Cực trị của hàm nhiều biến 1 Cực trị không điều kiện Để tìm cực trị của hàm 2 biến z = f(x, y) trong miền D ta thực hiện các bước như sau Bước 1. Giải hệ sau để tìm các điểm tới hạn:  f  x = 0 f  y = 0 → M 0 (x 0 , y 0 ) Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và ∆ A = f  x 2 , B = f  xy , C = f  y 2 , ∆ = B 2 − AC Bước 3. Xét tại điểm M 0 • Nếu ∆ < 0 và A > 0 thì (x 0 , y 0 ) là cực tiểu • Nếu ∆ < 0 và A < 0 thì (x 0 , y 0 ) là cực đại • Nếu ∆ = 0 thì chưa thể kết luận được và phải xét bằng phương pháp khác. • Nếu ∆ > 0 thì (x 0 , y 0 ) không là cực trị. Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm f(x, y) = xy + 50 x + 20 y Tìm điểm dừng      f  x = y − 50 x 2 = 0 f  y = x − 20 y 2 = 0 Giải hệ ta được điểm dừng là M(5, 2) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 A = f  x 2 = 100 x 3 , B = f  xy = 1, C = f  y 2 = 40 y 3 ∆ = B 2 − AC = 1 − 4000 x 3 y 3 Tại M(5, 2) thì ∆ = −3, A = 4 5 suy ra M(5, 2) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu f(5, 2) = 30 1 Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x 3 + 3xy 2 − 30x − 18y Tìm các điểm dừng của hàm số này  f  x = 3x 2 + 3y 2 − 30 = 0 f  y = 6xy − 18 = 0 ⇒  x 2 + y 2 = 10 xy = 3 Giải hệ ta được 4 điểm dừng: M 1 (3, 1), M 2 (1, 3), M 3 (−3, −1), M 4 (−1, −3), Ta có: A = f  x 2 = 6x, B = f  xy = 6y, C = f  y 2 = 6x ∆ = B 2 − AC = 36(y 2 − x 2 ) • Tại M 1 , ∆ = −288 < 0, A = 18 > 0 nên M 1 là điểm cực tiểu f(M 1 ) = −72 • Tại M 2 , ∆ = 288 > 0 nên M 2 không là cực trị. • Tại M 3 , ∆ = −288 < 0, A = −18 < 0 nên M 3 là điểm cực đại f(M 3 ) = 72 • Tại M 4 , ∆ = 288 > 0 nên M 4 không là cực trị. 2 Cực trị có điều kiện Bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x, y) thỏa mãn ràng buộc ϕ(x, y) = 0. Ta giải theo trình tự sau: Bước 1 Lập hàm Largrăng (λ là hằng số thỏa mãn hệ ở bước 2) F (x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) Bước 2 Giải hệ phương trình:      F  x (x, y, λ) = 0 F  y (x, y, λ) = 0 ϕ(x, y) = 0 ⇔      f  x (x, y) + λϕ  x (x, y) = 0 f  y (x, y) + λϕ  y (x, y) = 0 ϕ(x, y) = 0 → M 0 = (x 0 , y 0 , λ 0 ) Bước 3 Tính d 2 F d 2 F = ∂ 2 F ∂x 2 dx 2 + 2 ∂ 2 F ∂x∂y dxdy + ∂ 2 F ∂y 2 dy 2 Bước 4 Xét dấu của d 2 F • Nếu d 2 F (M 0 ) > 0 thì (x 0 , y 0 ) là điểm cực tiểu có điều kiện. • Nếu d 2 F (M 0 ) < 0 thì (x 0 , y 0 ) là điểm cực đại có điều kiện. • Nếu d 2 F (M 0 ) = 0 thì còn phải xét thêm. Điều lưu ý ở đây các vi phân dx, dy không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn hệ thức dϕ(x 0 , y 0 ) = ϕ  x (x 0 , y 0 )dx + ϕ  y (x 0 , y 0 )dy = 0 2 Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x 2 + y 2 − 2x − 2y với điều kiện x 2 + y 2 − 2 = 0 Lập hàm Lagrănge F (x, y, λ) = x 2 + y 2 − 2x − 2y + λ(x 2 + y 2 − 2) Giải hệ      F  x (x, y, λ) = 0 F  y (x, y, λ) = 0 x 2 + y 2 − 2 = 0 ⇔      x − 1 + λx = 0 y − 1 + λy = 0 x 2 + y 2 − 2 = 0 Ta được nghiệm M 1 (1, 1, 0), M 2 (−1, −1, −2) ∂ 2 F ∂x 2 = 2 + 2λ, ∂ 2 F ∂x∂y = 0, ∂ 2 F ∂y 2 = 2 + 2λ Tính vi phân cấp hai của hàm F d 2 F = ∂ 2 F ∂x 2 dx 2 + 2 ∂ 2 F ∂x∂y dxdy + ∂ 2 F ∂y 2 dy 2 = (2 + 2λ)(dx 2 + dy 2 ) • Tại M 1 (1, 1, 0) ta có d 2 F (M 1 ) = 2(dx 2 + dy 2 ) > 0 Suy ra (1, 1) là điểm cực tiểu có điều kiện • Tại M 2 (−1, −1, −2) ta có d 2 F (M 2 ) = −2(dx 2 + dy 2 ) < 0 Suy ra (−1, −1) là điểm cực đại có điều kiện Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x 2 + 4xy + y 2 Với điều kiện x + y = 2 Lập hàm Lagrănge F (x, y, λ) = x 2 + 4xy + y 2 + λ(x + y − 2) Giải hệ      F  x (x, y, λ) = 0 F  y (x, y, λ) = 0 x + y − 2 = 0 ⇔      2x + 4y + λ = 0 2y + 4x + λ = 0 x + y − 2 = 0 Ta được nghiệm M(1, 1, −6) ∂ 2 F ∂x 2 = 2, ∂ 2 F ∂x∂y = 4, ∂ 2 F ∂y 2 = 2 Tính vi phân cấp hai của hàm F d 2 F = ∂ 2 F ∂x 2 dx 2 + 2 ∂ 2 F ∂x∂y dxdy + ∂ 2 F ∂y 2 dy 2 = 2dx 2 + 8dxdy + 2dy 2 3 Tại điểm M (1, 1, −6) vi phân cấp 2 của hàm F d 2 F (M ) = 2dx 2 + 8dxdy + 2dy 2 Đến đây ta chưa thể xác định được dấu của d 2 F (M ). Tuy nhiên ta chú ý rằng từ điều kiện x + y − 2 = 0 ⇒ d(x + y − 2) = 0 ⇐⇒ dx + dy = 0 ⇐⇒ dx = −dy Khi đó d 2 F (M ) = 2dx 2 − 8dx 2 + 2dx 2 = −4dx 2 < 0 Vậy điểm (1, 1) là điểm cực đại có điều kiện. f(1, 1) = 6 3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong một miền đóng bị chặn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục z = f(x, y) trên miền đóng và bị chặn D với biên L Bước 1. Tìm các điểm dừng trong miền D, tính giá trị của hàm số tại các điểm đó Bước 2. Tìm các điểm tới hạn trên biên L của miền D, tính giá trị tại các điểm đó. Bước 3. Nếu biên không trơn tính giá trị cuả hàm số tại điểm giao cuả các phần biên. Bước 4. So sánh các giá trị ở trên ta suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất f(x, y) = x 2 − y 2 trong miền D = {x 2 + y 2 ≤ 4} • Tìm điểm dừng trong miền D. Giải hệ:  f  x = 0 f  y = 0 ⇐⇒  2x = 0 2y = 0 Điểm dừng M 1 (0, 0) và f(M 1 ) = 0 • Tìm các điểm dừng có điều kiện x 2 + y 2 = 4 F (x, y, λ) = x 2 − y 2 + λ(x 2 + y 2 − 4) Giải hệ      F  x (x, y, λ) = 0 F  y (x, y, λ) = 0 x 2 + y 2 − 4 = 0 ⇔      2x + 2λx = 0 −2y + 2λy = 0 x 2 + y 2 − 4 = 0 được các nghiệm N 1 (0, 2, 1), N 2 (0, −2, 1), N 3 (2, 0, −1), N 4 (−2, 0, −1) Do đó ta được 4 điểm dừng có điều kiện M 2 (0, 2), M 3 (0, −2), M 4 (2, 0), M 5 (−2, 0) Và f(M 2 ) = f(M 2 ) = −4, f(M 4 ) = f(M 5 ) = 4 4 • Giá trị lớn nhất trên D là 4 đạt tại M 4 , M 5 Giá trị nhỏ nhất trên D là -4 đạt tại M 2 , M 3 Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x, y) = x 2 + y 2 − 2x − y trong miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2} • Giải hệ:  f  x = 0 f  y = 0 ⇐⇒  2x − 2 = 0 2y − 1 = 0 Điểm dừng là (1, 1 2 ) ⇒ f(1, 1 2 ) = − 5 4 • Tìm điểm tới hạn trên biên + Khi y = 0, 0 < x < 2, ta có f(x, 0) = x 2 − 2x, điểm dừng (1, 0), f(1, 0) = −1 + Khi x = 0, 0 < y < 2, ta có f (0, y) = y 2 − y, điểm dừng (0, 1 2 ), f(0, 1 2 ) = −1 4 + Khi x + y = 2 ⇔ y = 2 − x, 0 < x < 2, ta có f(x, 2 − x) = 2x 2 − 5x + 2, điểm dừng là ( 5 4 , 3 4 ), f( 5 4 , 3 4 ) = −9 8 • Giao của các phần biên (0, 0); (0, 2); (2, 0). Khi đó f(0, 0) = 0; f(0, 2) = 2; f(2, 0) = 0 • Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 đạt tại (0, 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng − 5 4 đạt tại (1, 1 2 ) 4 Bài tập 4.1 Tìm cực trị của hàm số 1. z = 4x − x 3 − xy 2 2. z = x 2 + y 2 − 6x + 8y 3. z = x 4 − 4x 2 − 4y 2 + y 4 + 8xy 4. z = x 3 + y 3 − 3xy 5. z = 2x 4 + y 4 − 4x 2 − 4y 6. z = xy + 50 x + 20 y , (x > 0, y > 0) 7. z = x 2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y 8. z = x + y − xe y 9. z = e 2x (x + y 2 + 2y) 10. z = xy − 1 3 (x 3 + y 3 ) 5 4.2 Tìm cực trị có điều kiện 1. z = x 2 + 12xy + 2y 2 nếu 4x 2 + y 2 = 25 2. z = x a + y b nếu x 2 + y 2 = 1 3. z = x 2 + y 2 nếu x a + y b = 1 4. z = xy nếu x 2 8 + y 2 2 = 1 4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 1. z = x 2 − xy + y 2 trên miền D = {|x| + |y| ≤ 1} 2. z = 2(x 2 + y 2 ) + (x − 1) 2 + (y − 1) 2 trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) 3. z = x 2 + y 2 − 6x + 8y trên miền D = {x 2 + y 2 ≤ 1} 4. z = x 2 − y 2 trên miền D = {x 2 + y 2 ≤ 2} 5. z = x 2 + y 2 − 2x − y trên miền D = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2} 6