Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng đạo hàm trong toán kinh tế tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
CHUÛ ÑEÀ: CHUÛ ÑEÀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ Mã Môn Học: MAT101 Nhóm: 03 DANH SÁCH THÀNH VIÊN DQT103387 Hà Bảo Anh DQT103388 Huỳnh Ngọc Lan Anh DQT103389 Huỳnh Thị Xuân Anh DQT103390 Nguyễn Lê Minh Anh DQT103391 Nguyễn Cao Duy Ân DQT103392 Phan Bảo Ân DQT103393 Lê Thị Ngọc Bích DQT103395 Đỗ Minh Chánh DQT103396 Phan Thị Minh Châu DQT103397 Trần Thị Chi DQT103398 Lê Thiện Chí DQT103399 Ngô Văn Công DQT103400 Nguyễn Hoàng Cung DQT103402 Trần Võ Quốc Cường DQT103403 Hồ Thị Mỹ Danh DQT103404 Lưu Văn Dợn DQT103405 Đặng Thị Thúy Duy DQT103406 Trình Ngọc Duy DQT103407 Phạm Thị Thanh Duyên DQT103408 Huỳnh Anh Dũng DQT103409 Nguyễn Phước Dư DQT103410 Nguyễn Thị Thùy Dương DQT103411 Nguyễn Thị Thùy Dương DQT103413 Võ Thanh Đào DQT103414 Nguyễn Thanh Đạt DQT103416 Vũ Trường Giang DQT103417 Nguyễn Hồ Hải DQT103419 Lou Anh Hào DQT103421 Dương Thị Thanh Hằng DQT103423 Trần Thị Kim Hằng DQT103631 Nguyễn Thị Gọn M M 0 (T) ϕ ϕ A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I. Cơ sở lý thuyết 1. Một số kết quả trong toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b) )()( :),(),,( o oo xfxffy xxxbaxbax −=∆=∆ −=∆∈∀∈ Đạo hàm của f tại x o là: o o xxox o o xx xfxf x y dx xdf xf o − − = ∆ ∆ == →→∆ )()()( )(' limlim b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong: y (C) y 0 + y∆ y 0 N 0 x 0 x 0 + x ∆ x Cho y = f(x) có đồ thị là đường cong (C), x o ∈ D: miền xác định của hàm số - Gọi ϕ là góc nghiêng của đường thẳng M o M so với trục Ox - Gọi α là góc nghiêng của tiếp tuyến M o T so với trục Ox Ta có: x y NM MN tg o ∆ ∆ == ϕ Khi ⇒→⇒→∆ 0 0 MMx đường thẳng (M o M) đến vị trí tiếp tuyến MT αϕ →⇒ ααϕ αϕ =⇔== ∆ ∆ →→∆ )(' 0 0 limlim xftgtg x y x Ta kết luận: Đạo hàm của y = f(x) tại x o là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M o (x o, y o ) Và )(' o xf là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại M o (x o, y o ) c. Vi phân của hàm số α y = f(x) là dy = df = dxxf )(' d. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b) ⊂ R, khi đó: ⇒∈∀> ),(,0)(' baxxf hàm số tăng ⇒∈∀< ),(,0)(' baxxf hàm số giảm ⇒∈∀= ),(,0)(' baxxf f là hàm hằng e. Cực trị của hàm số Cho y = f(x), xác định trên (a,b) - Điểm cực trị địa phương x 0 ∈ (a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại), hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu). - Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 ∈ (a,b) và tại x 0 hàm f có đạo hàm. Thì 0)(' 0 =xf - Điều kiện đủ: cho y = f(x), có )(' xf trên (a,b) ⊂ R. Giải 0)(' =xf , ta tìm được các nghiệm x 0 , x 1 ,… gọi là các điểm tới hạn. Nếu: + Tại x 0, )(' xf đổi dấu từ + sang – thì f có cực đại + Tại x 0, )(' xf đổi dấu từ - sang + thì f có cực tiểu + Nếu )(' xf không đổi dấu thì hàm f không có cực trị - Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2: + Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2 + Nếu tại x 0 ta có )(' 0 xf =0 và 0)('' ≠xf thì hàm số đạt cực trị tại x 0 x 0 là điểm mà f đạt cực đại nếu 0)('' 0 <xf x 0 là điểm mà f đạt cực tiểu nếu 0)('' 0 >xf 2. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế x: biến độc lập hay biến đầu vào y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có: x y xf x ∆ ∆ = →∆ lim 0 0 )(' khi x∆ đủ nhỏ, ta có thể viết: xxfxfxxfy xf x xfxxf x y ∆=−∆+=∆⇔ = ∆ −∆+ = ∆ ∆ ).(')()( )(' )()( 000 0 00 Khi )('1 0 xfyx =∆⇒=∆ Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y, khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi )(' 0 xf là giá trị biên tế y tại x 0 (còn gọi là biên tế) Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng: Thí dụ: a. Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì dQ dTR được gọi là doanh thu biên tế b. Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng thì dx df dx dTC = :chi phí biên tế c. Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động thì dL df dL dQ = sản lượng biên tế II. Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh 1. Bài toán giá trị biên a. Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị. Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là: Q = f(L) = 5 L L: số công nhân Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 công nhân thì Q = 5 100 = 50 đơn vị sản phẩm. Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là: 5 2 100 dQ dL = f’(L) = 5 2 L = 5 2 100 = 0.25 khi L = 100 Điều này có nghĩa là: khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100 101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm. Thử xét: Nhận xét: MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí. MQ L 100 110 120 150 200 400 1.000 MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079 0.25 0.17 0.12 100 200 400 Thí dụ 2 : Giả sử hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp may mặc: Q= f(L) = 5 + 7 L:số công nhân Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân thì Q= 355 dơn vị sản phẩm. Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là: = f’(L) = = = 0.07 khi L= 2500 Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm . b. Sự thay đổi của giá theo cầu: Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị. Thí dụ 1: Hàm cầu của một sản phẩm: P = 10 – Q 2 , Q là sản lượng, P là giá bán. Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q. Gỉa sử ở mức Q = 5 đơn vị thì P’(5) = -10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên 1 đơn vị (từ 5 lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ. Thí dụ 2: Giả sử 1 shop cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo :P= 8 -2Q 2 , Q là sản lượng , P là giá bán. Sự thay đổi của giá theo lượng cầu :P’ = -4Q. Giả sử ở mức Q= 10 đơn vị thì P’(10) =-40 nghĩa là khi tăng sản lượng một đơn vị thì giá giảm 40 đơn vị tiền tệ . c. Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC: Hàm chi phí: TC = TC(Q) Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1đơn vị. Thí dụ 1: Hàm chi phí một sản phẩm được cho là: TC = 0.0001Q 3 – 0.02Q 2 + 5Q + 100 Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 đơn vị sản lượng ? dTC dQ = d dQ (0.0001Q 3 – 0.02Q 2 + 5Q + 500) =0.0003Q 2 – 0.04Q + 5 Khi Q = 50, thì MC = 3.75 Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ. Chúng ta tính MC ở một số mức sản lượng khác nhau: Q 30 40 50 60 70 80 90 MC 4.07 3.88 3.75 3.68 3.67 3.72 3.83 Q 100 120 150 180 200 300 500 MC 4 4.52 5.75 7.52 9 20 60 Nhận xét: -Chi phí biên là một hàm tăng -Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn. 30 200 300 4.07 9 2 0 d. Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị. Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị. Ví dụ1: Cho hàm chi phí C =C(Q). giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi Q tăng lên một đơn vị. Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là: C = 0.0003Q 2 - 0.001Q + 3 + 200 Q Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q.giá trị cận biên của chi phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất Q =70. Giải: Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C =Q. C =0.0003Q 3 -0.001Q 2 +3Q+200 Gía trị cận biên của chi phí là: MC(Q) = dC dQ =0.0009Q 2 -0.002Q +3 Khi Q =70 thì MC(70) =7,72.Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71 thì chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị. Ví dụ 2: Một sản phẩm có hàm cầu là Q=1000-14P, Q là sản lương, P là giá bán.tìm doanh thu biên khi P=10,50. Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P 2 Có : MR= 1000 – 28P Với P=10, ta có MR=720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ. Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ. Thí dụ 3: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q= 1.000 - 14P, Q là sản lượng, P là giá bán. Tìm MR khi P = 40 và P = 30 Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P 2 MR = 1.000 – 28 P *Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120 Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ giảm 120 đơn vị tiền tệ. *Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160 Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ tăng 160 đơn vị tiền tệ. Ta tính MR ở một số mức khác nhau: P 30 32 34 35 35.5 36 38 40 MR 120 104 48 20 6 -8 -64 -120 Nhận xét: - MR là một hàm số giảm, - Có một mức giá MR = 0. 0 Cũng với thí dụ này Q = 1000 – 14P, chúng ta có thể tính một cách khác 14P = 1.000 – Q P = 1.000 14 Q− , khi đó doanh thu là TR = PQ = 1.000 14 Q Q − ÷ = 2 1.000 14 Q Q− MR = 2 2 d TC dP dTR dQ = 1.000 2 14 Q Q− ÷ đo lượng thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. MR ở một số mức sản lượng như sau: Q 200 300 400 500 600 700 800 MR 42.8 28.5 14.9 0 -14.9 -28.5 -42.8 Nhận xét: - MR là một hàm số giảm, - Có một mức sản lượng MR = 0 MR -120 30 40 P 120 e. Lợi nhuận biên Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)), Trong đó: - TR là hàm doach thu; - TC là hàm chi phí; - FC là định phí, VC(Q) là biến phí. Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thê một đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị. Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn: Cách 1: Gía bán P được xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng sản xuất Q. Giả định π là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2. Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện: (1) d dQ π = d dQ (TR-TC) = dTR dQ - dTC dQ = MR – MC = 0 (2) 2 2 d dQ π = 2 2 d dQ (TR – TC) < 0 Từ (1) MR = MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên Từ (2) 2 2 d TR dQ < 2 2 d TC dQ . Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng. Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường. π = TR – TC d dP π = d dP (TR – TC) = dTR dP - dTC dP = 0 dTR dP = dTC dP (1) 2 2 d dP π = 2 2 d dP (TR – TC)<0 2 2 d TR dP < 2 2 d TC dP 42.8 MR -42.8 800 Q 200 500 Ta có: π cực đại tại MR = MC. f. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần : Xét hàm mục tiêu y = f(x) x : yếu tố đầu vào; y: yếu tố đầu ra Qui luật lợi ích cận biên giảm dần ( the law of diminishing returns) cho biết : Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là : f’’(x) < 0 Ví dụ : Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau : Hàm cầu là P = 600 – 2Q Hàm chi phí là TC = 0,2Q 2 + 28Q +200 a) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu? b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu? Câu a : Có 2 cách giải quyết Cách 1: Hàm doanh thu : TR = PQ = (600 – 2Q)Q = 600Q -2Q 2 Hàm lợi nhuận là : π = TR – TC = - 2,2Q 2 + 572Q – 200 Để π đạt tối đa thì : 2 2 4,4 572 0 130 4,4 0 d Q dQ Q d dQ π π = − + = ⇒ = = − < đơn vị sản lượng Khi đó giá bán trên thị trường là : P = 600 – 2.130 = 340 đv tiền tệ Lợi nhuận đạt được là: – 37.180 + 74.360 – 200 = 3698 đơn vị tiền tệ. Nhớ rằng chúng ta có thể tìm Q = π đạt giá trị cực đại ⇔ MR = MC ⇔ 600 – 4Q = 0,4Q + 28 ⇒ 600 28 130 4,4 Q − = = Cách 2: Từ P = 600 – 2Q ⇒ Q = 300 2 P − TR = PQ = (300 2 P − )P = 300P - 2 2 P ⇒ MR = 300 – P TC = 0,2 2 2 300 28(300 ) 200 0,05 74 26.600 2 2 P P P P P − + − + = − + ⇒ MC = 0,1P - 74 MR = MC ⇒ 300 – P = 0,1P – 74 ⇒ P = 374 340 1,1 = P = 340 đơn vị tiền tệ để lợi nhuận đạt được tối đa. Khi đó [...]... × = −0,923 dP QD 130 B ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN I Cơ sở lí thuyết 1 Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng Hữu dụng – U (Utility) : là sự thỏa mãn của một người cảm nhận được khi tiêu dùng một loại sản phẩm hay dịch vụ Tổng hữu dụng – TU ( Total Utility) : tổng mức thỏa mãn đạt được khi tiêu thụ một số lượng sản phẩm hay dịch vụ trong một đơn vị thời gian Hữu dụng biên tế - MU (Marginal Utility)... đổi trong tổng hữu dụng khi thay đổi một đơn vị sản phẩm tiêu dùng trong mỗi đơn vị thời gian (với điều kiện các yếu tố khác không đổi) Nhớ : Trên đồ thị thì MU chính là độ dốc của đường biểu diễn TU ∆TU ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục) ∆Qx dTU MUx = ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục) dQx MUx = Với hàm nhiều biến, thì hàm hữu dụng được cho là : U = U (x1, x2,…, xn ) dU : Hữu dụng biên tế. .. MUi = : Biểu diễn mức độ hữu dụng thay đổi khi người tiêu dùng sử dụng thêm ∂xi Thì Ui = một đơn vị sản phẩm thứ i Quy luật dụng ích biên tế giảm dần : Cho : U = f(x1, x2,…, xn ) Trong đó : U : Dụng ích x1, x2,…, xn : các sẩn phẩm dần được mô tả bằng công thức : d2 f ≤ 0, dxi2 ∀i = 1, n Thí dụ: Cho hàm dụng ích của một bé như sau : D = f(t,c) Trong đó: t: Thịt , c: Cá U : là dụng ích của bé khi tiêu thụ... nhuận: LN(Q) =TR – TC - t(Q) Từ đây ta ứng dụng các nguyên lí tính toán trong đạo hàm sẽ cho kết quả Ví dụ : Một doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí cầu tương ứng như sau : TC=Q2+1000Q+50 Qd = 2000 – P a) Xác định thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để CP có thể thu nhiều thuế nhất Giải : Gọi Q(t) là mức sản lượng của công ty là cho lợi nhuận của công ty tối đa tương ứng với mức thuế t Ta sẽ đi tìm Q(t)... 77.8770 MC = 10 = = 0,18 ≈ 18% 1.690.000 1.690.000 Do đó MS = 100% - 18% = 82% j Một số bài toán khác ứng dụng đạo hàm: * BÀI TOÁN THUẾ DOANH THU Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa Biết hàm cầu của xí nghiệp về loại hàng hóa này là Qd=Qd(P) và hàm tổng chi phí của xí nghiệp là TC=TC(Q) Hãy xác định mức thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều... thêm một đơn vị sản phẩm 3 Độ co giãn của một hàm số a Độ co dãn của một hàm số Cho hàm số: y = f(x), xác định trên (a,b) Muốn biết sự thay đổi của y phụ thuộc vào biến x như dy ∆y thế nào người ta xét đến hay dx ∆x Trong quản trị kinh doanh, tỷ số trên nhiều khi không cho nhà quản trị thấy rõ mối liên hệ giữa hai biến kinh tế x và y Thí dụ: Xét hàm cầu Q = f(q), cầu theo giá ∆Q Với ∆Q = 10 và ∆p... đề này, các nhà kinh tế định nghĩa: b Định nghĩa độ co dãn của hàm số Cho y = f(x), xác định, liên tục, có đạo hàm trên (a,b) Độ co dãn của hàm dược ký hiệu là E và bằng: dy x y dy x dy x E= = = = f '( x) dx y dx dx y y x Nhận xét rằng: Nếu ta thay: x1= α x và β y thì: x1 dy1 α x d β y α x β dy x dy = = = y1 dx1 α y dα x β y α dx y dx Như vậy độ co dãn của hàm số phụ thuộc vào x và y c Hàm cầu biểu diễn... p → 0 ∆p ∆p QD ∆p dQD p p = f '( p ) Thì ED = dp QD QD d Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Qs = G(p) Qs = G(p), cung được tính theo giá Định nghĩa: Hệ số co dãn của cung theo giá là số đo thay đổi phần trăm của cung khi giá tăng 1% dQs Q dQs p p Es = s = = g '( p ) dp dp Qs Qs p • Vd: ứng dụng trong kinh tế về hệ số co dãn Vd1: cho hàm cầu Q= 60P2+12P-24 Tìm hệ số co dãn tại điểm P=5 Giải:... sinh viên này đạt dụng ích tối đa khi xem ca nhạc 4 lần và mua 5 quyển sách trong một tháng Bài toán 2: Trong một mùa tuyển sinh đại học, một trường đại học tại thành phố Hồ Chí Minh tuyển 5.000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở: Cơ sở A với số lượng x sinh viên, hàm chi phí là: CA = 0,01x2 + 70x + 9300 Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là: CB = 0,015y2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên... 0, t = 0,03 và H = 1 0 0, 03 Kết luận: Tại cơ sở A: 3040 sinh viên Tại cơ sở B: 1960 sinh viên Thì chi phí đào tạo sẽ thấp nhất TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Toán cao cấp C1 và một số ứng dụng trong kinh doanh 2 Toán cao cấp ( Đậu Thế Cấp) 3 Toán cao cấp (Lê Sĩ Đồng) 4 Tài liệu tham khảo của Thạc Sĩ Hứa Thành Xuân Email: htxuan@ctu.edu.vn 5 Và sự giúp đỡ của các anh chị khóa trước . của đạo hàm trong kinh tế Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế x: biến độc lập hay biến đầu vào y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong. Hằng DQT103631 Nguyễn Thị Gọn M M 0 (T) ϕ ϕ A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I. Cơ sở lý thuyết 1. Một số kết quả trong toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b) )()( :),(),,( o oo xfxffy xxxbaxbax −=∆=∆ −=∆∈∀∈ Đạo. CHUÛ ÑEÀ: CHUÛ ÑEÀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ Mã Môn Học: MAT101 Nhóm: 03 DANH SÁCH THÀNH VIÊN DQT103387