GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.Vectơ trong không gian: Khái niệm vectơ và những phép toán trên vectơ trong không gian được đònh nghóa hoàn toàn giống như trong hình học phẳng . Sau đây là một số kết quả mà ta thường sử dụng khi giải các bài toán vectơ 1. Quy tắc 3 điểm : , AB AC CB AB CB CA= + = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB , M là một điểm tuỳ ý . Ta có 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur 3. Tính chất trọng tâm của tam giác ABC G là trọng tâm của tam giác ABC 0GA GB GC⇔ + + = uuur uuur uuur r 4. Tích vô hướng: + ( ) . . .cos ,a b a b a b= r r r r r r ; 2 2 a a= r r ; . 0a b ab⊥ ⇔ = r r r r + ,a b r r cùng phương . (k R)a k b⇔ = ∈ r r + A , B , C thẳng hàng , ACAB⇔ uuur uuur cùng phương II. Các vectơ đồng phẳng: 1. Đònh nghóa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng 2. Đònh lý: Cho ba véctơ , ,a b c r r r trong đó ,a b r r không cùng phương , ,a b c r r r không đồng phẳng , :m n c ma nb⇔ ∃ = + r r r 3. Đònh lý 2: Cho ba vectơ không đồng phẳng , ,i j k r r r . Khi đó với mọi vectơ a r ta đều có 1 2 3 a a i a j a k= + + r r r r ( trong đó a 1 , a 2 , a 3 là duy nhất ) TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I.Hệ trục toạ độ Đềcac vuông góc trong không gian Một hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc Ox,Oy,Oz với ba vectơ đơn vò lần lượt là , ,i j k r r r được gọi là hệ toạ độ Đecac vuông góc trong không gian hoạc gọi đơn giản là hệ toạ độ Oxyz Trục Ox,Oy,Oz lần lượt gọi là trục hoành , trục tung , trục cao II. Toạ độ của vectơ 1/ Đònh nghóa Cho hệ toạ độ Oxyz và vectơ a r . Khi đó có duy nhất một bộ 3 số (a 1 ,a 2 ,a 3 ) sao cho 1 2 3 a a i a j a k= + + r r r r . Ta gọi bộ ba số (a 1 ,a 2 ,a 3 ) là toạ độ của vectơ a r .Ký hiệu a r = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) Vậy : a r = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) ⇔ 1 2 3 a a i a j a k= + + r r r r . ( a 1 ,a 2 ,a 3 lần lượt là hoành,tung,cao độ của a r ) Chú ý: (1,0,0) ; j (0,1,0) ; k (0,0,1)i = = = r r r 2/ Tính chất: Cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , b , ,a a a a b b b= = r r . Ta có a) 1 1 2 2 3 3 = b a b a a b a b =   ⇔ =   =  r r b) ( ) 1 1 2 2 3 3 b ; ;a a b a b a b± = ± ± ± r r c) ( ) 1 2 3 ; ;ka ka ka ka= r d) ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;ma nb ma nb ma nb ma nb± = ± ± ± r r e) a r cùng phương 1 1 2 2 3 3 ; ;b a kb a kb a kb⇔ = = = r 3 1 2 1 2 3 a a a b b b ⇔ = = (nếu 1 2 3 , , 0b b b ≠ ) 3/ Tích vô hướng TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 1 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG a) Đònh nghóa: ( ) . . .cos ,a b a b a b= r r r r r r b) Biểu thức toạ độ tích vô hướng : 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b= + + r r c) Hệ quả: + 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r d) + ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , . a b a b a b a b a a a b b b + + = + + + + r r + 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + = r r III. Toạ độ của điểm: 1. Đònh nghóa: Cho hệ toạ độ Oxyz , điểm M và a r . Ta gọi toạ độ của OM uuuur là toạ độ của điểm M . Vậy :bộ ba số (x,y,z) được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M(x,y,z) hay M=(x,y,z) nếu OM uuuur = xi y j zk+ + r r r Chú ý: ( ,0,0) ; M Oy M(0,y,0) ;M Oz M(0,0,z)M Ox M x∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ 2. Đònh lý Cho ( ) ( ) B , , , B x , , A A A B B A x y z y z . Ta có ( ) , , B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − IV. Điểm chia đoạn theo tỉ số k 1. Đònh nghóa: M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB⇔ = uuur uuur 2. Đònh lý: M chia đoạn AB theo tỉ số k 1 1 1 A B M A B M A B M x kx x k y ky y k z kz z k −  =  −  −  ⇔ =  −  −  =  −  3. Hệ quả: M là trung điểm của đoạn AB 2 2 2 A B M A B M A B M x x x y y y z z z +  =   +  ⇔ =   +  =   MẶT CẦU I.Phương trình của mặt cầu Đònh lý 1: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm là I( a,b,c) và bán kính R có phương trình là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 − + − + − =x a y b z c r (1) Đònh lý 2: Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng : 2 2 2 2 2 2 0+ + − − − + =x y z ax by cz d (2) với a 2 +b 2 +c 2 -d>0 là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và có bán kính là r= 2 2 2 + + −a b c d II. Vò trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 − + − + − =x a y b z c r có tâm I(a,b,c) bán kính r và mặt phẳng TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 2 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ( ) α : Ax+By+Cz = 0 . Đặt d= ( ) 2 2 2 , Aa Bb Cc D d I A B C α + + + = + + , ta có + d>R thì ( ) α và (S) không có điểm chung + d=R thì ( ) α tiếp xúc với (S) . Khi đó ( ) α gọi là tiếp diện của (S). + d<R thì ( ) α và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I trên ( ) α và có bán kính là 2 2 r R d= − III. Phương trình của đường tròn trong không gian Trong không gian mỗi đường tròn C(H,r ) là giao tuyến của một mặt cầu S(I,R) với một mặt phẳng ( ) α nên phương trình đường tròn (C) có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 x a y b z c R Ax By Cz D  − + − + − =   + + + =   . DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu Cách giải: + Nếu mặt cầu (S) có dạng : (x – a ) 2 + (y – b ) 2 +( z – c ) 2 = R 2 (1) Thì tâm là I( a , b , c ) ; bán kính là R + Nếu mặt cầu (S)có dạng: x 2 + y 2 +z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2) Thì tâm I(-A , -B ,-C); Bán kính 2 2 2 R A B C D= + + − Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu Cách 1 + Tìm tâm I(a,b.c) và tính bán kính R + Phương trình mặt cầu là (S):(x – a ) 2 + (y – b ) 2 +( z – c ) 2 = R 2 Cách 2 + Gọi (S) có dạng x 2 + y 2 +z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (*) + Từ giả thiết lập một hê gồm 4 phương trình 4 ẩn A ,B , C , D + Giải hệ tìm A ,B ,C ,D . Thay vào (*) ta được kết quả. Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S). Cách giải + Tìm toạ độ tâm I (a,b,c) và tính bán kinh R của (S) + Viết phương trình tiếp diện (P) dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (*) + Dùng điều kiện :(P) tiếp xúc (S) ( , )d I P R⇔ = + Giải tìm các hệ số chưa có . Thay vào (*). Dạng 4: Xác định vị trí tưong đối của mặt phẳng (P) và mặt cầ (S) Cách giải: + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của (S) + Tính d(I, (P) ) Nếu d > R : (P) khơng cắt (S) Nếu d = R : (P) tiếp xúc (S) Nếu d < R : (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn có pt ( ) ( ) ptmc S ptmp P    Dạng 5: Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu Cách giải + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của mặt cầu (S) + Tâm H của đường tròn là hình chiếu của I trên (P). TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 3 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG + Bán kính đường tròn là r = 2 2 R IH− TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG I.Đònh lý : Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , b , ,a a a a b b b= = r r .Ta có a r cùng phương 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a 0 b b b a a a b b b b ⇔ = = = r II. Đònh nghóa tích có hướng: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , b , ,a a a a b b b= = r r Tích có hướng của hai vectơ a r và b r , ký hiệu 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a , ; ; b b b a a a a b b b b     =  ÷     r r III. Tính chất : 1. a r cùng phương với b r , 0a b   ⇔ =   r r r 2. , ; , a b a a b b     ⊥ ⊥     r r r r r r 3. ( ) , . .sin ,a b a b a b   =   r r r r r r 4. 1 , 2 ABC S AB AC ∆   =   uuur uuur 5. , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0a b c   ⇔ =   r r r 6. . ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA   =   uuur uuur uuur 7. 1 , . 6 ABCD V AB AC AD   =   uuur uuur uuur DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm tọa độ vectơ thỏa diều kiện cho trước Cách giải: Dùng cơng thức tính tọa độ : u ma nb pc= + + r r r r Gọi ( , )u x y= r . Từ giả thiết suy ra 2 phương trình 2 ẩn số x, y . Giải tìm x, y. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A , B, C thẳng hàng Cách giải: Chứng minh hai vectơ ,AB AC uuur uuur cùng phương. Dạng 3: Chứng minh 4 điểm A, B ,C , D đồng phẳng( khơng đồng phẳng) Cách giải: Ba vectơ , ,AB AC AD uuur uuur uuur đồng phẳng ⇔ , . 0AB AC AD   =   uuur uuur uuur Ba vectơ , ,AB AC AD uuur uuur uuur khơng đồng phẳng ⇔ ,AC . 0AB AD   ≠   uuur uuur uuur Dạng 4: Tính diện tích tam giác , thể tích tứ diện Cách giải: Dùng cơng thức 1 , 2 ABC S AB AC ∆   =   uuur uuur ; 1 , . 6 ABCD V AB AC AD   =   uuur uuur uuur MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng. 1. Đònh nghóa1: Vectơ 0n ≠ r r gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( ) α .Ký hiệu ( ) n α ⊥ r 2. Đònh nghóa2: Cặp vectơ ,a b r r khác 0 r gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 0n ≠ r r nếu các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) α TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 4 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG 3. Chú ý : + Nếu 0n ≠ r r là VTPT của ( ) α thì . (k 0)k n ≠ r cũng là VTPT của ( ) α + Nếu ( ) α có cặp VTCP là ,a b r r thì vectơ ,a b     r r là một VTPT của ( ) α + Mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh nếu biết một điểm và một VTPT của nó II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : 1/ Đònh lý : Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm M(x,y,z) thoả mãn phương trình dạng : Ax+By+Cz+D = 0 với 2 2 2 0A B C+ + ≠ (1) , và ngược lại , tập hợp tất cả những điểm thoả mãn phương trình (1) là một mặt phẳng . 2/ Đònh nghóa: Phương trình dạng: Ax+By+Cz+D = 0 với 2 2 2 0A B C+ + ≠ (1) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng . 3/ Hệ quả: Nếu ( ) α đi qua điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có VTPT ( ) , ,n A B C= r thì ( ) α có phương trình là ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 3/ Chú ý : Nếu ( ) α : Ax+By+Cz+D = 0 thì ( ) , ,n A B C= r là một VTPT của ( ) α III. Các trường hợp riêng: Giả sử ( ) α : Ax+By+Cz+D = 0 1. Nếu D = 0 thì ( ) α đi qua gốc toạ độ O 2. Nêu A = 0 , B ≠ 0 và C ≠ 0 thì ( ) α chứa hoặc song song với trục Ox Nếu A ≠ 0 , B = 0 và C ≠ 0 thì ( ) α chứa hoặc song song với trục Oy. Nếu A ≠ 0 , B ≠ 0 và C = 0 thì ( ) α chứa hoặc song song với trục Oz 3. Nếu A=B = 0 ≠ C thì ( ) α song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy 4. Nếu ( ) α đi qua ba điểm A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) với abc ≠ 0 thì ( ) α : 1 (*) x y z a b c + + = (*) gọi là phương trình theo đoạn chắn của ( ) α . IV. Vò trí tương đối của hai mặy phẳng Cho hai mặt phẳng : ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D α β + + + = + + + = Khi đó : 1 1 1 2 2 2 ( , , ) ; n ( , , )n A B C A B C α β = = uur uur lần lượt là các VTPT của ( ) α và ( ) β .Ta có + ( ) α cắt ( ) β , nn α β ⇔ uur uur không cùng phương 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C⇔ ≠ + ( ) α song song ( ) β 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = ≠ + ( ) α trùng ( ) β 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = = V. Chùm mặt phẳng : (đọc thêm SGK) 1. Đònh nghóa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng ( ) γ qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β được gọi là một chùm mặt phẳng. 2.Đònh lý: Cho hai mặt phẳng : ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D α β + + + = + + + = cắt mhau TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 5 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β đếu có phương trình dạng: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 (*) (m 0)m A x B y C z D n A x B y C z D n+ + + + + + + = + ≠ Ngược lại: mỗi phương trình dạng (*) đều là phương trình của mặt phẳng đi qua giao tuyến của ( ) α và ( ) β DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) Cách giải: + Tìm một điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) và một VTPT ( ) , ,n A B C= r của (P) + Phương trình của (P) là A(x – x 0 ) + B( y – y 0 ) + C( z – z 0 ) = 0 Chú ý: Để tìm VTPT của (P) ta có thể dùng một trong các trường hợp sau: + Mặt phẳng (P) có cặp VTCP là ,a b r r thì VTPT của (P) là ,n a b   =   r r r + Hai mặt phẳng song song thì có VTPT bằng nhau + Hai mặt phẳng vng góc nhau thì các VTPT của chúng vng góc nhau + Mặt phẳng vng góc với đường thẳng thì VTPT của (P) là VTCP của đường thẳng. + Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) có pt là : 1 x y z a b c + + = + Pt (Oxy) là z = 0 ; Pt (Oxz) là y = 0 ; pt(Oyz) là x = 0. + Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của hai mặt phẳng cắt nhau (P) : Ax + By + Cz + D = 0 , (Q) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 là m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (m 2 + n 2 > 0) Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) : Ax +By +Cz +D = 0 , (Q) : A’x + B’y +C’z +D’= 0 Cách giải: + (P) cắt (Q) ' ' ' ' ' ' A B A C B C A B A C B C ⇔ ≠ ∨ ≠ ∨ ≠ (VTPT (P), (Q) khơng cùng phương) ( )//( ) ' ' ' ' ( ) ( ) ' ' ' ' A B C D P Q A B C D A B C D P Q A B C D + ⇔ = = ≠ + ≡ ⇔ = = = ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I.Phương trình tổng quát của đường thẳng 1. Đònh lý: Trong khong gian Oxyz , mỗi đường thẳng là tập hợp tất cả các điểm M(x,y,z)thoả hệ phương trình 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  (1) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 : : : : ; A 0 ; A 0A B C A B C B C B C≠ + + ≠ + + ≠ (2). Ngược lại : Tập hợp các điểm thoả mãn (1) với ĐK (2) là một đường thẳng. 2.Đònh nghóa: Hệ phương trình (1) với điều kiện (2) là phương trình tổng quát của đường thẳng II. Phương trình tham số của đường thẳng. 1.Đònh nghóa: TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 6 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Vectớ 0a ≠ r r được gọi là VTCP của đường thẳng (d) nếu đường thẳng chứa a r song song hay trùng với (d). 2.Đònh lý: Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có VTCP a r =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) Có phương trình tham số là : 0 1 2 2 2 0 2 1 2 3 0 3 ( ) : (2) (t R; a 0) x x a t d y y a t a a z z a t = +   = + ∈ + + ≠   = +  III. Phương trình chính tắc của đường thẳng. Đònh lý: Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có VTCP a r =(a 1 ,a 2 ,a 3 ) có phương trình chính tắc là (d): 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = (3) Với quy ước : 1 2 3 : 0, 0; 0Nếu a hoặc a hoặc a≠ ≠ ≠ thì phương trình chính tắc không tồn tại. IV. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. 1. Vò trí tương đối của hai đường thẳng Cho 2 đường thẳng (d) qua M 0 có VTCP là a r và (d’) qua M / 0 có VTCP là 'a uur . Khi đó: a) (d)và (d’) đồng phẳng / 0 0 , ' . 0a a M M   ⇔ =   uuuuuur r uur b) (d) và (d’) cắt nhau / 0 0 , ' . 0 ' a a M M a ka    =    ⇔   ≠  uuuuuur r uur r uur c) (d) và (d’) song song / 0 0 ' a kM M a la  ≠  ⇔  =   uuuuuur r r uur d) (d) và (d’) trùng nhau / 0 0 ' a kM M a la  =  ⇔  =   uuuuuur r r uur e) (d) và (d’) chéo nhau / 0 0 , ' . 0a a M M   ⇔ ≠   uuuuuur r uur Chú ý : Ta có thể xét vò trí của (d) và (d’) như sau: Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm của (d) và (d’) : + Nếu hệ có một nghiệm duy nhất (x 0 ,y 0 ,z 0 ) thì (d) và cắt (d’) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d) và (d’) trùng nhau + Nếu hệ vô nghiệm và a r cùng phương với 'a uur thì (d) song song với (d’). + Nếu hệ vô nghiệm và a r không cùng phương với 'a uur thì (d) và (d’) chéo nhau. 2.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) có VTCP ( , , )a a b c= r và mặt phẳng ( ): 0Ax By Cz D α + + + = có VTPT là n r (A,B,C). Khi đó ta có : a) (d) cắt ( ) α . 0 0a n Aa Bb Cc⇔ ≠ ⇔ + + ≠ r r b) (d) song song ( ) α 0 0 0 0 0 . 0 0 ( ) Aa Bb Cc a n Ax By Cz M α  + + =  =  ⇔ ⇔   + + ≠ ∉    r r c) (d) nằm trên ( ) α 0 0 0 0 0 . 0 0 ( ) Aa Bb Cc a n Ax By Cz M α  + + =  =  ⇔ ⇔   + + = ∈    r r d) (d) vuông góc với ( ) α : : : :n ka A B C a b c⇔ = ⇔ = r r Chú ý : Ta có thể xét vò trí tương đối của (d) và ( ) α như sau: Xét hệ phương trình toạ độ giao điểm của (d) và ( ) α : TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 7 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG + ( ) ( ) d α ⇔P Hệ vô nghiệm + ( ) ( ) d α ⊂ ⇔ Hệ có vô số nghiệm + (d) cắt ( ) α ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Cách 1 + Tìm một điểm M(x 0 , y 0 , x 0 ) và một VTCP ( ) , ,u a b c= r + Phương trình tham số là : 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  + Phương trình chính tắc là : 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = + Phương trình tổng qt là : 0 0 0 0 x x y y a b x x z z a c − −  =    − −  =   Cách 2: + Tìm hai mặt phẳng phân biệt (P) :Ax + By + Cz + D = 0 , (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 chứa đường thẳng cần tìm + Phương trình đường thẳng phải tìm là : Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0    Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vng góc của (d) trên mp(P) Cách giải: + Lập phương trình mp(Q) chứa (d) và vng góc (P). + Phương trình của (d’) là ( ) ( ) ptmp P ptmp Q    Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và vng góc với 2 đường thẳng(d’) và (d’’) Cách giải: + Tìm VTCP ', ''u u ur uur của (d’) và (d”) + (d) là đường thẳng đi qua M và có VTCP là : ', ''u u u   =   r ur uur Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả 2 đường thẳng (d’), (d”) Cách giải + Lập pgương trình mặt phẳng (P) đi qua M và chứa (d’) + Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d’’) + (d) có phương trình tổng qt là (d) : ( ) ( ) ptmp P ptmp Q    Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d 1 ) cắt 2 đường thẳng(d 2 ) và (d 3 ) Cách giải: + Lập phương trình mp(P) song song (d 1 ) và chứa (d 2 ) + Lập phương trình mp(Q) song song (d 1 ) và chứa (d 3 ) + Đường thẳng (d) có pt tổng qt là ( ) ( ) ptmp P ptmp Q    Dạng 6: Viết phương trình đường vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.(d) và (d’) TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 8 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Cách 1: + Tìm các VTCP của (d) ,(d’) : , ' , 'u u n u u   ⇒ =   r ur r r ur + Lập pt mp(P) chứa (d) và có cặp VTCP là r r ; un + Lập pt mp (Q) chứa (d’) và có cặp VTCP là r ur , u'n + Đường vng góc chung có pt tổng qt là : ( ) ( ) ptmp P ptmp Q    Cách 2: + Tìm các VTCP của (d) ,(d’) : , 'u u r ur + Viết pt tham số của (d) , (d’) + Gọi M , M’là 2 điểm lần lượt thuộc (d) , (d’). Toạ độ M , M’ tính theo tham số t , t’ + MM’ là đường vng góc chung '. 0 '. ' 0 MM u MM u  =  ⇔  =   uuuuur r uuuuur ur .Giải hệ tìm t và t’ + Đường thẳng vng góc chung là đường thẳng MM’ Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M , vng góc đường thẳng (d 1 ) và cắt (d 2 ) Cách giải: + Lập phương trình mp(P) đi qua M và vng góc (d 1 ) + Lập phương trình mp(Q) đi qua M và chứa (d 2 ). + Đường thẳng (d) có phương trình là ( ) ( ) ptmp P ptmp Q    Dạng 8: Viết pt đường thẳng (d) đi qua M vng góc và cắt đường thẳng (d 1 ) Cách giải: + Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vng góc của M trên (d 1 ) + Đường thẳng (d) chính là đường thẳng MM’. Dạng 9: Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên mp(P) Cách giải + Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vng góc mp(P) + Giải hệ pgương trình ( ) ( ) pt d pt P    ta được toạ độ điểm M’ Dạng 10: Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên đường thẳng (d). Cách giải + Lập phương trình mp(P) đi qua M và vng góc với (P) + Toạ độ của M’ là nghiệm của hệ ( ) ( ) pt d pt P    Dạng 11: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng M qua mp(P) Ccáh giải + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P) + M’ đối xứng với M qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM’ ⇔ ' ' 2 2 M H M M H M x x x y y y = −   = −  + M’(x m ,y m ) là điểm phải tìm Dạng 12 Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đ/ thẳng (d). Cách giải + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (d TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 9 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG + M’ đối xứng M qua (d) ⇔ H là trung điểm MM’ ⇔ ' ' 2 2 M H M M H M x x x y y y = −   = −  KHOẢNG CÁCH I.Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng ( ) α : Ax+By+Cz = 0 và một điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) . Khoảng cách từ M 0 đến ( ) α là ( ) 0 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C α + + + = + + II.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ( ) ∆ đi qua điểm M 0 có VTCP a r . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến ( ) ∆ là ( ) ( ) 0 , , M M a d M a     ∆ = uuuuuur r r Chú ý : Ta có thể tìm hình chiếu H của M trên ( ) ∆ . Khi đó d(M, ( ) ∆ ) = MH. III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho hai đường thẳng chéo nhau : ( ) ∆ đi qua M 0 và có VTCP a r ; ( ) '∆ đi qua / 0 M có VTCP b r Khi đó khoảng cách giữa ( ) ∆ và ( ) '∆ là : d ( ) / 0 0 , . , ' , a b M M a b     ∆ ∆ =     uuuuuur urr r r GÓC I.Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 : ; : x x y y z z x x y y z z a a a b b b − − − − − − ∆ = = ∆ = = Lần lượt có VTCP là ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; b , ,a a a a b b b= = r r . Ta có ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos , cos , . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b + + ∆ ∆ = = = + + + + r r r r r r Chú ý : ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b∆ ⊥ ∆ ⇔ + + = II. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho mặt phẳng ( ) α có VTPT ( ) , ,n A B C= r và đường thẳng ( ) ∆ có VTCP a r =(a 1 ,a 2 ,a 3 ).Ta có ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 . sin , cos , . . n a Aa Ba Ca n a n a A B C a a a α + + ∆ = = = + + + + r r r r r r Chú ý : ( ) ( ) α ∆ P hay ( ) ( ) 1 2 3 0Aa Ba Ca α ∆ ⊂ ⇔ + + = III. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng : ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 ; : 0A x B y C z D A x B y C z D α β + + + = + + + = Gọi ϕ là góc giữa ( ) α và ( ) β ( ) 0 0 0 90 ϕ < < . Ta có TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 10 [...]... mp(P) đi qua G và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng ( α ) Suy ra Pttq: −2 x + 9 z + 26 = 0  y = 0  x = 4 + 9t  , Ptts:  y = 0  z = −2 + 2 t  Bài 20: Viết phươmg trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: trên mặt phẳng (P): x+y+z-7=0 Đáp số : −2 x − y + 3z − 1 = 0  x + y + z − 7 = 0 TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 14 Ptct: x−4 y z+2 = = 9 0 2 2 x − y + z + 5 = 0  2 x −... kính AB 2) Viết phương trình những tiếp diện với mặt cầu và chứa Ox Tính toạ độ các tiếp điểm Đáp số: 1) (x+2)2+(y+1)2+(z-3)2=9 TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 20 2) z=0 , 3y-4z=0 ; (-2;-1;0) , (-2; 4 3 ; ) 5 5 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 21 TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ... Oxyz cho 2 đường thẳng : ∆ :  y = 2 + t  z = −2 − 2 t  1) Chứng tỏ rằng ∆ vµ ∆' chÐo nhau 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của ∆ vµ ∆' 3) Tính khoảng cách giữa ∆ vµ ∆' TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 13 x=2+t'  ∆': y=1-t' z=1  GV: NGUYỄN VĂN KHỎI Đáp số: 2) TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG x = t  y = 1 + t z = t  3) 3 x-my+z-m=0 (1) ∆ m cã pt:  mx+y-mz-1=0 (2) ∆ m CMR gãc... 4x+2y-7z-22=0 Bài 18: Viết phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) và vuông góc mp: 2x-z+1=0 Đáp số: Ptts:  x = 2 + 2t   y = −1 z = 1 − t  Ptct: Bài 19: 1) Xác đònh giao điểm G của 3 mặt: x − 2 y +1 z −1 = = 2 0 −1 , Pttq: y + 1 = 0  − x − 2 z + 4 = 0 (α) : 2 x − y + z − 6 = 0,(α ') : x + 4 y − 2 z − 8 = 0,(α '') : y = 0 2) Viết pt tham số , chính tắc ,... 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;1;1) , B(3;1;2) , C(0;-1;-4) 1) CMR : ba điểm A,B,C không thẳng hàng và tính diện tích tam giác ABC 2) Tính thể tích tứ diện OABC Hứơng dẫn: TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 11 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG uu u u ur ur 1) CM 2 véc tơ AB , AC cïng ph ¬ng ur ur 1  u u u u 17 2) S = AB, AC  = 2 2 uu uu uu 5 ur ur ur 1  3) V = OA, OB... + =1 3) 2a 2b 2c 4) ax+ by+cz-1=0 Bài 31: Tìm pt chính tắc của đường thẳng đi qua điểm ( 1;4;-2) và song song với đường thẳng : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0  3 x − 5 y − 2 z − 1 = 0 TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 15 Đáp số : x = 1 + t   y = 4 + 3t  z = −2 − 6t  GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Bài 32: Lập pt tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x+3y-z=0 và vuông góc... M(-2;-3;2), N(1;5;5) , P(-6;2;5) 1) Tìm phương trình của (D) và (D’) 2) Tính góc giữa (D) và ( ∆ ) Đáp số: 2 y + z = 0 4x-5y-3z+24=0 ( D) :  (D'):  x + 5 y + 7z − 8 = 0 3x+8y+3z-17=0 TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 16 , và (D’) là GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Bài 39:Xác đònh góc giữa đường thẳng Đáp số: arcos  x + 4 y − 2z + 7 = 0  3 x + 7 y − 2 z = 0 và mặt phẳng 3x+y-z+1=0... = 0 2) 1) Tìm phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d1 và d2 2) Tìm phương trình tổng quát của đường vuông góc chung của d1 và d3 Đáp số: 1) x −7 y −3 z −9 = = 2 1 4 TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 17 2) −11x + 8 y + 5 z + 8 = 0  − x + 3 y − 3 = 0 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG Bài 45: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d x − 2 y + 2 z −1 =... phẳng (P): x+y-z+k=0 3) Tìm toạ độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;14) và N(2;-1;5) và viết phươnh trình các mặt tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó Đáp số: TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 18 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG 1) Tâm (1;2;3) , bán kính R= 14 k < 42 ⇒ ( P ) c¾t (S) k = 42 ⇒ ( P) lµ tiÕp diƯn cđa (S) 2) k > 42 ⇒ ( P) kh«ng c¾t (S) 3) Giao điểm... , B(2;3;1) , C(-2;2;2) , D(1;-1;2) 1) CMR: ABCD là tứ diện có 3 mặt vuông 2) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số: 1) Chứng minh các cặp vetơ tạo từ 4 điểm vuông góc TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 19 2 + ( x + 3) 2 = 9 suy ra có 2 mặt cầu ) =(6+ 15 ) = ( 6 − + y 2 + z − 6 − 15 + y2 c ) ) 15 ) 15 2 2 và GV: NGUYỄN VĂN KHỎI 2 2) TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG 2 2 1  3  5  27  x− . = r 3 1 2 1 2 3 a a a b b b ⇔ = = (nếu 1 2 3 , , 0b b b ≠ ) 3/ Tích vô hướng TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 1 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG a) Đònh nghóa: ( ) . . .cos. ) 2 2 2 2 − + − + − =x a y b z c r có tâm I(a,b,c) bán kính r và mặt phẳng TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 2 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ( ) α : Ax+By+Cz = 0 . Đặt. kính R của mặt cầu (S) + Tâm H của đường tròn là hình chiếu của I trên (P). TÓM TẮT HÌNH HỌC CHƯƠNG III (12) trang 3 GV: NGUYỄN VĂN KHỎI TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG + Bán kính đường tròn là r