Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Bài 1: Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0 x y z α + − + = và ñiểm J(-1;-2;1). Gọi I là ñiểm ñối xứng của J qua ( ) α . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một ñường tròn có chu vi là 8π. Giải: Gọi I(a;b;c) ta có: ( ) 2 3 1 2 1 IJ ( 1; 2; 1). IJ n 2 3 2 1 2 α = +  + + − = + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒  = − − −     a b a b c a b c Do c b Nhưng trung ñiểm M của IJ lại nằm trên ( ) α nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5) Ta tính ñược khoảng cách từ I ñến ( ) α là IO’=3. Vì C=2πR 0 =8π nên R 0 =4 . => 2 2 2 2 ' ' 4 3 5 = + = + = R IA IO AO Vậy: 2 2 2 ( ) :( 5) ( 4) ( 5) 25 + + + + − = C x y z Bài 2: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ñi qua gốc tọa ñộ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Giải: Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q)). Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5 5 ⇒ =R . Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =5 Vì C ñi qua O(0;0;0) nên: 2 2 2 2 2 2 5 ( ) : 5 + + = ⇒ ∈ + + = a b c I S x y z Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách ñều (P) và (Q) có PT: (α): ( 2 4) ( 2 6) 2 1 0 2 x y x y x y + − + + + = + + = Do 2 2 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) : ( ) 5 α α + + = ∈   ⇒ ∈ ∩   ∈ + + =   x y I I S I S x y z ( C ố ñị nh ) Bài 3 :Trong KG cho m ặ t c ầ u (S) ñ i qua 4 ñ i ể m: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và m ặ t c ầ u (S’) ñ i qua 4 ñ i ể m: 1 1 1 '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1; 0), '(0;1;1) 2 2 2 A B C D . Tìm ñộ dài bán kính ñườ ng tròn giao tuy ế n c ủ a 2 m ặ t c ầ u ñ ó. Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Page 2 of 3 Giải: L ầ n l ượ t ta l ậ p các PT m ặ t c ầ u v ớ i d ạ ng t ổ ng quát chung là: 2 2 2 2 2 2 0 + + + + + + = x y z ax by cz d • V ớ i (S) ta có: 2 2 2 1 2 0 1 2 0 1 ; 0 0(1) 1 2 0 2 3 2 2 2 0 + + =   + + =  ⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =  + + =   + + + + =  c d a d a b c d x y z x y z b d a b c d • V ớ i (S’) 2 2 2 1 0 4 1 7 1 7 1 7 0 ; ; 2 2 0(2) 2 4 4 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 a d b c d a c b d x y z x y z a b d b c d  + + =    + + + = ⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =   + + + =   + + + =  T ừ (1) và (2) ta th ấ y m ặ t ph ẳ ng ch ứ a ñườ ng tròn giao tuy ế n có PT: ( ) : 9 9 4 0 α + + − = x y z V ậ y PT ñườ ng tròn giao tuy ế n c ầ n tìm là: 2 2 2 9 9 4 0 ( ) : 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 x y z C x y z + + − =    − + − + − =   Bài 4 : Trong h ệ tr ụ c T ð Oxyz cho 2 ñườ ng th ẳ ng có PT: 1 2 5 2 ( ) : à ( ) : 2 0 = = −     = − = −     = =   x t x s d y t v d y z z s Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u (S) có tâm I thu ộ c d 1 và I cách d 2 m ộ t kho ả ng b ằ ng 3. Bi ế t r ằ ng m ặ t c ầ u (S) có bán kính b ằ ng 5. Giải: Vì I thu ộ c d 1 nên I( t;-t;0) 2 2 2 2 2 . ( 2;0;1) ( ) ó (5 ; 2;0) ( ) (5; 2;0) 6 30 45 . ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3 5 0 (0;0;0) 5 (5; 5;0)    = −    ⇒ = − − ⇒ → =  −   − +   = − + − − + ⇒ → = =   = ⇒  ⇒  = ⇒ −         d u IM u d c IM t t d I d Qua M u t t u IM t t t d I d t I t I V ậ y có 2 PT m ặ t c ầ u thõa mãn ñ k bài toán là: 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) : 25 ( ) : ( 5) ( 5) 25 + + = − + + + = S x y z S x y z Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Page 3 of 3 Bài 5 : Trong h ệ tr ụ c T ð Oxyz cho 2 ñ i ể m: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) . Vi ế t PT m ặ t c ầ u (S) có ñườ ng kính là ñ o ạ n vuông góc chung c ủ a ñườ ng th ẳ ng AD và ñườ ng th ẳ ng ch ứ tr ụ c Ox. Giải: L ậ p PT ñườ ng th ẳ ng ñ i qua AB ta có: ( ) : 1 3 1 =   = − +   =  x t AB y t z G ọ i ( ;3 1;1) ( ) − ∈ M t t AB Và N(s;0s0) thu ộ c Ox ( ;3 1;1) MN t s t⇒ = − −  . S ử d ụ ng : Ox MN AB MN ⊥   ⊥  Ta tìm ñượ c 1 3 t s = = . Ta tìm ñượ c : 1 1 1 1 ( ;0;1), ( ;0;0) ( ;0; ) 3 3 3 2 M N O⇒ là trung ñ i ể m c ủ a MN và 1 2 2 MN R = = . V ậ y: 2 2 2 1 1 ( 3) ( ) 2 4 − + + − = x y z ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN . tròn giao tuy ế n c ủ a 2 m ặ t c ầ u ñ ó. Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Page 2 of 3 Giải: L ầ n l ượ t ta l ậ p các PT m ặ t c ầ u v ớ i. 25 + + = − + + + = S x y z S x y z Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải Page 3 of 3 Bài 5 : Trong h ệ tr ụ c T ð Oxyz cho 2 ñ i ể m: A(0;-1;1)