TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm C thuộc ñường thẳng : 2 5 0 d x y + + = và ( ) 4;8 A − . Gọi M là ñiểm ñối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B lên ñường thẳng MD. Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết rằng ( ) 5; 4 N − 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng 6 1 2 : 3 2 1 x y z − + + ∆ = = − − và ñiểm ( ) 1;7;3 A . Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng ∆ . Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ∆ sao cho 2 30 AM = Hướng dẫn giải 1. Do C thuộc vào ñường thẳng d nên tọa ñộ của C có dạng ( ) ; 2 5 C t t − − . Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra I là trung ñiểm của AC. Do ñó: 4 2 3 ; 2 2 t t I − − +       Tam giác BDN vuông tại N nên IN IB = . Suy ra IN IA = . Do ñó ta có phương trình ( ) 2 2 2 2 4 2 3 4 2 3 5 4 4 8 2 2 2 2 1 1; 7 t t t t t C − − + − − +         − + − − = − − + −                 ⇔ = ⇒ − Do M ñối xứng với B qua C nên CM CB = . Mà CB AD = và CM song song AD nên tứ giác ACMD là hình bình hành . Suy ra AC song song DM . Theo giả thiết BN vuông góc DM , suy ra BN AC ⊥ và CB = CN. Vậy B là ñiểm ñối xứng của N qua AC. ðường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình 3 17 0 x y − − = . Do ñó: ( ) 3 17; B a a + . Trung ñiểm BN thuộc AC nên ( ) 3 17 5 4 3 4 0 7 4; 7 2 2 a a a B + + −   + + = ⇔ = − ⇒ − −     2. ∆ có vector chỉ phương là ( ) 3; 2;1 u = − −  Mặt phẳng (P) ñi qua A và nhận u  là vector pháp tuyến nên ( ) P có phương trình ( ) ( ) ( ) 3 1 2 7 3 0 3 2 14 0 x y z x y z − − − − + − = ⇔ + − − = M thuộc ∆ nên ( ) 6 3 ; 1 2 ; 2 M t t t − − − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 30 6 3 1 1 2 7 2 3 120 7 4 3 0 3 7 t AM t t t t t t =   = ⇔ − − + − − − + − + − = ⇔ − − = ⇔  = −   Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn ( ) 3; 3; 1 M − − hoặc 51 1 17 ; ; 7 7 7 M   − −     TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng : 0 x y ∆ − = . ðường tròn (C) có bán kính 10 R = cắt ∆ tại hai ñiểm A và B sao cho 4 2 AB = . Tiếp tuyến của ñường tròn (C) tại A và B cắt nhau tại một ñiểm thuộc tia Oy. Viết phương trình ñường tròn (C) 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho mặt phẳng ( ) : 2 3 11 0 P x y z + + − = và mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 2 8 0 S x y z x y z + + − + − − = . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Hướng dẫn giải Gọi M là giao ñiểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là giao ñiểm của AB và IM. Khi ñó ( ) 0; M t với 0 t ≥ ; H là trung ñiểm của AB. Suy ra 2 2 2 AB AH = = 2 2 2 1 1 1 2 10 AM AH AM AI = + ⇒ = Do ñó: 2 2 4 2 MH AM AH= − = Mà ( ) ; 2 t MH d M= ∆ = nên t = 8. Do ñó: ( ) 0;8 M ðường thẳng IM qua M và vuông góc với ∆ nên có phương trình 8 0 x y + − = . Do ñó, tọa ñộ của ñiểm H thỏa mãn hệ phương trình ( ) 0 4;4 8 0 x y H x y − =  ⇒  − − =  Ta có: 2 2 1 2 4 IH IA AH HM = − = = nên ( ) 1 5;3 4 IH HM I= ⇒   Vậy ñường tròn (C) có phương trình ( ) ( ) 2 2 5 3 10 x y − + − = 2. (S) có tâm ( ) 1; 2;1 I − và bán kính 14 R = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2.1 3 2 1.1 11 14 , 14 2 3 1 d I P R + − + − = = = + + . Do ñó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Gọi M là tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Suy ra M thuộc ñường thẳng I và vuông góc với mặt phẳng (P). Do ñó: ( ) 1 2 ; 2 3 ;1 M t t t + − + + Do M thuộc mặt phẳng (P) nên ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 3 1 11 0 1 t t t t + + − + + + − = ⇔ = Vậy ( ) 3;1;2 M Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình thang cân ABCD có hai ñường chéo vuông góc với nhau và 3 AD BC = . ðường thẳng BD có phương trình 2 6 0 x y + − = và tam giác ABD có trực tậm ( ) 3;2 H − . Tìm tọa ñộ các ñỉnh C và D 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñiểm ( ) 3;5;0 A và mặt phẳng ( ) : 2 3 7 0 P x y z + − − = . Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa ñộ ñiểm ñối xứng của A qua (P) H ướ ng d ẫ n gi ả i TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Gọi I là giao ñiểm của AC và BD IB IC ⇒ = Mà IB IC ⊥ nên IBC ∆ vuông cân tại I  0 45 ICB⇒ = . BH AD BH BC HBC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ vuông cân tại B. I ⇒ là trung ñiểm của ñoạn thẳng HC. Do CH BD ⊥ và trung ñiểm I của CH thuộc BD nên tọa ñộ của C là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) 2 3 2 0 3 2 2 6 0 2 2 x y x y + − − =   − +   + − =       . Do ñó: ( ) 1;6 C − Ta có: 2 2 1 10 3 10 5 2 3 2 IC IB BC CH ID IC CD IC ID IC ID ID AD = = = ⇒ = ⇒ = + = = = Ta có: ( ) 6 2 ; D t t − và 5 2 CD = suy ra ( ) ( ) 2 2 1 7 2 6 50 7 t t t t =  − + − = ⇔  =  Do ñó: ( ) 4;1 D hoặc ( ) 8;7 D − 2. Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là ( ) 2;3; 1 n = −  ðường thẳng ∆ qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận ( ) 2;3; 1 n = −  làm vector chỉ phương, nên có phương trình 3 5 2 3 1 x y z − − = = − Gọi B là ñiểm ñối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc ∆ . Do ñó ( ) 3 2 ;5 3 ; B t t t + + − Trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc (P) nên ( ) 10 3 2 3 3 7 0 2 2 2 t t t t +     + + − − − = ⇔ = −         Do ñó: ( ) 1; 1;2 B − − Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có chân ñường cao hạ từ ñỉnh A là 17 1 ; 5 5 H   −     , chân ñường phân giác trong của góc A là ( ) 5;3 D và trung ñiểm của cạnh AB là ( ) 0;1 M . Tìm tọa ñộ ñỉnh C 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho các ñiểm ( ) ( ) 1; 1;1 , 1;2;3 A B− − và ñường thẳng 1 2 3 : 2 1 3 x y z + − − ∆ = = − . Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A, vuông góc với hai ñường thẳng AB và ∆ . H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có H AH ∈ và AH HD ⊥ nên AH có phương trình 2 3 0 x y + − = . Do ñó: ( ) 3 2 ; A a a − Do M là trung ñiểm của AB nên MA MH = Suy ra ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 13 1 5 a a a a =   − + − = ⇔  = −   Do A khác H nên ( ) 3;3 A − Phương trình ñường thẳng AD là 3 0 y − = . TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - Gọi N là ñiểm ñối xứng của M qua AD. Suy ra N AC ∈ và tọa ñộ của N thỏa mãn hệ phương trình ( ) ( ) 1 3 2 0;5 1. 0. 1 0 y N x y +  −  ⇒   + − =  ðường thẳng AC có phương trình 2 3 15 0 x y − + = ðường thẳng BC có phương trình 2 7 0 x y − − = Suy ra tọa ñộ của C thỏa mãn hệ phương trình ( ) 2 7 0 9;11 2 3 15 0 x y C x y − − =  ⇒  − + =  2. Ta có: ( ) 2;3;2 AB = −  vector chỉ phương của ∆ là ( ) 2;1;3 u −  ðường thẳng vuông góc với AB và ∆ có vector chỉ phương là ; v AB u   =     Suy ra ( ) 7;2;4 v =  ðường thẳng ñi qua A và vuông góc với AB và ∆ có phương trình là 1 1 1 7 2 4 x y z − + − = = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có ñiểm 9 3 ; 2 2 M   −     là trung ñiểm của cạnh AB, ñiểm ( ) 2;4 H − và ñiểm ( ) 1;1 I − lần lượt là chân ñường cao kẻ từ B và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa ñộ ñiểm C 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho các ñiểm ( ) ( ) 1; 1; 2 , 0;1;1 A B− − − và mặt phẳng ( ) : 1 0 P x y z + + − = . Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng ñi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) H ướ ng d ẫ n gi ả i 7 1 ; 2 2 IM   = −      ta có M AB ∈ và AB IM ⊥ nên ñường thẳng AB có phương trình 7 33 0 x y − + = ( ) ;7 33 A AB A a a∈ ⇒ + . Do M là trung ñiểm của AB nên ( ) 9; 7 30 B a a− − − − . Ta có . 0 HA HB HA HB ⊥ ⇒ =     2 4 9 20 0 5 a a a a = −  + + = ⇒  = −  Với ( ) ( ) 4 4;5 , 5; 2 a A B = − ⇒ − − − . Ta có BH AC ⊥ nên ñường thẳng AC có phương trình 2 6 0 x y + − = , Do ñó ( ) 6 2 ; C c c − . Từ ( ) ( ) 2 2 7 2 1 25. IC IA c c = ⇒ − + − = Do ñó 1 5 c c =   =  . Do C khác A nên ( ) 4;1 C . Với ( ) ( ) 5 5; 2 , 4;5 a A B= − ⇒ − − − Ta có BH AC ⊥ nên ñường thẳng AC có phương trình 2 8 0 x y − + = Do ñó ( ) ;2 8 C t t + . TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Từ ( ) ( ) 2 2 1 2 7 25 IC IA t t = ⇒ + + + = Do ñó, 1 5 t t = −   = −  do C khác A nên ( ) 1;6 C − 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). Suy ra ( ) 1 ; 1 ; 2 H t t t − + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 1 2 1 0 3 H P t t t t ∈ ⇔ − + + − + + − + − = ⇔ = . Do ñó: 2 2 1 ; ; 3 3 3 H   −     Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình . Ta có ( ) 1;2;3 AB =  và vector pháp tuyến của (P) là ( ) 1;1;1 n =  . Do ñó (Q) có vector pháp tuyến là ( ) ' 1;2; 1 n = − −  Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là 2 1 0 x y z − + + = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 4 C x y − + − = và ñường thẳng : 3 0 y ∆ − = . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các ñỉnh N và P thuộc ñường thẳng ∆ , ñỉnh M và trung ñiểm của cạnh MN thuộc ñường tròn (C). Tìm tọa ñộ ñiểm P. 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñiểm ( ) 1;3; 2 A − − và mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0 P x y z − − + = . Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ñi qua A và song song với mặt phẳng (P). Hướng dẫn giải Tâm của ñường tròn (C) là IM vuông góc với ∆ nên có phương trình 1 x = . Do ñó ( ) 1; M a Do ( ) M C ∈ nên ( ) 2 1 1 4 3 a a a = −  − = ⇔  =  Mà M ∉∆ nên ta ñược ( ) 1; 1 M − ( ) ;3 N N b ∈∆ ⇒ . Trung ñiểm MN thuộc (C) ( ) 2 2 5 1 1 1 1 4 3 2 b b b =  +   ⇒ − + − = ⇒    = −    Do ñó: ( ) ( ) 5;3 3;3 N N   −   , ( ) ;3 P P c ∈∆ ⇒ Khi ( ) 5;3 N , từ 1 MP IN c ⊥ ⇒ = −   . Do ñó ( ) 1;3 P − Khi ( ) 3;3 N − từ 3 MP IN c ⊥ ⇒ =   . Do ñó ( ) 3;3 P 2. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2.3 2 2 5 2 , 3 1 2 2 d A P − − − − + = = + − + − Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là ( ) 1; 2; 1 n = − −  Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 2 3 0 x y z − − + = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD, các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là 3 0 x y + = và 4 0 x y − + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1 ;1 3 M   −     . Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 0 P x y z + − + = và ñiểm ( ) 2;1;3 I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4 Hướng dẫn giải Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn hệ phương trình ( ) 3 0 3;1 4 0 x y A x y + =  ⇒ −  − + =  Gọi N là ñiểm thuộc AC sao cho MN song song voái AD. Suy ra MN có phương trình là 4 0 3 x y − + = . Vì N thuộc ñường thẳng AC nên tọa ñộ của ñiểm N là nghiệm của hệ phương trình 4 0 1 1; 3 3 3 0 x y N x y  − + =    ⇒ −       + =  . ðường trung trực ∆ của MN ñi qua trung ñiểm của MN và vuông góc với AD nên ta có phương trình 0 x y + = Gọi I và K lần lượt là giao ñiểm của ∆ với AC và AD. Suy ra tọa ñộ của ñiểm I thỏa mãn hệ phương trình 0 3 0 x y x y + =   + =  và tọa ñộ của ñiểm K thỏa mãn hệ phương trình 0 4 0 x y x y + =   − + =  . Do ñó ( ) 0;0 I và ( ) 2;2 K − Ta có: ( ) ( ) 2. 3; 1 ; 2 1;3 AC AI C AD AK D= ⇒ − = ⇒ −     . ( ) 1; 3 BC AD B = ⇒ −   2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Suy ra H là tâm của ñường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có ( ) ( ) ; 3 IH d I P = = Bán kính của mặt cầu (S) là 2 2 3 4 5 R = + = Vậy phương trình mặt cầu (S) là : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 25 x y z − + − + − = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng : 2 3 0 d x y − + = > viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc ñường thẳng d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho 2 AB CD = = 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d − + = = − và hai ñiểm ( ) ( ) 1; 1;2 , 2; 1;0 A B− − . Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M. H ướ ng d ẫ n gi ả i Gọi I là tâm của ñường tròn (C) cần viết phương trình TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Di I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của I có dạng ( ) ;2 3 I t t + ( ) ( ) 1 ; , 2 3 3 t AB CD d I Ox d I Oy t t t = −  = ⇔ = ⇔ = + ⇔  = −  Với t = -1 ta ñược ( ) 1;1 I − , nên ( ) , 1 d I Ox = suy ra bán kính của ñường tròn (C) là 2 2 1 1 2 + = . Do ñó, ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 2 C x y + + − = Với 3 t = − ta ñược ( ) 3; 3 I − − nên ( ) , 3 d I Ox = suy ra bán kính của ñường tròn ( ) C là 2 2 3 1 10 + = . Do ñó ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 3 10 C x y + + + = 2. Do M thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của M có dạng ( ) 1 2 ; 1 ; M t t t + − − Ta có: ( ) ( ) 2 ; ; 2 , 1 2 ; ; AM t t t BM t t t = − − = − + −   Tam giác AMN vuông tại M . 0 AM BM =   ( ) ( ) 2 2 0 2 1 2 2 0 6 4 0 2 3 t t t t t t t t t =   ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔  =   Do ñó có có 2 ñiểm M thỏa mãn ( ) 1; 1;0 7 5 2 ; ; 3 3 3 M M −     −       Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho các ñường tròn ( ) 2 2 1 : 4 C x y + = , ñường tròn ( ) 2 2 2 : 12 18 0 C x y x + − + = và ñường thẳng : 4 0 d x y − − = . Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc ( ) 2 C , tiếp xúc với ñường thẳng d và cắt ñường tròn ( ) 1 C tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với ñường thẳng d 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng 1 : 2 1 2 x y z d − = = − và hai ñiểm ( ) ( ) 2;1;0 , 2;3;2 A B − . Viết phương trình mặt cầu ñi qua A, B và có tâm thuộc ñường thẳng d. H ướ ng d ẫ n gi ả i ðường tròn ( ) 1 C có tâm là gốc tọa ñộ O. Gọi I là tâm của ñường tròn ( ) C cần viết phương trình , ta có AB OI ⊥ . Mà AB d ⊥ và O d ∉ và // OI d , do ñó OI có phương trình y x = . Mặt khác I thuộc vào ñường thẳng ( ) 2 C nên tọa ñộ của I thỏa mãn hệ phương trình ( ) 2 2 3 3;3 3 12 18 0 y x x I y x y x = =   ⇔ ⇒   = + − + =   Do ( ) C tiếp xúc với ñường thẳng d nên ( ) C có bán kính ( ) , 2 2 R d I d= = Vậy phương trình ( ) C là ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 3 8 C x y − + − = 2. Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của mặt cầu (S) TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Do I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của ñiểm I có dạng ( ) 1 2 ; ; 2 I t t t + − Do A và B thuộc vào mặt cầu (S) nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 3 3 2 2 1 AI BI t t t t t t t = ⇒ − + − + = + + − + + ⇒ = − Do ñó ( ) 1; 1;2 I − − và bán kính mặt cầu là 17 IA = Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 17 x y z + + + + − = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình thoi ABCD có 2 AC BD = và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 2 2 4 x y + = . Viết phương trình chính tắc của (E) ñi qua các ñỉnh A,B,C,D của hình thoi biết A thuộc Ox 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ( ) ( ) 0;0;3 , 1;2;0 A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM H ướ ng d ẫ n gi ả i 1. Giả sử ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b + = > > . Hình thoi ABCD có 2 AC BD = và A,B,C,D thuộc (E) suy ra 2 OA OB = . Không mất tính tổng quát ta có thể xem ( ) ;0 , 0; 2 a A a B       . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Suy ta OH là bán kính của ñường tròn (C) 2 2 4 x y + = Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 OH OA OB a a = = + = + Suy ra 2 2 20 5 a b = ⇒ = vậy phương trình chính tắc của (E) là ( ) 2 2 : 1 20 5 x y E + = 2. Do B và C lần lượt thuộc trục Ox và Oy nên tọa ñộ của B và C lần lượt có dạng ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 B b C c . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra ; ;1 3 3 b c G       Ta có ( ) 1;2; 3 AM = −  nên ñường thẳng AM có phương trình 3 1 2 3 x y z − = = − Do G thuộc ñường thẳng AM nên 2 2 4 3 6 3 b b c c =  − = = ⇒  = −  Do ñó phương trình của mặt phẳng (P) là 1 4 4 3 x y z + + = , nghĩa là (P): 6 3 4 12 0 x y z + + − = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của BC, N là ñiểm nằm trên cạnh CD sao cho 2 CN ND = . Giả sử 11 1 ; 2 2 M       và ñường thẳng AN có phương trình 2 3 0 x y − − = . Tìm tọa ñộ của ñiểm A 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d + − = = và ñiểm TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - ( ) 0;0;3 I . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt ñường thẳng d tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB vuông góc tại I Hướng dẫn giải Gọi H là giao ñiểm của AN và BD. Kẻ ñường thẳng qua H và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. ðặt HP x = . Suy ra , 3 , 3 PD x AP x HQ x = = = Ta có QC x = , nên MQ x = . Do ñó AHP HMQ ∆ = ∆ suy ra AH HM ⊥ Hơn nữa ta cũng có AH HM = . Do ñó, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 10 2 2 ; ; ;2 3 2 1 3 10 11 7 45 2 5 4 0 4 2 2 2 2 AM MH d M AN A AN A t t t AM t t t t T = = = ∈ ⇒ − =      = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔      =      Vậy ( ) ( ) 1; 1 4;5 A A −     2. Vector chỉ phương của ñường thẳng d là ( ) 1;2;1 a =  . Gọi H là trung ñiểm của AB suy ra IH AB ⊥ . Ta có H là ñiểm thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của H có dạng ( ) ( ) 1;2 ; 2 1;2 ; 1 H t t t IH t t t − + ⇒ = − −  1 2 2 2 . 0 1 4 1 0 ; ; 3 3 3 3 IH AB IH a t t t IH   ⊥ ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ = ⇒ = − −        Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính của mặt cầu (S) Là 2 6 2 3 R IA IH= = = Do ñó phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( ) ( ) 2 2 2 8 : 3 3 S x y z + + − = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012 Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường tròn ( ) 2 2 : 8 C x y + = . Viêt phương trình chính tắc của Elip(E), biết rằng (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn ñểm phân biệt tạo thành hình vuông. 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d + − = = , mặt phẳng ( ) : 2 5 0 P x y z + − + = và ñiểm ( ) 1; 1;2 A − . Viết phương trình ñường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại hai ñiểm M và N sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN H ướ ng d ẫ n gi ả i Phương trình chính tắc của Elíp (E) có dạng 2 2 2 2 1 x y a b + = với 0 a b > > và 2 8 4 a a = ⇒ = . Do Elíp (E) và ñường tròn (C) cùng nhận Ox và Oy làm trục ñối xứng và các giao ñiển là các ñỉnh của một hình vuông nên Elíp (E) và ñường tròn (C) có một giao ñiểm với tọa ñộ dạng ( ) ; A t t (t > 0) TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - Do A thuộc ñường tròn (C) nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 16 8 2 2;2 1 16 3 t t t A E b b + = ⇒ = ⇒ ∈ ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là 2 2 1 16 16 3 x y + = 2. M thuộc ñường thẳng d suy ra tọa ñộ của ñiểm M có dạng ( ) 2 1; ; 2 M t t t − + MN nhận A là trung ñiểm , suy ra ( ) 3 2 ; 2 ;2 N t t t − − − − N thuộc mặt phẳng (P) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4 t t t t M− − − − − + = ⇔ = ⇒ ðường thẳng ∆ ñi qua A và M có phương trình 1 1 2 : 2 3 2 x y z − + − ∆ = = Trích ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng - năm 2012 Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường tròn ( ) 2 2 : 2 4 1 0 C x y x y + − − + = và ñường thẳng 4 3 0 x y m − + = . Tìm ñể ñường thẳng d cắt ñường tròn (C) tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho  0 120 AIB = , với I là tâm của ñường tròn (C) 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho hai ñường thẳng 1 2 , d d có phương trình ( ) 1 : 2 1 x t d y t t R z t =   = ∈   = −  ( ) 2 1 2 : 2 2 x s d y s s R z s = +   = + ∈   = −  Chứng minh 1 2 , d d cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa hai ñường thẳng 1 2 , d d Hướng dẫn giải 1. ðường tròn (C) có tâm ( ) 1;2 I , bán kính 2 R = Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ñường thẳng d, khi ñó :  0 0 120 .cos60 1 AIB IH IA = ⇔ = = Do ñó: 7 2 1 3 5 m m m = −  = ⇔  = −  2. Xét hệ phương trình ( ) 1 2 2 2 2 * 1 t s t s t s = +   = +   − = −  Giải hệ phương trình (*)ta ñược 1 2 1 , 0 t d d s =  ⇒  =  cắt nhau ðường thẳng 1 d có vector chỉ phương là ( ) 1 1;2; 1 u = −  ðường thẳng 2 d có vector chỉ phương là ( ) 2 2;2; 1 u = −  . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng ñi qua ñiểm ( ) 1 0;0;1 I d ∈ và có một vector pháp tuyến là ( ) 1 2 , 0; 1; 2 u u   = − −     Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 2 0 y z + − = [...]... http://www.mediafire.com/download/za7zd01xpl23c9k Hình h c gi i tích trong ñ thi ñ i h c có hư ng d n gi i ñ y ñ V y là kỳ thi t t nghi p Trung h c ph thông ñã k t thúc, h c sinh bây gi toàn tâm toàn ý cho kỳ thi tuy n sinh ñ i h c s p ñ n Do ñó ñ ng hành v i các em h c sinh năm này th y ñã k t xu t nhi u tài li u quý giá cho các em h c sinh bư c vào kỳ thi quan tr ng l n này Cũng gi ng như tinh th n c a ba tài li u mà ñư c c ng ñ ng h c sinh. .. th ng ∆ Trích ñ thi tuy n sinh ð i h c – Cao ñ ng kh i B năm 2009 Trích ñ thi tuy n sinh ð i h c – Cao ñ ng kh i A năm 2009 http://www.xuctu.com - Trang 23 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT: 0905671232 – 0989824932 Trích ñ thi tuy n sinh ð i h c – Cao ñ ng kh i D năm 2008 Trích ñ thi tuy n sinh ð i h c – Cao ñ ng kh i B năm 2008 Trích ñ thi tuy n sinh ð i h c – Cao... c c ng ñ ng h c sinh hư ng ng tích c c(Bao g m: ) Th y gi i thi u ti p cho chúng ta t p tài li u v hình h c gi i tích bao g m gi i tích ph ng hay nói cách khác là t a d trong m t ph ng và gi i tích không gian hay nói cách khác là phương pháp t a ñ trong không gian T p tài li u này th y ñã k t xu t bao g m 2 mãng c a chương trình chu n và nâng cao cho các em ñư c hoàn thi n nh ng k năng và ki n th c... Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2011 Dành cho h c sinh ch n chương trình chu n 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ Oxy Cho ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 và ñư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 G i I là tâm c a ñư ng tròn (C), M là ñi m thu c ∆ Qua M k các ti p tuy n MA và MB ñ n (C) (A và B là các ti p ñi m) Tìm t a ñ c a ñi m M bi t r ng t giác MAIB có di n tích b ng 10 2 Trong không... hai ñi m M th a mãn   6 4 12  M − ; ;    7 7 7   Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2011 Dành cho h c sinh ch n chương trình nâng cao 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ Oxy Cho Elip ( E ) : x2 y2 + = 1 Tìm t a ñ các ñi m 4 1 A và B thu c Elip, có hoành ñ dương sao cho tam giác OAB cân t i O và có di n tích l n nh t 2 Trong không gian v i h tr c t a ñ Oxyz Cho m t c u ( S ) : x 2 + y... ng (R) là x − z + 2 2 = 0 ho c x−z−2 2 =0 Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i D-2010 Dành cho h c sinh ch n chương trình nâng cao 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ tr c chu n Oxy Cho ñi m A ( 0; 2 ) và ñư ng th ng ∆ ñi qua O G i H là hình chi u vuông góc c a A lên ∆ Viêt phương trình ñư ng th ng ∆ , bi t kho ng cách t H ñ n tr c hoành b ng AH 2 Trong không gian, v i h tr c t a ñ tr c chu n Oxyz... n th c c a mình ðây ch là l i gi i g i ý c a th y, khi làm bài thi các em v n có th làm cách khác ñ có ñư c k t qu cu i cùng v n cho ñi m t i ña(Tuy nhiên tuy t ñ i không làm nhi u cách) Chúc các em s c kh e và ñ bư c ñ n kỳ thi cu i cùng c a ñ i h c sinh c a mình L i k t: Qu th t th y chia s nh ng tài li u quý giá này cho t t c các em h c sinh vào các nhóm Tuy nhiên th t bu n vì có nh ng ngư i xem... M ( 4;1;1) ho c M ( 7; 4; 4 ) Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i B-2010: Dành cho h c sinh ch n chương trình chu n 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ tr c chu n Oxy Cho tam giác ABC vuông t i A, có http://www.xuctu.com - Trang 18 - mail: quoctuansp@gmail.com E TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT: 0905671232 – 0989824932 ñ nh C ( −4;1) , ñư ng phân giác trong c a góc A có phương trình x + y −... ) Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2010 Dành cho h c sinh ch n chương trình chu n 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ tr c chu n Oxy Cho hai ñư ng th ng d1 : 3 x + y = 0 và ñư ng th ng d 2 : 3 x + y = 0 G i (T ) là ñư ng tròn ti p xúc v i d1 t i A, c t d 2 t i hai ñi m B và C sao cho tam giác ABC vuông t i B Vi t phương trình c a ñư ng tròn (T ) Bi t r ng tam giác ABC có di n tích b ng 3... phương v = ( 2;1; −1) và m t ph ng (P) có vector pháp tuy n n = (1; −2;1) G i H là hình chi u vuông góc c a M lên m t ph ng (P), ta có ( ) HMC = cos v, n Suy ra ( ) d ( M , ( P ) ) = MH = MC.cos HMC = MC cos v, n = 6 2 − 2 −1 6 6 = 1 6 Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2010 Dành cho h c sinh ch n chương trình nâng cao 1 Trong m t ph ng, v i h tr c t a ñ tr c chu n Oxy Cho tam giác ABC cân t i ñ nh . Trang 1 - Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học( ñề chính thức) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng,. Vậy ( ) 3;1;2 M Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình thang cân ABCD có hai ñường. quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD, các ñường thẳng