ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHÒNG ĐT SĐH-KHCN&QHĐN TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH  TÌM HIỂU LÝ THUYẾT LỌC KALMAN-BUCY VÀ ỨNG DỤNG MINH HỌA  TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM  ĐẶNG BẢO ÂN - CH1301077 TP. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2014 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM LỜI CẢM ƠN  !"#$%& '%()*)! +,*)- ./0!12*345*0&63 *)!()7%89:51;<*'=>'?9@3*)!@ <2*A/B9@!C DEC%89:FA() ,G2*5,EH<**?# I7G.GCA*. + .G -*0 <GH<**?# JCK= LFA5AM'4.4N/% + %*),AG O'G*? =30!G-5P - 2*A,GA2*A# QD(/A !P/% +2*A ! H<**?FA#*)',G2*5,E0&<,50R/ CAC',PGC =30!;FA()54.# Nhóm học viên thực hiện Trang 2 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA GIÁO VIÊN ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### ############################################################################################################################### Trang 3 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM Điểm bằng số ##################################### Điểm băng chữ ##################################### ISTBQ')5UVWVXUY ZJ[\]^ TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM PHẦN 1 MỤC LỤC PHẦN 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 7 V#U_*5,E:*#####################################################################################################################` V#U#Ua52*5,E:*##############################################################################################` V#U#VIG.2*5,E:*###############################################################################################b V#U#c_*5,E9deCAHGA,)f####################################################################################################b V#U#Y_*5,EQA,0G#################################################################################################################UX V#U#g_*5,EA*CC####################################################################################################################Uc V#U#h_*5,Eijj,##################################################################################################################Ug Trang 4 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM V#VB=:*##################################################################################################################Uk V#V#UB=:*&######################################################################################################Uk V#V#V]=:*&##########################################################################################################Ub V#cI%,E=:*################################################################################################VX V#c#Ua5-=%,E=:*####################################################################VX V#c#V"S.9*)PFA#########################################################################################VU V#c#cI%,E=:**)!>########################################################################VV PHẦN 3 LỌC NGẪU NHIÊN KALMAN-BUCY 28 c#UlD###########################################################################################################################################V` c#Vm*###########################################################################################################################################V` c#clDaAA##############################################################################################################################Vb c#Y!0!4D#############################################################################################################################cV c#gQ&EaAAnl*)##################################################################################################################ck PHẦN 4 MINH HỌA THUẬT TOÁN KALMAN-BUCY BẰNG CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 41 Y#U]B9@Uo8%pM,BG*##################################################################################################YU Y#V]B9@VqVn=*UnG*=*Yn,.5#####################################################################YY DANH MỤC HÌNH ẢNH Trang 5 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM Hình 2-1 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn 14 Hình 4-2 Kết quả ước lượng vị trí 42 Hình 4-3 Kết quả ước lượng vận tốc 43 Hình 4-4 Trạng thái 1 và trạng thái 2 45 Hình 4-5 Trạng thái 3 và trạng thái 4 45 LỜI NÓI ĐẦU Một số quá trình thu và xử lí tín hiệu để xác định quỹ đạo chuyển động như máy bay, tên lửa, tàu vũ trụ, để biết vị trị các tàu trên biển, để định hướng đi của các robot tự hành Vì một hay nhiều nguyên nhân khác nhau mà các dữ liệu hay tín hiệu có được trong quá trình thu nhận thông thường là bị “nhiễu”, nghĩa là kết quả thu nhận Trang 6 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM được thường không chính xác. Yêu cầu đặt ra là trong quá trình xử lý làm sao để từ kết quả thu nhận được ta ước lượng được một kết quả chính xác hơn? Xuất phát từ yêu cầu đó cùng với việc giải quyết vấn đề liên quan đến sự chuyển hướng của tàu vũ trụ trong chương trình Apollo - Hoa Kì (chương trình đưa con người từ trái đất lên mặt trăng và ngược lại), Kalman đã nghiên cứu và vào năm 1960 ông đã công bố bài báo nổi tiếng về một giải pháp đệ quy để giải quyết bài toán lọc tuyến tính thông tin rời rạc (lọc Kalman). Tên đầy đủ của bài báo là “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”. Năm 1961 Bucy cũng tham gia vào lĩnh vực này và đã phát triển lý thuyết lọc - lọc tuyến tính thông tin liên tục (lọc Kalman - Bucy). Từ thực tế cho thấy hơn 50 năm trôi qua, lọc Kalman ngày càng trở nên phổ biến và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Do vấn đề lọc mà nó giải quyết là vấn đề cơ bản trong rất nhiều lĩnh vực nên có thể nó sẽ còn có nhiều ứng dụng hơn nữa trong tương lai. Nhận thấy được tầm quan trọng nên nhóm xin thực hiện tiểu luận “Tìm hiểu lý thuyết lọc Kalman-Bucy và ứng dụng minh họa”. Cuối cùng, nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Tôn Đảm đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn để nhóm hoàn tất bài tiểu luận này. Chúc Thầy được nhiều sức khỏe. Nhóm học viên thực hiện PHẦN 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN Trang 7 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM 2.1 Quá trình ngẫu nhiên Hầu hết các hiện tượng xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều có tính chất ngẫu nhiên, điều đó phản ánh các mối ràng buộc phức tạp mà ta không biết trước được. Ta đã biết các khái niệm biến ngẫu nhiên, vector ngẫu nhiên, đó là các biến nhận các giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta có quá trình ngẫu nhiên. Các tín hiệu truyền dẫn và nhiễu của một hệ thống viễn thông, quá trình sắp hàng ở một tổng đài là các quá trình ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong viễn thông là quá trình có tính Markov (memoryless) và quá trình dừng. 2.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành phần mang tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị. Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm t chỉ xảy ra ứng với các biến cố { , } i E i N∈ của không gian mẫu. Tín hiệu này nhận giá trị ( , ) i v t E tại thời điểm t và khi biến cố i E xảy ra. Như vậy ( , ) i v t E là một mẫu của quá trình ngẫu nhiên ( )v t . Quá trình ngẫu nhiên ( )v t vừa phụ thuốc thời gian t , vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên i E . Một cách tổng quát một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên { ( , ); }X t t I ω ∈ . Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời gian t và khi cố định tham số t thì ( , )X t ω là biến ngẫu nhiên theo ω . Tập chỉ số I thường biểu diễn tham số thời gian. Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều là quá trình ngẫu nhiên. Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, dữ liệu máy tính, nhiễu điện trong các thiết bị điện, số khách hàng đến một điểm phục vụ, chỉ số chứng khoán trong thị trường chứng khoán… là các quá trình ngẫu nhiên. Để đơn giản trong cách viết người ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên { ( ); }X t t I∈ thay cho { ( , ); }X t t I ω ∈ . Trang 8 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM 2.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên Các yếu tố chính để phân biệt các quá trình ngẫu nhiên là không gian trạng thái, tập chỉ số I và quan hệ độc lập giữa các biến ngẫu nhiên ( )X t . Vì vậy ta có thể phân loại quá trình ngẫu nhiên theo: 2.1.2.1 Tập trạng thái E Ta ký hiệu E là tập các giá trị của ( )X t và gọi là không gian trạng thái của quá trình. ♦ Nếu E là tập đếm được thì { ( ); }X t t I∈ gọi là quá trình có trạng thái rời rạc. ♦ Nếu E là 1 khoảng của tập số thực R thì { ( ); }X t t I∈ là quá trình thực. ♦ Nếu E tập con của tập số phức C thì { ( ); }X t t I∈ là quá trình phức. ♦ Nếu k E R= thì { ( ); }X t t I∈ là quá trình k-vector. 2.1.2.2 Tập các chỉ số I Nếu I Z∈ thì quá trình { ( ); }X t t I∈ được gọi là quá trình có thời gian rời rạc. ♦ Trường hợp này ta ký hiệu ( )x n thay cho ( )x t . ♦ Nếu [0, )I = +∞ hoặc I R= thì { ( ); }X t t I∈ được gọi là quá trình có thời gian liên tục. 2.1.3 Quá trình dừng (stationary) Quá trình { ( ); }X t t I∈ , , , ,I R R Z N + = được gọi là: ♦ Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary): Trang 9 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM Nếu 1 2 0, , , n h t t t I∀ > ∀ ∈ thì hàm phân bố đồng thời của 1 2 ( ( ), ( ), X t h X t h+ + , ( )) n X t h+ và 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) n X t X t X t là như nhau. ♦ Dừng theo nghĩa rộng hay dừng hiệp phương sai (wide sense stationary or covariance stationary) nếu: - ( )Ex t m const= = . - Với mọi ,cov( ( ), ( )) [ ( ) , ( ) ]t X t X t E X t m X t m π π + = − + − chỉ phụ thuộc π . Đặt ( ) cov( ( ), ( )) x K X t X t π π = + và gọi là hàm tự tương quan của quá trình { ( ); }X t t I∈ . 2.1.4 Quá trình Markov Quá trình { ( ); }X t t I∈ là quá trình Markov nếu với mọi cách chọn 1 2 n t t t< < < và với mọi cách chọn 1 2 , , n a a a thì: 1 1 { ( ) | ( ) , , ( ) } { ( ) | ( ) } n n n n P a X t b X t a X t a P a X t b X t a< ≤ = = = < ≤ = đúng với mọi n t t> , với mọi a b< . 2.1.4.1 Chuỗi Markov Chuỗi Markov là quá trình Markov { ( ); }X t t I∈ có không gian trạng thái E đếm được. Tuỳ theo tập chỉ số {0,1,2, }I = hoặc (0, )I = +∞ ta có tương ứng chuỗi Markov với thời gian rời rạc hoặc liên tục. ♦ Chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất: Quá trình { ( ), 0,1,2, }X n n = với thời gian rời rạc được gọi là chuỗi Markov thời gian rời rạc thuần nhất nếu: - Không gian trạng thái E của mọi ( )X n là tập đếm được. - Hàm xác suất chuyển là thuần nhất theo thời gian, nghĩa là thoả mãn: Trang 10 [...]... trừ sự việc lưu trữ nhiều dữ liệu quan sát quá khứ mà bộ lọc Kalman tính toán đơn giản hơn việc trực tiếp từ tập dữ liệu quan sát quá khứ tại mỗi bước của quá trình lọc Xét một hệ động học tuyến tính, rời rạc theo thời gian được mô tả bởi sơ đồ khối Trang 30 GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Hình 3-2 Sơ đồ khối Phương trình tuyến tính quá trình: Trong đó F(k, k-1) là ma trận biến đổi... Black-Schole Giá cổ phiếu thõa mãn phương trình dSt = µ St dt + σ St dWt Trong đó µ và σ là các hằng số Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình mũ ngẫu nhiên với St = X t , a(t ) = µ , c(t ) = σ Lời giải được gọi là chuyển động Brown hình học và cho bởi   σ2 St = S0 exp (u − )t + σ Wt  2   Trang 27 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM PHẦN 3 LỌC NGẪU NHIÊN KALMAN-BUCY 3.1 Bộ lọc. .. không được khẳng định Trang 29 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM Hình 3-1 Mô hình hóa bộ lọc Kalman Từ một tín hiệu cần đo, khi chúng ta đo, sẽ có những sai số từ cảm biến, ảnh hưởng đến tín hiệu cần đo, môi trường đo có nhiễu… Tất cả những thứ này, tổng hợp lại, sẽ cho ta một kết quả đo Một trong những kiến thức nền tảng để có thể hiểu về nguyên lý của bộ lọc Kalman chính là xác suất... cộng tính với kỳ vọng bằng không và ma trận tương quan được xác định bởi: Phương trình phép đo: Trong đó, y(k) là phép đo được tại thời điểm k và H(k) là ma trận đo, nhiễu v(k) được giả định là nhiễu trắng Gauss tính với kỳ vọng bằng không và ma trận tương quan Nhiễu đo v(k) không tương quan với nhiễu trình w(k) Trang 31 GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Bài toán lọc Kalman là bài toán. .. ứng dụng một cách hiểu quả bộ lọc Kalman thì chúng ta phải mô hình hóa được một cách tuyến tính sự thay đổi của trạng thái cần ước lượng Bộ lọc Kalman gắn liền với hệ động học tuyến tính, cung cấp một thuật toán truy hồi cho bài toán lọc tối ưu tuyến tính Trong đó, mỗi trạng thái đánh giá được cập nhật được tính từ đánh giá trước đó và dữ liệu quan sát mới Như vậy chỉ có trạng thái tại bước thời gian...TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM p ( s , i , t , j ) = p ( s + h, i , t + h , j ) Ta nói tắt chuỗi Markov thay cho chuỗi Markov thời gian rời rạc thuần nhất 2.1.4.2 Một số mô hình chuỗi Markov quan trọng ♦ Mô hình phục vụ đám đông: Xét mô hình phục vụ đám đông (lý thuyết sắp hàng) Khách đến sắp hàng chờ phục vụ theo nguyên... trong quá trình truyền và quá trình xử lý tín hiệu tiếng nói Trang 28 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM Nhiễu trong tín hiệu tiếng nói làm ảnh hưởng và thay đổi đến tiếng nói trong quá trình truyền và quá trình xử lý tín hiệu tiếng nói Bao gồm các loại nhiễu: - Nhiễu trắng (white noise) - Nhiễu màu (colored noise) - Nhiễu xung (Impusive noise) 3.3 Bộ lọc Kalman Vào năm 1960, R.E Kalman... nhất với số gia độc lập Hàm đặc trưng của ξ1 (t ) sẽ có dạng: Trang 16 TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM t   E { exp [ i ( z , ξ1 (t )) ] } = exp it ( z , a) − ( Bz, z )  2   trong đó: B = C.C * , với C * là toán tử liên hợp với C - a được gọi là vector chuyển dịch - B được gọi là toán tử khuyếch tán 2.1.6.2 Tính chất của quá trình Wiener Bổ đề Borel – Cantelli Giả sử ( X n ) là... gian xác suất (Ω, F , P) đã cho họ hàm không giảm các σ − đại số Ft ⊆ F , t > 0 và quá trình Wiener Wt , t ≥ 0;W0 = 0 với quỹ đạo liên tục tương thích với họ Ft sao cho số gia Ws - Wt sau thời điểm t độc lập với σ − đại số Ft Cho T là một số không âm, ta xét là lớp các hàm ngẫu nhiên f :[0, T ] × Ω → R thỏa các điều kiện: Trang 17 GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH T - E ∫ | f (t , ω )... tuyến tính là phương trình có dạng dX t = [a (t ) X t + b(t )]dt + [c(t ) X t + d (t )]dWt (6) Trong đó a (t ) , b(t ) , c(t ) , d (t ) là các quá trình thích nghi và liên tục theo t Chú ý: Ta dễ dàng kiểm chứng rằng đối với phương trình tuyến tính (6) thì các điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm luôn được thỏa Trang 22 GVHD: TS DƯƠNG TÔN ĐẢM TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH 2.3.3.2 Quá trình mũ ngẫu nhiên Cho . ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHÒNG ĐT SĐH-KHCN&QHĐN TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH  TÌM HIỂU LÝ THUYẾT LỌC KALMAN-BUCY VÀ. tham gia vào lĩnh vực này và đã phát triển lý thuyết lọc - lọc tuyến tính thông tin liên tục (lọc Kalman - Bucy). Từ thực tế cho thấy hơn 50 năm trôi qua, lọc Kalman ngày càng trở nên phổ biến và. luận Tìm hiểu lý thuyết lọc Kalman-Bucy và ứng dụng minh họa”. Cuối cùng, nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Tôn Đảm đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn để nhóm hoàn tất bài tiểu luận này.