Bài toán. Cho dãy số x n : 1 2x = ; 1 2 n n x x + = + , * x N∀ ∈ . Tìm lim x n ? Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn: Ta có x 1 < 2 → hiển nhiên Giả sử x k < 2 → ta chứng minh x k+1 < 2 ⇔ 2 2 2 k k x x+ < ↔ < (đúng) Vậy * 2 n x n N< ∀ ∈ Ta có x 1 < x 2 (đúng) Giả sử x k-1 < x k ta chứng minh x k < x k+1 1 1 2 2 k k k k x x x x − − + < + ↔ < → Đpcm Vậy dãy {x n } đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L. Ta có phương trình tìm L: 2 2 2 0L L L L= + ⇔ − − = 2 1 L L =  ⇔  = −  Do {x n } dương nên giới hạn L = 2 Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản + Ta có 1 2 2 2 2 x cos π = = (đúng) + Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được * n n 1 x 2.cos , n N 2 + π = ∀ ∈ + lim 1 lim 2. 2 2 +   = =  ÷   n n x cos π Cách 3: Sử dụng nguyên lý kẹp + Ta chứng minh x n < 2 (như trên) + Ta chứng minh: * 1 1 2 2 − − < ∀ ∈ n n x n N bằng quy nạp với 1 1 2 2 1 = → − <n (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng đến k ta có: 1 1 2 2 − − < k k x ta cần chứng minh 1 1 1 2 2 2 2 2 + − < ⇔ − < + k k k k x x Vì 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 − − − − < + − ⇔ − + < − k k k k k k 2 2k k 1 k k 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 2 − − − ⇔ + < − ⇔ − + < − ⇔ > (đúng ∀k ≥ 2) Mà k k 1 1 2 2 2 x 2 − + − < + → Điều phải chứng minh Vậy n k 1 1 2 x 2 2 − − < < Mà n n 1 1 lim2 lim 2 2 limx 2 2 −   = − = ⇒ =  ÷   Cách 4: Sử dụng định nghĩa + ∀ξ > 0 bé tùy ý tồn tại N ( ξ ) sao cho ∀ n > N ( ξ ) thì n x 2− < ξ (*) + Ta chứng minh x n < 2 (theo chứng minh trên) + (*) ⇔ 2 – x n < ξ + Chứng minh n n 1 1 x 2 2 − > − (theo chứng minh trên) Do đó: n n 1 n 1 1 1 2 x 2 2 2 2 − −   − < − − =  ÷   Chọn n 1 2 n 1 1 1 1 2 n 1 log 2 − − < ξ ↔ > ⇔ − > ξ ξ Chọn: 2 1 N 1 log 1   = + +   ξ   Ta có: n 2 x− < ξ , ∀n > N → Điều phải chứng minh Nhận xét 1: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài toán đó là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình: L 2 L L 2 L 0  = + ⇔ =  >  Nhận xét 2: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau: Bài toán 1.1: Cho x 1 = a > 0; n n 1 x a x n 2;n N − = + ∀ ≥ ∈ tìm lim x n (giải tương tự cách 1) Bài toán 1.2: Cho {x n } xác định với 1 n 1 n x a x a bx +  =   = +   với n ∈ N * ; a > 0; b > 0 Tìm lim x n . (giải tương tự cách 1) Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {x n } n 1 2 n x a a a= + + + với a i > 1 i 1;n∀ = có giới hạn nếu: ln(ln ) lim ln2 n a n < Nhận xét 3: Từ cách giải (2) ta có thể giải bài toán sau: Bài toán 1.4: Cho n x 2 2 2= + + + (n dấu căn) a) Tìm 1 2 n n x .x x lim 2    ÷   b) Đặt n n y 2 2 2 2 2= − + + + . Tìm lim y n ? Giải: a) Từ kết quả 1 2. os 2 n n x c π + = Ta có n 2 3 n 1 1 2 n n n 2 .cos .cos cos x .x x 2 2 2 lim lim 2 2 + π π π   =  ÷   = n 2 3 n 1 n 1 n n 1 2 .cos .cos cos .sin 2 2 2 2 lim 2 .sin 2 + + + π π π π π n n 1 n 1 n 1 sin 1 2 2 2 lim . 2 .sin sin 2 2 lim 2 + + + π = = = π π π π π b) n n n 1 n n 1 y 2 2 2cos 2 .sin 2 2 + + π π = − = n 1 n n 1 sin 2 limy lim . 2 + + π ⇒ = π = π π Nhận xét 4: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xây dựng các dãy có giới hạn bằng α và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng α. Sau đây là một số cách xây dựng các dãy có giới hạn cho trước. Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm L = 2 ta xây dựng các dãy có giới hạn bằng 2 như sau: + Xuất phát từ L – 2 = 0 → (L – 2) (L + 1) = 0 ⇒ L 2 – L – 2 = 0 L L 2 L L 2  = + ⇒  = − +   Chọn L 2 L= + đặt 1 n n 1 x 2;x 2 x , n N,n 2 − = = + ∀ ∈ ≥ (Không xét) Tìm lim x n (ta có ví dụ trên) + Hoặc (L – 2) (L + a) = 0 (với a > 0) 2 L (a 2)L 2a 0↔ + − − = L 2a (a 2)L L 2a (a 2)L(không xét)  = − − ⇔  = − − −   Ta chọn L 2a (2 a)L= + − Đặt x 1 = 2a n n 1 x 2a (2 a)x − = + − với n 2 n N ≥   ∈  Tìm lim x n (ta có bài toán 1-2) Hướng 2: ta có 2 4 4 1 4 2 4 2 2   α = → α = ⇒ α = ⇒ α = α + ⇐ α = α +  ÷ α α α   Từ đó xét dãy số: 1 x = α n n 1 n 1 1 4 x x n 2,n N 2 x − −   = + ∀ ≥ ∈  ÷   Với cách tương tự ta xây dựng được dãy hội tụ tiến về căn bậc k của n như sau: Dãy {x n }: 0 n n 1 k 1 n 1 x 1 m x x n 2,n N 2 x − − − = α      = + ∀ ≥ ∈  ÷     Một cách tương tự khi cần cho dãy có giới hạn bằng 2 ta xây dựng dãy số 0 2 n 1 n n 1 x 2 n 2 x x 1 x n N 2 − −  =  ∀ ≥   = + −   ∈   (Điều phải chú ý là giá trị x 0 và giá trị α trong các kiến thiết trên không phải lấy tùy ý) Hướng 3: ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ nghiệm Newton để xây dựng các dãy số. Để tìm nghiệm của phương trình F(x) = 0 thì chọn giá trị x 0 tương đối gần với nghiệm đó và xây dựng dãy truy hồi. n n 1 n ' n F(x ) x x F (x ) + = − Khi đó {x n } sẽ dần đến nghiệm của phương trình F(x) = 0 Chẳng hạn xét 2 F(x) x 4= − thì 2 ' F(x) x 4 F (x) 2x − = ta được: 2 n n n 1 n n 1 n n x 4 x 4 x x x 2x 2 2x + + − = − ⇔ = + n 1 n n 1 4 x x 2 x +   ⇔ = +     (trùng với kết quả ở hướng 2) Hướng 4: Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 giả sử ta có phương trình: x 2 + bx – 1 = 0 gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình, với a ∈R, a ≠ 0 xét n n n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 n 1 2 n 1 2 x a(x x ) x a x x 2 + +   = + ⇒ = + +   2 2 2 2 n 1 n n 1 n x x a 2 a.X 2a x a + +   ↔ = + ⇔ + =     2 n n 1 x x 2a a + ⇔ = − (*) Như vậy {x n } thỏa mãn công thức truy hồi (*) Chọn 1 a ;b 4 2 = = − Thì {x n } xác định như sau: 0 2 n 1 n x 2 x 2x 1 + =   = −  tìm số hạng tổng quát của dãy Tương tự nếu xét ( ) n n 3 3 n 1 2 x a x x= + thì ta có 3 n n 1 n 2 x x 3x a + = + Thực chất là ta xây dựng dãy truy hồi tuyến tính bậc n đối với 2 nghiệm của phương trình bậc 2. Nguồn: Bồi dưỡng Giáo Viên SGD Nghệ An năm 2010 . dựng các dãy có giới hạn bằng α và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng α. Sau đây là một số cách xây dựng các dãy có giới hạn cho trước. Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm. nên có giới hạn L. Ta có phương trình tìm L: 2 2 2 0L L L L= + ⇔ − − = 2 1 L L =  ⇔  = −  Do {x n } dương nên giới hạn L = 2 Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ. khóa của bài toán đó là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình: L 2 L L 2 L 0  = + ⇔ =  >  Nhận xét 2: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau: Bài toán