®Ị thi HSG hun Th¹ch hµ - n¨m häc 2002 - 2003 M«n: To¸n 8 C©u 1 a) Trong ba sè a, b, c cã 1 sè d¬ng, 1 sè ©m vµ 1 sè b»ng 0; ngoµi ra cßn biÕt thªm 2 a b (b c)= − . Hái sè nµo d¬ng, sè nµo ©m, sè nµo b»ng 0 b) Cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc A = x 3 + y 3 + 3xy C©u 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 3 1+ − = b) Gi¶ sư a, b, c lµ ba sè ®«i mét kh¸c nhau vµ a b c 0 b c c a a b + + = − − − Chøng minh r»ng: 2 2 2 a b c 0 (b c) (c a) (a b) + + = − − − C©u 3: Cho tam gi¸c ABC; gäi Ax lµ tia ph©n gi¸c cđa · BAC , Ax c¾t BC t¹i E. Trªn tia Ex lÊy ®iĨm H sao cho · · BAE ECH= . Chøng minh r»ng: a) BE. EC = AE. EH b) AE 2 = AB. AC - BE. EC C©u 4: Cho tø gi¸c ABCD. Tõ A kỴ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t BD t¹i E; tõ B kỴ ®êng th¼ng song song víi AD c¾t AC t¹i F. Chøng minh r»ng: EF // DC híng dÉn gi¶i C©u 1: a) V× 2 a b (b c)= − nªn a ≠ 0 vµ b ≠ 0 v× NÕu a = 0 ⇒ b = 0 hc b = c. V« lÝ NÕu b = 0 ⇒ a = 0. V« lÝ ⇒ c = 0 ⇒ a = b 3 mµ a ≥ 0 víi mäi a ⇒ b > 0 ⇒ a < 0 b) V× x + y = 1 ⇒ A = x 3 + y 3 + 3xy = x 3 + y 3 + 3xy (x + y) = (x + y) 3 = 1 C©u 2: b) Từ a b c + 0 b - c c - a a - b + = ⇒ 2 2 a b c b ab + ac - c = b - c a - c b - a (a - b)(c - a) − + = ⇔ 2 2 2 a b ab + ac - c (b - c) (a - b)(c - a)(b - c) − = (1) (Nhân hai vế với 1 b - c ) Tương tự, ta có: 2 2 2 b c bc + ba - a (c - a) (a - b)(c - a)(b - c) − = (2) ; 2 2 2 c a ac + cb - b (a - b) (a - b)(c - a)(b - c) − = (3) Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm C©u 3: H E x C B A a) Ta cã ∆ BAE ∆ HCE (g.g) ⇒ BE AE BE.EC AE.EH EH EC = ⇒ = (1) b) ∆ BAE ∆ HCE (g.g) ⇒ · · ABE = CHE ⇒ · · ABE = CHA ⇒ ∆ BAE ∆ HAC (g.g) ⇒ AE AB AB.AC AE.AH AC AH = ⇒ = (2) Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : AB. AC - BE. EC = AE.AH - AE. EH ⇔ AB. AC - BE. EC = AE. (AH - EH) = AE. AE = AE 2 C©u 4: Gọi O là giao điểm của AC và BD a) Vì AE // BC ⇒ OE OA = OB OC (1) BF // AD ⇒ OB OF = OD OA (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE OF = OD OC ⇒ EG // CD O F D E C B A . ®Ị thi HSG hun Th¹ch hµ - n¨m häc 2002 - 2003 M«n: To¸n 8 C©u 1 a) Trong ba sè a, b, c cã 1 sè d¬ng, 1 sè ©m vµ 1 sè b»ng 0;. c) − = (2) ; 2 2 2 c a ac + cb - b (a - b) (a - b)(c - a)(b - c) − = (3) Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm C©u 3: H E x C B A a) Ta cã ∆ BAE ∆ HCE (g.g) ⇒ BE AE BE.EC AE.EH EH EC =. AE.AH - AE. EH ⇔ AB. AC - BE. EC = AE. (AH - EH) = AE. AE = AE 2 C©u 4: Gọi O là giao điểm của AC và BD a) Vì AE // BC ⇒ OE OA = OB OC (1) BF // AD ⇒ OB OF = OD OA (2) Nhân (1) với