cạnh đó còn rất nhiều mạch cần thiết và làm nền tảng cho việc thiết kế mạch như mạch kiểm tra parity, mạch multiplexer – demultiplexer, mạch encoder, mạch decoder … Với thực trạng như trên, trong thời gian... dụng dùng trong thiết kế mạch số GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 26 - 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MỘT SỐ MẠCH TỔ HỢP CƠ BẢN Trong phần này, chúng ta sẽ vận dụng lý thuyết của đại số Bool và quá trình tối giản hàm Bool đã được trình bày ở chương 2 kết hợp với các cổng logic vừa được trình bày phía trên để thực hiện việc thiết kế các mạch tổ hợp cơ bản là mạch cộng và. .. quan hệ cơ bản của đại số Bool Ứng với mỗi tính chất đều áp dụng cho 2 phép toán AND và OR Cột bên trái nhấn mạnh cho phép toán AND và cột bên phải nhấn mạnh cho phép toán OR và được gọi là nguyên lý đối tính Đây là một thuộc tính của đại số Bool và có ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu logic và hiện thực các hàm logic với các thiết bị vật lý Trong các tính chất trên thì tính chất cuối cùng... tảng cho việc thiết kế mạch số Bên cạnh đó việc rút gọn hàm Bool bằng bìa Karnaugh là một kỹ thuật đơn giản nhưng hiệu quả trong việc tối ưu các hàm Bool, giúp cho việc thiết kế mạch đơn giản hiệu quả cũng được trình bày trong tiểu luận Các cổng logic thông dụng thường dùng trong thiết kế mạch cũng được nêu ra làm tiền đề cho việc ứng dụng thiết kế Sau khi có được cơ sở lý thuyết vững chắc, tôi đã áp dụng. .. Ngọc Hoàng - 24 - Chương 3: ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ 3.1 CÁC CỔNG LOGIC SỐ Trong thiết kế mạch số, các phép toán logic dùng trong đại số Bool sẽ được chuyển thành các cổng logic số để thực hiện các chức năng tương ứng Hình 3.1 là các cổng logic thông dụng • Cổng AND: Thực hiện chức năng giống như phép toán logic AND – cho kết quả đầu ra bằng 1 khi và chỉ khi hai đầu vào có giá trị là 1 • Cổng... hiểu và nghiên cứu thêm các mạch cơ bản của việc thiết kế mạch, đồng thời vận dụng lý thuyết đại số Bool cũng như việc tối giản hàm Bool bằng bìa Karnaugh nhằm thiết kế các mạch phức tạp hơn có khả năng ứng dụng và phục vụ cuộc sống GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 31 - TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 PGS.TS Nguyễn Phi Khứ(2013), Các Slide bài giảng môn học Toán học cho Khoa Học Máy Tính. .. và mạch MUX 3.2.1 Thiết kế mạch cộng nữa (half-adder) Các công việc xử lý thông tin ngày nay đều được thực hiện nhờ máy tính Các phép toán số học là một trong những thao tác cơ bản nhất của máy tính Và phép cộng chính là nền tảng của các đơn vị tính toán trong máy tính Do đó chúng ta sẽ thực hiện thiết kế một bộ cộng nhị phân 1 bit Trong phép cộng nhị phân ta có 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 và 1... phép bù trong đại số Bool hai giá trị Các quy tắc này giống với phép OR, AND và NOT trong logic mệnh đề Và ta cũng có thể kiểm tra dễ dàng các quy tắc này thỏa mãn sáu định lý Hutington đã nêu ở trên Để cho đơn giản từ đây trở đi ta quy ước rằng đại số Bool chính là đại số Bool hai giá trị được áp dụng với tập S = {0, 1} và các quy tắc cho phép (+) và phép (.) như trên 2.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI SỐ BOOL. .. chỉ số j là dạng bù của minterm có chỉ số tương ứng và ngược lại 2.8 TỐI GIẢN HÀM BOOL - BÌA KARNAUGH Trong thiết kế mạch số, độ phức tạp của các cổng logic số để hiện thực hàm Bool phụ thuộc trực tiếp vào độ phức tạp của biểu thức đại số Bên cạnh đó, khi số lượng biến đầu vào tăng lên thì cũng làm tăng độ phức tạp Mặc dù biểu diễn bảng chân trị của mỗi hàm Bool là duy nhất nhưng biểu thức đại số của... logic cho mạch cộng đầy đủ dựa trên các cổng logic 2 đầu vào: Hình 3.8: Sơ đồ logic của mạch cộng đầy đủ 2 đầu vào Qua sơ đồ trên ta thấy rằng mạch cộng đầy đủ có thể được tạo thành từ 2 mạch cộng nữa và 1 cổng OR GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Ngọc Hoàng - 30 - Chương 2: KẾT LUẬN Qua tiểu luận này, tôi đã trình bày cơ sở lý thuyết của đại số Bool – một sơ sở toán học rất vững chắc và có . ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH TIỂU LUẬN MÔN HỌC TOÁN HỌC CHO KHMT ĐẠI SỐ BOOL VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ Giảng viên. triển nên đại số Bool. Đại số Bool với cơ sở lý luận toán học vững vàng đã làm nền tảng để thiết kế cũng như tối ưu các mạch số. LỜI CẢM ƠN Toán học là nền tảng của ngành Khoa Học Máy Tính. Trong. Bool. Các phương trình Bool phức tạp có thể được tối giản nhờ vào một dạng số học mới thường được gọi là đại số Bool. Đại số Bool được phát minh bởi nhà toán học George Bool vào năm 1854. Đại