Đang tải... (xem toàn văn)
Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH MỤC LỤC MỤC LỤC 2 LỜI NÓI ĐẦU 4 PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 5 I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 5 1. Bất đăng thức Cô – si: 5 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: 5 3. Bất đẳng thức Cauchy. 5 4. Bất đẳng thức Svacsơ. 5 5. Bất đẳng thức Trê bưsép: 6 II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng. 6 III. Các tính chất cơ bản. 6 IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức. 7 V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ. 7 PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 8 Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương. 8 Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ. 13 Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy. 17 Phương pháp 4: Bất đẳng thức Bunhiacopski cơ bản và mở rộng. 19 Phương pháp 5: Bất đẳng thức Trê bưsép. 21 Phương pháp 6: Bất đẳng thức Bernouli. 24 Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. 26 Phương pháp 8: Chứng minh bằng phản chứng. 29 Phương pháp 9: Sử dụng tính chất bắc cầu. 32 Phương pháp 10: Dùng tính chất của tỷ số. 33 Phương pháp 11: Phương pháp làm trội. 34 Phương pháp 12: Phương pháp lượng giác. 36 Phương pháp 13: Phương pháp chứng minh qui nạp. 40 Phương pháp 14: Phương pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau. 47 Phương pháp 15: Dùng bất đẳng thức trong tam giác. 49 Phương pháp 16: Sử dụng hình học và tọa độ 49 Phương pháp 17: Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai. 50 Phương pháp 18: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu. 52 Phương pháp 19: Đổi biến số 55 Phương pháp 20: Phương pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác. 59 Phương pháp 21: Sử dụng khai triển nhị thức Newton. 63 Phương pháp 22: Sử dụng tích phân. 65 ) Một số bài tập nâng cao. 66 PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC. 70 Dạng 1: Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN. 70 Dạng 2: Dùng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình. 73 Dạng 3: Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên. 80 Dạng 4: Ứng dụng vectơ trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 82 PHẦN 4: TUYỂN TẬP 100 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 87 KẾT LUẬN 88 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Bất Đẳng thức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 1. Bất đăng thức Cô – si: Cho n số không âm . Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Với , ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Với , ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai bộ Ta có: Dấu bằng xảy ra . 3. Bất đẳng thức Cauchy. Cho n số không âm Ta có: Dấu bằng xảy ra . 4. Bất đẳng thức Svacsơ. với Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 5. Bất đẳng thức Trê bưsép: Nếu Nếu Dấu bằng xảy ra khi II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng. o o dấu( = ) khi x = y = 0 o o o III. Các tính chất cơ bản. Tính chất 1: a > b b < a Tính chất 2: a > b và b > c => a > c Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a c > b – c a + c > b a > b – c Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a c > b – d Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ . IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức. V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ. Cho hai véctơ (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Tổng quát: Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ nhất xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Dấu “=” thứ hai xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng .
123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Thư viện tài liệu trực tuyến 123cbook.com Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 1 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 MỤC LỤC !"#$%&"'()*"+,- ))+/ &"'0)*"+,-12#3 &"'()*"+,-4)+35-67#83 9&"'()*"+,-54-+: &"'()*"+,-;<5-=#>? &"'()*"+,-@A=%B=#C7? !"#$%&"'()*"+,-7+D'E'BF--+,)*G3)+HI'J)*? K-L)+-+&"->%M)? K-83N)"+,-<OL)+-+&"-P5"QHR"+,-S K-83N)"+,-<O"6T'!<U-">S VWVX +B>)*7+K7YZ5<I6'[)+)*+\5<I-K-7+C7%3N)']3"B>)*"B>)*'B>)*X +B>)*7+K7;^_D)*%&"'()*"+,-4)+35-17#8:<I-K-%&"'()*"+,-7+D9 +B>)*7+K79&"'()*"+,-1#:S +B>)*7+K7&"'()*"+,-4)+35-67#83->%M)<IG`@!)*a +B>)*7+K7 &"'()*"+,-@A=%B=#C7 +B>)*7+K7?&"'()*"+,-U@)64H3 +B>)*7+K7S;^_D)*%&"'()*"+,-54-+: +B>)*7+K7X+,)*G3)+%b)*7+M)-+,)*X +B>)*7+K7a;^_D)*L)+-+&"%c- 49 +B>)*7+K7dYe)*L)+-+&"-P5"f#$99 +B>)*7+K7+B>)*7+K7HIG"@!39 Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 2 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 +B>)*7+K7+B>)*7+K7HBF)**3K-9? +B>)*7+K79+B>)*7+K7-+,)*G3)+g43)T7d +B>)*7+K7+B>)*7+K7K7_D)*-K-L)+-+&"-P5-K-_E:"Q#$%b)*)+54? +B>)*7+K7 Ye)*%&"'()*"+,-"@6)*"5G*3K-X +B>)*7+K7?;^_D)*+h)++i-<I"i5'!a +B>)*7+K7S+B>)*7+K7#^_D)*"5G"+,-%j-+53 d +B>)*7+K7X+B>)*7+K7_e)*L)+-+&"%c- 4 +B>)*7+K7a]3%3N)#$ +B>)*7+K7d+B>)*7+K7_e)*-K-%&"'()*"+,-"@6)*"5G*3K- X +B>)*7+K7;^_D)*8+53"@3k))+["+,-Ul"6)?9 +B>)*7+K7;^_D)*L-+7+m)? no!"#$%I3"j7)m)*-56? 9Ypq?a YT)*Ye)*'krG<I?a YT)*Ye)*'k*3M37+B>)*"@h)+<I+R7+B>)*"@h)+S YT)*9Ye)*'k*3M37+B>)*"@h)+)*+3RG)*4:A)Sa YT)*)*_D)*<U-">"@6)*%I3"6K)-+,)*G3)+%&"'()*"+,-X studdvuX? u Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 3 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Bất Đẳng thức năm 2016” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 4 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 0; 0;a a b b b ≥ ≥ − ≤ ≤ 1. Bất đăng thức Cô – si: Cho n số không âm 1 2 , , , n x x x . Ta có: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x x= = = . Với 2n = , ta có: 1 2 1 2 2 x x x x + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x x= . Với 3n = , ta có: 1 2 3 3 1 2 3 3 x x x x x x + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 x x x= = 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai bộ ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , n n x x x y y y∧ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . n n n n x y x y x y x x x y y y+ + + ≤ + + + + + + Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2 n n x x x y y y ⇔ = = = . 3. Bất đẳng thức Cauchy. ho n số không âm 1 2 , , , n x x x Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 5 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Ta có: 1 2 1 2 . n n n x x x n x x x+ + + ≥ Dấu bằng xảy ra 1 2 n x x x⇔ = = = . 4. Bất đẳng thức Svac-sơ. ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n x x x x x x y y y y y y + + + + + + ≥ + + + với ( ) 1 2 3 , , , 0, 2 n y y y y n> ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 . n n x x x y y y = = = 5. Bất đẳng thức Trê- bư-sép: Nếu ≤≤ ≤≤ CBA cba ⇒ 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ≥ ++ Nếu ≥≥ ≤≤ CBA cba ⇒ 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ≤ ++ Dấu bằng xảy ra khi == == CBA cba II. Một số bất đẳng thức phụ đã được chứng minh là đúng. o xyyx 2 22 ≥+ o xyyx ≥+ 22 dấu( = ) khi x = y = 0 o ( ) xyyx 4 2 ≥+ o 2 ≥+ a b b a o 2 1 1 4 ( , 0) 1 2 ( 0) 1 4 ( , 0) ( ) Khi b c b c b c b khi x b Khi x y bc b c + ≥ > + + ≥ > ≥ > + III. Các tính chất cơ bản. Tính chất 1: a > b <=> b < a Tính chất 2: a > b và b > c => a > c Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 6 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Hệ quả : a > b <=> a - c > b – c a + c > b <=> a > b – c Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b – d Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . IV. Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức. , , , , , a a a b c R a b a b c a c a a c c a b c d R b d b b d d + + > ∀ ∈ + + + + > ⇒ > > ∀ ∈ + V. Các kiến thức về toạ độ vec tơ. Cho hai véctơ ,a b r r (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có | | | | | | (1)a b a b+ ≤ + r r r ur Dấu “=” xảy ra * :a b k a kb + ⇔ ⇔ ∃ ∈ = r r r r Z Z ¡ hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Tổng quát: * 1 1 | | | | ( ) n n i i i i a a n + = = ≤ ∈ ∑ ∑ ur ur ¢ | | | | | | (2)a b a b− ≤ + r r r ur Dấu “=” xảy ra * :a b k a kb − ⇔ ⇔ ∃ ∈ = r r r r Z [ ¡ hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . | |.| | . | |.| | (3)u v u v u v− ≤ ≤ r r r r r r Dấu “=” thứ nhất xảy ra * :a b k a kb − ⇔ ⇔ ∃ ∈ = r r r r Z [ ¡ hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Dấu “=” thứ hai xảy ra * :a b k a kb + ⇔ ⇔ ∃ ∈ = r r r r Z Z ¡ hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 7 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tương tương đương. I. Phương pháp giải: Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức: • 2 2 2 2 ( ) 0a ab b a b + + = + ≥ • 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c + + + + + = + + ≥ Lưu ý: − Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả thiết nhằm áp dụng được điều kiện của giả thiết để chứng minh được bất đẳng thức đó là đúng. − Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó ( 0; 0; 0; 0 )≤ ≥ < > − Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh − Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó − Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để được điều phải chứng minh. II. Một số ví dụ. Ví dụ 1. ∀ x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1 [ ] 0)()()( 222 ≥−+−+− zyzxyx đúng với mọi x;y;z R∈ Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 8 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Vì (x-y) 2 ≥ 0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2 ≥ 0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2 ≥ 0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 ≥ đúng với mọi x;y;z R∈ Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R∈ Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 ≥ 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22 + ≥ + baba ; b) 2 222 33 ++ ≥ ++ cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22 + − + baba = ( ) 4 2 4 2 2222 bababa ++ − + = ( ) abbaba 222 4 1 2222 −−−+ = ( ) 0 4 1 2 ≥−ba Vậy 2 22 22 + ≥ + baba . Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 2 222 33 ++ − ++ cbacba = ( ) ( ) ( ) [ ] 0 9 1 222 ≥−+−+− accbba .Vậy 2 222 33 ++ ≥ ++ cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát 2 21 22 2 2 1 +++ ≥ +++ n aaa n aaa nn Tóm lại các bước để chứng minh A ≥ B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A ≥ B Ví dụ 3: Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1≥ m(n+p+q+1) Giải: 01 4444 2 2 2 2 2 2 2 ≥ +−+ +−+ +−+ +−⇔ m m qmq m pmp m nmn m Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 9 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 01 2222 2222 ≥ −+ −+ −+ −⇔ m q m p m n m (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi =− =− =− =− 01 2 0 2 0 2 0 2 m q m p m n m ⇔ = = = = 2 2 2 2 m m q m p m n ⇔ === = 1 2 qpn m Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : )( 444 cbaabccba ++≥++ Giải: Ta có : )( 444 cbaabccba ++≥++ , 0,, >∀ cba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0)2( )2()2( 0222 222 0222222 0 222 2 22 2 22 2 22 22222 2222222222 2 22 2 22 2 22 222 22 2 2222 2 2222 2 22 222444 222444 ≥−+−+−+−+−+−⇔ ≥−++ −++−++−+−+−⇔ ≥−−− +−++−++−⇔ ≥−−−++⇔ ≥−−−++⇔ acabacbcbcabaccbba abaacba abcaccbacbcbbaaccbba abcacbbca caaccbcbbaba abcacbbcacba abcacbbcacba Đúng với mọi a, b, c. Ví dụ 5: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a ≥+ 4 2 2 b) baabba ++≥++ 1 22 c) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 22222 Giải: a) ab b a ≥+ 4 2 2 abba 44 22 ≥+⇔ 044 22 ≥+−⇔ baa ( ) 02 2 ≥−⇔ ba (BĐT này luôn đúng). Vậy ab b a ≥+ 4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba ++≥++ 1 22 ) )(21(2 22 baabba ++>++⇔ 012122 2222 ≥+−++−++−⇔ bbaababa 0)1()1()( 222 ≥−+−+−⇔ baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba ++≥++ 1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 22222 ⇔ ( ) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 44 22222 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 044444444 22222222 ≥+−++−++−++− cacadadacacababa Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com Cung cấp bởi 123cbook.com 10 [...]... hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 12 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ 1 Phương pháp giải Đây là phương pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã được chứng... a +b a )] 2 Phương pháp 7: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1 Phương pháp: Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 25 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Đây là phương pháp chứng minh BĐT mà các học sinh dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng... Ví dụ 2: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a(2 − a) > 1 b(2 − b) > 1 c(2 − c) > 1 Giải Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 29 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Giả sử các bất đẳng thức sau đều đúng, nhân ba đẳng thức lại ta được a(2 − a)b(2 − c)c(2 − c) > 1 Mà 0 ≤ a(2 − a) = 2a − a2 = 1 − (a... mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh đề A sai và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để kết luận A là đúng Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B đúng, ta giả sử A ≥ B sai, tức là A < B đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều mâu thuẩn từ giả thiết Kết luận A ≥ B đúng Điều Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 28 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài... bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 16 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Chứng minh rằng: p< p −a + p −b + p −c ≤ 3 p (1) Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0 Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2 a b c + + ≥ + + b2 c 2 a 2 b c a Chứng minh rằng: b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3 (*) ab bc ca Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cô sy 1 Phương pháp a/ Với hai số không âm : a,... c+a −b a+b−c Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc + + ≥ 33 (1) b+c−a c+a −b a+b−c (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 18 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 (b + c − a )(c + a − b) ≤ 1 (b + c − a + c + a − b) = c ( 2) 2 Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được (b + c... 1 + tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (a i , bi , , ci )(i = 1,2, , m) Thế thì: m m m m m m (a1 a 2 a m + b1b2 bm + + c1c 2 c m ) 2 ≤ (a1m + b1m + + c1m )(a 2 + b2 + + c 2 )(a m + bm + + c m ) Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 20 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Dấu”=” xảy ra ⇔ ∃ bô... )(1 − z ) CMR: a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 d) Cho x ≥ 0 ,y ≥ 0 thỏa mãn 2 x − y = 1 CMR: x+y ≥ Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 1 5 23 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Phương pháp 6: Bất đẳng thức Bernouli 1 Phương pháp: a)Dạng nguyên thủy: Cho a ≥ -1, 1 ≤ n ∈ Z thì (1 + a ) n ≥ 1 + na Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = 0 n = 1 b) Dạng mở rộng:... Ta có : a + b < a + b + c ⇒ 1 1 a a > ⇒ > (1) a+b a+b+c a+b a+b+c Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 11 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Tương tự ta có : b b c c > (2) , > (3) b+c a+b+c a+c a+b+c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : a b c + + > 1 (*) a+b b+c a+c a a+c < Ta có : a < a + b ⇒ a+b a+b+c b a+b < (5) , Tương tự : b+c... a,b,c >0 thoả mãn Chứng minh rằng: abc > 1 1 1 > > ≥2 1+ a 1+ b 1+ c 1 8 Liên hệ bộ môn: bmtoan.123cbook@gmail.com 26 123cbook.com – Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Giải 1 1 1 b c ≥ 1− + 1− = + 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 1 ac ≥2 1+ a (1 + a)(1 + c) Nhân lại ta được: ; 1 ab ≥2 1+ c (1 + a)(1 + b) Cung cấp bởi 123cbook.com 1 bc ≥2 1+ a (1 + . 123cbook.com 4 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 0; 0;a a b b b ≥ ≥ − ≤ ≤ 1. Bất đăng thức Cô. vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng 123cbook.com 12 123cbook.com– Chuyên đề Bất Đẳng Thức_ Tài liệu luyện thi Quốc Gia năm 2016 Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ. 1. Phương pháp giải. Đây