Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) M C∈ , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) M C∈ , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. Giải: Tập xác định: 1 \ 2   = −     D R . Ta có: ( ) 2 3 ' 0, 2 1 − = < ∀ ∈ + y x D x Bài 1: Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: ( ) 2 3y k x = − + tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ: ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 3 2 1 x k x x k x − +  = − +  +   −  = +   có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được: ( ) ( ) 2 2 1 3 2 3 7 4 4 0 2 1 2 1 x x x x x x − + − = − + ⇔ + + = + + : Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C) Bài 2: Hàm số có: TCĐ: 1 2 x = − ; TCN: 1 2 y = − 1 1 ; 2 2 I   ⇒ − −  ÷   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Vì đường thẳng 1 2 x = − không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua 1 1 ; 2 2 I   − −  ÷   có hệ số góc k có dạng: 1 1 2 2 y k x   = + +  ÷   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ: ( ) 2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 x k x x k x − +   = + +  ÷  +     −  =  +  có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được: ( ) ( ) 2 1 3 1 1 3 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x − + − −   = + − ⇔ =  ÷ + + +   + :Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C) Bài 3: Gọi ( ) 0 0 1 3 1 ; 2 4 2 M x C x   − − ∈  ÷   . Tiếp tuyến tại M có dạng: ( ) 0 2 2 0 0 0 0 3 3 1 3 3 1 : 4 4 2 4 2 2 d y x x x x x x x − − = − + − = + − Giả sử Ox;A d B d Oy = ∩ = ∩ suy ra: ( ) 0 0 0 0 2 3 3 ;0 ; 0; 3 x x x A B x −    −  ÷  ÷     OAB ∆ vuông tạo O ( ) 2 0 1 2 . 3 1 2 3 OAB S OAOB x ∆ ⇒ = = − = 0 0 6 6 6 3 2 2 x x ± ⇒ − = ± ⇒ = Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6 20 40 12 6 y x − − = + − hay 3 4 6 20 40 12 6 y x − + = − + Bài 4: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 5 Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1k = ± . Gọi ( ) ( ) 0 0 ;M x y C∈ là tiếp điểm - Nếu ( ) 0 0 2 0 3 1 3 1 1 2 1 3 2 2 1 k x x x − − ± = − ⇒ = − ⇒ + = ± ⇒ = + Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y − − − − = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến là: 1 3y x = − − − Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y − + − + = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến là: 1 3y x = − − + - Nếu ( ) ( ) 2 0 2 0 3 1 1 2 1 3 2 1 k x x − = − ⇒ = ⇒ + = − + : Vô nghiệm Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: 1 3y x = − − − và 1 3y x = − − + Câu II : Cho hàm số ( ) 1m x m y x m − + = − ( ) m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại ( ) m M C∈ cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm ( ) 0 0 M x , y ∈ ( ) 3 C . Tiếp tuyến của ( ) 3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. Giải: Bài 1: Gọi ( ) 0 0 ;M x y là điểm cố định của hàm số ( ) 0 0 0 1 ; m x m y m x m − + ⇒ = ∀ − ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 0 0 1 m x y x x y m x y x x x y y ⇔ + + − + = ∀ + + = =   ⇔ ⇔   + = = −   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 5 Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Với ( ) 0; 1M − , tiếp tuyến tại M là: ( ) ' 0 1 1y y x x= − = − − Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định 1y x = − − tại ( ) 0; 1M − . Bài 2: Ta có: 2 1 m y m x m = − + ⇒ − TCĐ: x m = và TCN: 1y m = − Gọi ( ) 2 ; 1 , 0 m m M a m m C a a   + − + ∈ ≠  ÷   . Tiếp tuyến tại M có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : ' 1 1 m m m d y y a m x a m m x a m m a a a = + − − + − + = − − − + − + Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên: ( ) 2 2 2 ; 1 ; ; 1 m A a m m B m m a   + − − +  ÷   Nhận thấy 2 2 A B M A B M x x x y y y + =  ⇒  + =  M là trung điểm của AB (đpcm) Bài 3: Điểm ( ) 3 9 9 : 2 3 ;2 3 M C y M x α α   ∈ = + ⇒ + +  ÷ −   Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 2 2 9 18 27 : 2y x α α α ∆ = − + + + Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên: ( ) 18 2 3;2 ; 3;2A B a α   + +  ÷   Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên ( ) 3;2I + IAB ∆ vuông tại I nên: 1 1 18 . . . 2 . 18 2 2 IAB S IA IB α α ∆ = = = (đvdt) + Chu vi tam giác IAB là: 2 2 18 18 2 4p IA IB AB α α α α   = + + = + + +  ÷   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 5 Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. 2 2 18 18 2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2 α α α α   ≥ + + = + = +  ÷   Dấu = xảy ra 18 2 3 α α α ⇔ = ⇔ = ± ( ) 6;5M⇔ hoặc ( ) 0; 1M − ………………….Hết………………… Nguồn: hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 5 . Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi. 3 of 5 Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Với ( ) 0; 1M − , tiếp tuyến tại M là: ( ) ' 0 1 1y y x x= − = − − Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một. (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) M C∈ , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ