Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 1 | P a g e HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG LP D08KTDT2 BÀI TP LN C S ĐIU KHIN T ĐNG Đ bài: KHO SÁT PHNG TRÌNH NYQUIST VÀ MÔ T Nhóm 3 ʹ Lp D08KTDT2 PHA̙M VŨ MINH TÚ NGUYÊȆN HƯȅU HIÊ̙P ĐÔȆ ĐƯǵC HA˸I TRÂDZN LÊ KHÁNH CHI NGUYÊȆN THI̙ NGÂN TRÂDZN ĐƯǵC TÙNG ĐĂ̙NG QUANG TÙNG VŨ ANH THÙY NGUYÊȆN CA˸NH TOÀN NGUYÊN THU TRANG NINH XUÂN THUÂ̙N Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 2 | P a g e I: Đһt vҩn đӅ: Điu khin t đng là mt lĩnh vc đc áp dng rng rãi trong nhiu ngành khác nhau. Các h thng t đng có mt trong đi sng hàng ngày và trong sn xut hàng hóa. H thng t đng đã giúp ích cho con ngi tăng năng sut lao đng, tăng đ chính xác và tăng đ tin cy cũng nh tăng tính an toàn cho ngi vn hành. Th nên các phng pháp đánh giá n đnh bn vng là các ch đim nghiên cu quan trng trong lĩnh vc điu khin t đng. Trong thc t phân gii tính n đnh cho h thng, ngi ta có th dùng phng pháp sau đây mà không cn đn vic gii các phng trình đt. y Tiêu chun ROUTH và HURWITZ. y Đ hình quĩ tích nghim s y Tiêu chun NYQUIST. y S đ Bode y Tiêu chun MIKHAILOV Có 2 loi tiêu chun n đnh là tiêu chun đi s và tiêu chun n đnh tân s: _ Tiêu chun n đnh đi s : Tìm điu kin ràng buc gia các h s ca phng trình đc tính đ h thng n đnh.Đó là tiêu chun ROUTH và HURWITZ. _ Tiêu chun n đnh tn s: Thông qua đc tính tn s ca h thng đ xét tính n đnh. Đó là tiêu chun n đnh Nyquist và Mikhailov.  đây chúng ta s nghiên cu v tiêu chun n đnh Nyquist . Bng vic nghiên cu tiêu chun n đnh Niquist chúng ta s hiu rõ hn v phng pháp s dng tiêu chun n đnh tn s trong lĩnh vc điu khin t đng. II: Giҧi quyӃt vҩn đӅ:  Đnh lý Nyquist. Ta bit rng mt h thng mt n đnh nu nh có mt cc ca hàm truyn đt nm bên phi mt phng phc (có phn thc dng). Vì vy ta chn mt đng cong kín (C) nm  na dng mt phng phc. Đng cong này đc gi đng cong Bromwich. Đ quan sát s n đnh ca h kín, ch cn chng t rng 1 ( ) ( ) 0G s H s ! không có nghim trong đng cong Bromwich, hay đn gian nht là vch qu tích ca hàm truyn 1 ( ) ( )G s H s trong mt phng phc. Im O Re (C) Đưͥng cong Bromwich Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 3 | P a g e Theo đnh lý Cauchy, nu qu tích này không bao gc to đ, khi đó 1 ( ) ( ) 0G s s ! không có nghim trong đng cong Bromwich. Cũng có nghĩa là nu ( ) ( )G s s không bao đim (-1 , 0) thì khi đó 1 ( ) ( ) 0G s s ! không có nghim trong đng cong Bromwich. T đó đnh lý Nyquist phát biu nh sau: Mt h thng kín n đnh nu qu tích ca hàm truyn h m tng ng không bao đim (-1 , j0 ). Mt khác, đ G(s)H(s) không bao đim (-1 , j0) thì điu kin cn và đ là: - S cc và s Zéro ca nó nm trong đng cong Bromwich bng 0. - Hay là s cc dng bng s Zéro dng. Đim (-1 , j0 ) đc gi là đim ti hn.  Tiêu chun n đnh tn s - tiêu chun Nyquist. Tiêu chun Niquist theo đc tính tn s biên pha: 1. Phát biu: ͞Điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh͟ - Khi h n đnh (hoc  gii hn n đnh) là đc tính tn s biên ʹ pha ca h h ܹ ௛ ሺ ݆߱ ሻ không bao đim (-1,j0). - Khi h thng n đnh là đc tính tn s biên ʹ pha ca h thng h bao đim (-1,j0) m/2 vòng kín nu ߱ bin đi t 0 đn λ (trong đó m là s nghim ca phng trình đc tính ca h h có phn thc dng) ͞ 2.Chng minh y Nguyên lý bao và không bao: Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 4 | P a g e _ Nu mt đim M không ri vào trong mt đng cong kín l, ta nói rng đng cong l không bao dim M nh hình v a) di đây: T đim M k tip 2 đng tip tuyn vào đng cong l. T A1 đn A2 theo mũi tên véc t MA quay 1 góc là -߮ còn t A2 đn A1 theo mũi tên, vec t MA quay 1 góc là + ߮ . Do đó đu mũi A ca vecto MA trt trên c đng cong kín l theo chiu mũi tên thì góc quay tng ca MA là -߮ + + ߮ = 0 _ Nu mt đim M ri vào trong mt đng cong l, ta nói rng đng cong kín l bao quanh đim M, nh hình v b) Nu véc t MA có 1 đu mút chy trên c đng cong theo 1 chiu mũi tên thì góc quay tng ca MA là 2ߨ. y Nguyên lý góc quay: Đi vi phng trình đc tính: ܽ ଴ ݌ ௡ ൅ܽ ଵ ݌ ௡ିଵ ൅ǥǥǤ൅ܽ ௡ ൌ Ͳ (1) Có n nghim, nu thay p = ݆߱ ta có: ܽ ଴ ሺ ݆߱ െ݌ ଵ ሻሺ ݆߱െ݌ ଶ ሻ ǥǥǤǤ ሺ ݆߱െ݌ ௡ ሻ ൌ Ͳ (2) Gi s trong phng trình (1) có m nghim có phn thc dng còn (n-m) nghim có phn thc âm tng ng các nghim phân b  bên phi và nêm trái trc o nh hình di đây: Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 5 | P a g e Nu nghim ݌ ௜  bên trái trc o, đi vi các vecto ܯܺ ത ത ത ത ത ൌሺ݆߱ െ݌ ௜ ) Khi ߱ chy t -ьđ ݊൅ь: ο ିьஸఠஸь ሺ݆߱ െ݌ ௜ ሻ ൌ ൅ߨ (3) Nu nghim ݌ ௝ nm  bên phi trc o đi vi vecto ܰܺ ത ത ത ത ൌ ሺ݆߱ െ݌ ௜ ሻ Khi ߱ chy t -ьđ ݊൅ь: ο ିьஸఠஸь ሺ݆߱ െ݌ ௜ ሻ ൌ െߨ (4) Phng trình (2) có th đc vit nh sau: ܽ ଴ ෑ ሺ ݆߱ െ݌ ௜ ሻ Ǥ ௡ି௠ ௜ୀଵ ෑ ൫ ݆߱ െ݌ ௝ ൯ ൌ ͲǤ ௠ ௝ୀଵ Khi đó: T(3) và (4) ta có: ο ିьஸఠஸь  ෑ ሺ ݆߱ െ݌ ௜ ሻ Ǥ ௡ି௠ ௜ୀଵ ൌ൅ሺ݊െ݉ሻߨ ο ିьஸఠஸь ෑ ൫ ݆߱ െ݌ ௝ ൯ ൌെߨǤ ௠ ௝ୀଵ  Khi h h n đnh: Xét véc t MA trên hình di đây: Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 6 | P a g e MA = 1 + OA = 1 + Wh Vì theo hình 3-3: ܹ ௛ ൌ ܤ ሺ ݌ ሻ ܦ ሺ ݌ ሻ ݊²݊ǣ ܯܣ ൌ ͳ൅ ܤሺ݌ሻ ܦሺ݌ሻ ൌ ൌ ܦ ሺ ݌ ሻ ൅ܤ ሺ ݌ ሻ ܦ ሺ ݌ ሻ ൌ ܣ ሺ ݌ ሻ ܦ ሺ ݌ ሻ Ǣ Trong đó bc ca B(p) <= bc ca D(p) D(p) = 0 là phng trình đc tính h h có bc n: ܹ ௞ ሺ ݌ ሻ ൌ ܹ ௛ ሺ ݌ ሻ ͳ൅ܹ ௛ ሺ ݌ ሻ ൌ ܤ ሺ ݌ ሻ ܦ ሺ ݌ ሻ ൅ܤ ሺ ݌ ሻ ൌ ܤ ሺ ݌ ሻ ܣ ሺ ݌ ሻ A(p) = D(p) + B(p) = 0 là phng trình đc tính h kín cũng có bc n: Do đó ܯܣ ത ത ത ത ത ൌ ஺ ሺ ௣ ሻ ஽ ሺ ௣ ሻ ൌ 0௔௧௛௖¯௖௧À௡௛௛௞À௡௕௖௡ 0௔௧௛௖¯௖௧À௡௛௛௛௕௖௡ (1) Vecto ܯܣ ത ത ത ത ത ni đim M (-1,j0) vi 1 đim A chy trên đng cong ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ, có liên h vi h kín và h h qua biu thc trên. Nu đc tính ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ không bo đim M(-1,j0) tc là Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 7 | P a g e ο ିஶஸఠஸஶ ܯܣ ൌ Ͳ Khi h h n đnh, phng trình D(p) =0 có nghim  bên trái trc o. ο ିஶஸఠஸஶ ܦ ሺ ݆߱ ሻ ൌ෍ο ିஶஸఠஸஶ  ሺ ݆߱െ݌ ௜ ሻ ௡ ௜ୀଵ ൌ൅݊ߨ H thng kín mun n đnh, phng trình A(p) = 0 có n nghim  bên trái trc o nên: ο ିஶஸఠஸஶ ܣ ሺ ݆߱ ሻ ൌ ൅ ݊ߨ Tính góc quay ca MA theo công thc (1) ο ିஶஸఠஸஶ ܯܣ ൌο ିஶஸఠஸஶ ܣ ሺ ݆߱ ሻ െο ିஶஸఠஸஶ ܦ ሺ ݆߱ ሻ = nߨ െ݊ߨ =0 ൌ൐ ሺ݄ܶܽ݉݊¯݅ݑ݇݅݊ሻ Vy khi h h n đnh, h kín mun n đnh đc tính ca ܹ ௛ ሺ ݆߱ ሻ phi không bao đim có ta đ (-1,j0)  Khi h h không n đnh: Trong phng trình đc tính D(p) = 0 có m nghim bên phi trc o và (n ʹ m) nghim  bên trái trc o. Ta có: ο ିஶஸఠஸஶ ܦ ሺ ݆߱ ሻ ൌ ሺ ݊െʹ݉ ሻ ߨ H kín mun n đnh thì:  ο ିஶஸఠஸஶ ܣ ሺ ݆߱ ሻ ൌ ൅ ݊ߨ Do đó : ο ିஶஸఠஸஶ ܯܣ ൌ ݊ߨ െ ሺ ݊ െʹ݉ ሻ ߨ ൌ ݉ʹߨ Vì đc tính ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ đi xng qua trc hoành đi vi nhánh có ߱= 0 -> λ và nhánh có ߱= -λ -> 0 cho nên ο ଴ஸఠஸஶ ܯܣ ൌ ଵ ଶ ݉ʹߨ ൌ ௠ ଶ vòng tròn Điu này chng t đc tính ܹ ௛ ሺ ݆߱ ሻ bao đim M (-1,j0) m/2 vòng kín khi ߱= 0 -> λ Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 8 | P a g e Nhn xét: Trc khi dùng tiêu chun Nyquist cn phi xét xem h h có n đnh hay không ( có th s dng các tiu chun đi s đ xét đ n đnh) Đc tính tn s ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ thng là đng cong không khép kín vì ch chy t 0 đn cho nên nhn dng vic bao ca nó đi vi mt đim trong trng hp phc tp là rt khó khăn. Đ d dàng ta chuyn sang mt cách biu din khác. Hình  di đây là trng hp h n đnh nu h h n đnh Ta thy đc tính tn ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ không bao đim M(-1,j0) nu giao đim ca ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ vi trc thc trong khong (െλ ,-1) không có hoc là s giao đim chuyn đi dng ܥ ା ( tc là đi t âm sang dng ) bng s giao đim chuyn đi âm ܥ ି (tc là đi t chiu dng sang âm theo chiu tăng ca tn s ). Hay điu kin không bao ca ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ vi M (-1, j0): ܥ ା ൌ ܥ ି Nu không tha mãn điu kin trên thì đc tính tn s ܹ ௛ ሺ݆߱ሻ bao đim M (-1, j0) có ܥ ା =3.͙ ; ܥ ି = 1. Nh hình v sau đây: Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 9 | P a g e Tiêu chun Nyquist ʹ Theo đc tính tn s Logarit Theo đc tính tn s Logarit ta có: L(߱) = 20 lgA(߱) Vì L(߱) = 20 lgA(߱) nu A(߱) 1 thì L(߱) 0. Ti sao các giao dim chuyn đi thì argܹ ௛ ሺ݆߱ሻ = െߨ . Da vào kt qu ca tiêu chun Nyquist theo đc tính tn s biên ʹ pha, ta cn xét phm vi A (߱)  trong khong (െλ ,-1), khi h h n đnh nu ܥ ା ൌ ܥ ି thì h kín n đnh Qua hình di đây, đi chiu đc tính tn s biên pha vi đc tính tn s Logarit  trng thái n đnh và không n đnh ca h thng Trên đc tính tn logarit, các đim chuyn đi là giao đim ca ߮ሺ߱ሻ vi đng thng െߨ (kí hiu là ܥ ା ) Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 10 | P a g e Quy c: đim chuyn đi dng (kí hiu là ܥ ା ) là giao đim ca đc tính ߮ ,vi đng thng െߨ , khi ߱ tăng thì ߮ሺ߱ሻ ct t trên xung di đng thng െߨ còn đim chuyn đi âm (kí hiu là ܥ ି ) là giao đim ca ߮ሺ߱ሻ vi đng thng െߨ khi ߱ tăng thì ߮ሺ߱ሻ ct t di lên trên đng thng Phát biu: điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh khi h thng h n đnh là s giao đim chuyn đi âm bng s giao đim chuyn đi âm ca đc tính ߮ vi đng thng െߨ trong phm vi tn s െߨ đ L(߱) >0 III: Minh hӑa, mô phӓng: Ta xét VD sau :  VD 1 : G(s) =  st1s k  (k = 10, t = 1) Nhn xét : hàm truyn vòng h có 1 cc nm bên phi mt phng phc và 1 cc nm ti gc ta đ. Biu đ Nyquist không bao đim A (-1+j0). Đim ʹ1 ký hiu () nm trên trc thc âm (Real Axis) , đim 0 nm trên trc o (Imaginary Axis). Kt lun : h không n đnh. Re al A x is Im a gin ary A x is Ny q u i st Dia gra m s 0 2 4 6 8 10 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 [...]... và 1 c c n m t i g c t a đ Bi u đ Nyquist không bao đi m A (-1+j0) Đi m ʹ1 ký hi u () n m trên tr c th c âm (Real Axis) , đi m 0 n m trên tr c o (Imaginary Axis) K t lu n: h không n đ nh 10 | P a g e Bài t
p l
n C
s
đi
u khi
n t
đ
ng-Nhóm 3-D08KTDT2 GH(s) = k (k =10, t1 = 1, t2 = 2) t 1s  1 t 2s  1  VD2: GH(s) = k (k =10, t1 = 1, t2 = 2) t 1s  1 t 2s  1 N y q u i st D i a g r a m s 6 Im a g... có thӇ khҧo sát đưӧc sư әn đӏnh cӫa mӝt hӋ thӕng, dӵa trên đưӡng cong Bromwich Mӝt hӋ thӕng: - Đưӧc gӑi là әn đӏnh khi đưӡng đһc tính tҫn sӕ - pha cӫa hӋ hӣ không bao quanh điӇm M (-1,j0) 11 | P a g e Bài t
p l
n C
s
đi
u khi
n t
đ
ng-Nhóm 3-D08KTDT2 - Đưӧc gӑi là không әn đӏnh khi đưӡng đһc tính tҫn sӕ - pha cӫa hӋ bao quanh điӇm M (1,j0) Đưӧc gӑi là nҵm trên biên giӟi әn đӏnh khi đưӡng đһc tính . Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 1 | P a g e HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG LP D08KTDT2 BÀI TP LN C S ĐIU KHIN T ĐNG Đ bài: KHO. TÙNG ĐĂ̙NG QUANG TÙNG VŨ ANH THÙY NGUYÊȆN CA˸NH TOÀN NGUYÊN THU TRANG NINH XUÂN THUÂ̙N Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 2 | P a g e I: Đһt vҩn đӅ: Điu khin. ca hàm truyn 1 ( ) ( )G s H s trong mt phng phc. Im O Re (C) Đưͥng cong Bromwich Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2 3 | P a g e Theo đnh lý Cauchy, nu