Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. HDG CÁC BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC Câu 1 : Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng ( ) : 2 1 m d y mx m = + − tại 2 điểm phân biệt A, B: a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau c. Thỏa mãn điều kiện 4 . 5OAOB = uuur uuur Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) 2 1 2 1 5 1 2 2 0 2 1 x mx m f x mx m x m x − + = + − ⇔ = + − + − = + với 1 2 x ≠ − ( ) C cắt ( ) m d tại 2 điểm phân biệt A, B ( ) 0f x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2 − 2 0 0 17 2 9 0 6 1 1 3 0 2 4 2 m m m m m f m   ≠  ≠   ⇔ ∆ = − + > ⇔   ≠ −      − = − − ≠  ÷     (*) a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị ( ) 0f x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x mà 1 2 1 2 x x< − < 0 1 1 3 0 6 2 4 2 m mf m m m >      ⇔ − = − − < ⇔  ÷  ÷  < −      b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 ' ; ' 2 1 2 1 A A B B A B k y x k y x x x − − = = = = + + ( ) ( ) 2 2 3 3 . . 0 2 1 2 1 A B A B k k x x ⇒ = > + + nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. c. Gọi 1 2 ;x x là 2 nghiệm của f(x). Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 1 ; ; 2 1A x mx m B x mx m + − + − Theo viet ta có: 1 2 1 2 5 1 2 2 m x x m m x x m −  + = −    −  =   Có: 5 4 . 5 . 0 4 OAOB OAOB= ⇔ − = uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 5 2 1 2 1 0 4 5 1 2 1 2 1 0 4 5 1 2 2 2 1 5 1 2 1 0 4 3 4 2 0 4 3 2 1 0 4 1 3 2 4 x x mx m mx m m x x m m x x m m m m m m m m m m m m m m m ⇔ + + − + − − = ⇔ + + − + + − − = ⇔ + − − − − + − − = ⇔ − − + =   ⇔ − + =  ÷   − ⇔ = ∨ = Đáp số: 1 3 ; 2 4 m −   =     Câu 2 : Cho hàm số ( ) 2 3 3 2 1 x x y x − + − = − (1) a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2 b. Tìm m để đường thẳng d: ( ) 2 3y m x= − + và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB. Giải: a) Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 3 2 0 2 1 x x m f x x m x m x − + − = ⇔ = + − + − = − ; với 1x ≠ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 2 of 5 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt ( ) 0f x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 4 3 2 0 2 1 1 0 2 m m m f m  >   ∆ = − − − >  ⇔ ⇔   ≠    < −   (*) Với điều kiện (*), gọi 1 2 ;x x là nghiệm của ( ) 0f x = . Theo viet có: 1 2 1 2 3 2 3 2 x x m x x m + = −   = −  Tọa độ A, B là: ( ) ( ) 1 2 ; ; ;A x m B x m . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2AB x x x x x x = ⇔ − = ⇔ + − = ( ) ( ) 2 2 1 6 3 2 4 3 2 2 4 4 5 0 2 m m m m m ± ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = Đáp số: 1 6 2 m ± = a. Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 1 3 1 2 4 3 0 2 1 x x m x f x m x m x m x − + − = − + ⇔ = + + − + − = − ; với 1x ≠ Để hàm số (1) cắt đường thẳng ( ) 2 3y m x= − + tại 2 điểm phân biệt ( ) 0f x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 2 7 2 2 1 0 7 2 7 9 1 2 4 2 1 4 3 0 2 1 0 1 2 m m m m m m f m  + >  + ≠      − ⇔ ∆ = − − + − > ⇔  <       ≠    ≠ −     Với điều kiện trên, gọi 1 2 ;x x là nghiệm của ( ) 0f x = ( ) 1 2 3 1 2 2 1 m x x m − ⇒ + = − + Gọi 2 giao điểm là ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 3 ; ; 2 3A x m x B x m x − + − + . Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 3 of 5 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. Điểm ( ) 2;3M d∈ là trung điểm của AB ( ) 1 2 3 1 2 7 4 4 2 1 2 m x x m m − ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = − + Vậy 7 2 m = − Câu 3 : Cho hàm số ( ) 1m x m y x m − + = − ( ) m C Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a. 2 2 3 1 log 3 x m x + − = − b. 2 3 2 1 0 3 x m x + − + = − Giải: Số nghiệm của phương trình ( ) ( ) f x g m = là số giao điểm của đường cong ( ) y f x= và đường thẳng ( ) y g m= song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy. a) Vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 3 : 3 x C y x + = − như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của ( ) 3 C - kí hiệu là ( ) t C - Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu ( ) ' t C ( ) ( ) ( ) ' t t C C C ⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: 1 2 m ≤ phương trình vô nghiệm 1 ;2 2 m   =     phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 1 ;2 2; 2 m   ∈ ∪ +∞  ÷   phương trình có 2 nghiệm phân biệt b) Vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 3 ' : 3 x C y x + = − như sau: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 4 of 5 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. - Giữ nguyên nhánh phải của ( ) 3 C - kí hiệu là ( ) p C - Lấy ( ) ' p C đối xứng nhánh trái của ( ) 3 C qua trục hoành Ox ( ) ( ) ( ) ' p p C C C ⇒ = ∪ (Các bạn tự vẽ hình) Kết luận: 1 2 m ≤ − phương trình vô nghiệm 1 3 2 2 m− < ≤ phương trình có nghiệm duy nhất 3 2 m ≥ phương trình có 2 nghiệm phân biệt ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 5 of 5 . Bài 3 :Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. HDG CÁC BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC Câu 1 : Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = + (C) Tìm. chung của học trò Page 2 of 5 Bài 3 :Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt ( ) 0f x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt. m thảo mãn bài toán. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 3 :Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. c. Gọi 1 2 ;x x là 2 nghiệm của f(x). Giả sử