Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa A. Đặt vấn đề Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các bài toán tổng quát cho từng dạng. Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT” nhằm mục đích giúp HS phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn. B. Nội dung 1. Thực trạng của vấn đề Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể làm được. 2. Giải pháp thực hiện Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng. Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và ôn luyện theo từng dạng. 3. Phạm vi thực hiện: Sáng kiến kinh nghiệm 1 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm số. 4. Nội dung: Cho đồ thị (C): y= f(x). Gọi M 0 , M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Nếu cố định M 0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M 0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến (M 0 M) là tiếp tuyến (M 0 T) tại điểm M 0 . Tức là: 0 0 lim ( ) M M MM → = Tiếp tuyến M 0 T. Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm cho trước. Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm và cắt đồ thị tại hai điểm khác. Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4. Phương pháp giải bài toán 1: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C): y= f(x) có hệ số góc là f ‘ (x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ;y 0 ) của (C) là: y= f , (x 0 )(x- x 0 ) + f(x 0 ) Phương pháp giải bài toán 2: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x i suy ra f , (x i ) = k suy ra x=x i là nghiệm của f , (x) = k . Giải phương trình f , (x) = k ta tìm được các x i và viết được phương trình tiếp tuyến Sáng kiến kinh nghiệm 2 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Phương pháp giải bài toán 3: Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C) Để giải loại này có 2 phương pháp: 1.Phương pháp tìm tiếp điểm Phương pháp này có 2 cách Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành độ x i suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i ) (t) Do A(a;b) ∈ (t) nên b= f , (x i )(a- x i ) + f(x i ) suy ra x= x i là nghiệm của phương trình b= f ‘ (x)(a- x) + f(x) ⇔ f ‘ (x)(x-a) +b- f(x)=0(*) Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x ∈ { } xxxx ni , , , 10 Phương trình tiếp tuyến tại x= x i là: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i ) Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình: y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔ Hệ phương trình:      = +−= kx f baxkxf )( , )()( , có nghiệm Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x i và viết được phương trình tiếp tuyến: y= f , (x i )(x- x i ) + f(x i ) 2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép. Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình: y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): ⇔ k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình tiếp tuyến đi qua A Phương pháp giải bài toán 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax 4 +bx 3 +cx 2 +d (a ≠ 0) tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt Sáng kiến kinh nghiệm 3 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x 1 , x 2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép phân biệt x 1 , x 2 . Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta tìm được x 1 ,x 2 và phương trình tiếp tuyến. Sau đây là các dạng toán cụ thể: DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x 3 -3x+5 khi biết: 1) Hoành độ của tiếp điểm là x 1 =-1; x 2 =2; x 3 = 3 2) Tung độ của tiếp điểm là y 1 =5; y 2 =3; y 3 =7 Giải: Đạo hàm y’(x)=3x 2 – 3 1) x 1 =-1 ⇒ y 1= 53 1 3 1 +− xx ; y’(-1)=0. Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là: (t 1 ): y=y’(-1) ( ) [ ] 1−−x + y(-1) ⇔ y = 7 2) y 1 =5 ⇔ 3 1 1 3 5x x− + = 5 ⇔ x 1 ( ) 2 1 3x − =0 ⇔ x 1 { } 3,0 ±∈ Tiếp tuyến tại x 1 =0 là (t 1 ): y=y’(0)(x - 0) + 5 ⇔ y = -3x + 5 Tiếp tuyến tại x 1 = - 3 là (t 2 ): y = y’(- 3 )(x + 3 ) + 5 ⇔ y = 6x + 6 3 + 5 Tiếp tuyến tại x 1 = 3 là (t 3 ): y = y’( 3 )(x - 3 ) + 5 ⇔ y = 6x - 6 3 + 5 Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x 3 – 3x 2 + 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: 1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4 2. Parabol (p): y = -x 2 + 8x – 3 3. Đường cong (C): y = x 3 – 4x 2 + 6x – 7 Giải: 1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình: 2x 3 – 3x 2 + 9x – 4 = 7x + 4 ⇔ (x - 2)( 2x 2 + x + 4) Sáng kiến kinh nghiệm 4 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa ⇔ (x -2) 0 4 3 3 2 1 2 2 =         ++       + x x ⇔ x = 2. Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2) = 21(x - 2) + 18 = 21x - 24 Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 3 1 x Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 3 1 x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x 0 ⇒ y ’ (x 0 )=3 2 0 x -6 x 0 =-3 ⇔ 3(x 0 -1) 2 =0 ⇔ x 0 =1. ⇒ phương trình tiếp tuyến tại x 0 =1 là: y= -3(x-1)+y(1) ⇔ y= -3x+1 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 +1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x 0 ⇒ y ’ (x 0 )=3 2 0 x -6x 0 =9 ⇔ 2 0 x -2x 0 -3=0 ⇔ x 0 =-1 hoặc x 0 =3 Tiếp tuyến tại x 0 =-1 là y=9(x+1)-3 ⇒ y= 9x+6 Tiếp tuyến tại x 0 =3 là y=9(x-3)+1 ⇒ y= 9x-26 Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( 19 ;4 12 ) đến đồ thị (C) có phương trình: y=f(x)=2x 3 –3x 2 +5 Giải: Đường thẳng đi qua A( 19 ;4 12 ) với hệ số góc k có phương trình Sáng kiến kinh nghiệm 5 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa y = k(x - 4 12 19 + ) tiếp xúc với (C): y = f(x) ⇔ Hệ      = +       −= kxf xkxf )(' 4 12 19 )( có nghiệm ⇔+       −=⇒ 4 12 19 )(')( xxfxf 2x 3 –3x 2 +5= 6x(x - 1)(x- 12 19 ) + 4 0)1 2 17 4)(1() 12 19 )(1(6)12)(1( 2 =+−−⇔−−=−−⇔ xxxxxxxx        = = ⇒= ⇔ 8 1 2 1 3 2 1 x x x Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình: y= 2x 3 + 3(m-1)x 2 + 6(m-2)x-1 Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc với (C) y=f(x) ⇔ Hệ    = −= kxf kxxf )(' 1)( có nghiệm ⇔−=⇒ 1)(')( xxfxf ⇔=−− 0)(1)(' xfxxf x 2 [4x+3(m-1)]=0      − = = ⇔ 4 )1(3 0 2 1 m x x Từ )( , x f =6x 2 +6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra Với x 1 = 0 ⇒ f ’ (0)=6(m-2) ⇒ Tiếp tuyến (t 1 ): y= 6(m-2)x-1 Với x 2 = 4 )1(3 m− ⇒       − 4 )1(3 , m f = 8 3− (3m 2 -22m+35) ⇒ y= 8 3− (3m 2 -22m+35)x-1 Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x 3 -3x 2 +2 a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( 2; 9 23 − ) đến (C). Sáng kiến kinh nghiệm 6 Tiếp tuyến (t 1 ): y = y’(1)(x- 12 19 ) + 4 4=⇔ y Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: a. Đường thẳng đi qua A( 2; 9 23 − ) với hệ số góc k có phương trình: y= k(x- 9 23 )-2 tiếp xúc với (C) y= f(x) ⇔ Hệ phương trình:      = −−= kxf xkxf )( 2) 9 23 ()( , có nghiệm 2) 9 23 )(()( , −−=⇒ xxfxf ⇔ 0)(2) 9 23 )(( , =−−− xfxxf ⇔ 3x 3 -16x 2 +23x-6=0 (1) Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x= 3 1 Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t 1 ): y=y ’ (2)(x- 9 23 )-2 ⇔ y=-2 Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t 2 ): y=y ’ (3)(x- 9 23 )-2 ⇔ y=9x-25 Với x= 3 1 suy ra tiếp tuyến (t 3 ): y=y ’ ( 3 1 )(x- 9 23 )-2 ⇔ y= 27 61 3 5 + − x b. Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2) với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x) ⇔ Hệ phương trình:    = −−= kxf mxkxf )(' 2)()( có nghiệm 2))(()( , −−=⇒ mxxfxf ⇔ 0)(2))(( , =−−− xfmxxf ⇔ (x-2)[2x 2 -(3m-1)x+2]=0    =+−−= = ⇔ 02)13(2)( 2 2 xmxxg x Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với Ox Sáng kiến kinh nghiệm 7 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x 1 ;x 2 vuông góc với nhau. Ta có:-1= y’(x 1 ).y’(x 2 ) = (3x 2 1 - 6x 1 )( 3x 2 2 - 6x 2 ) = 9x 1 x 2 [x 1 x 2 – 2(x 1 +x 2 ) + 4] = 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m ⇒ m = 27 55 Với m = 27 55 thì ∆ g = (3m - 1) 2 – 16 > (3.2 - 1) 2 – 16 = 9 > 0 Vậy điểm M( 2; 27 55 − ) Bài 4: Cho hàm số y = -x 3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ A(a;0) Ox ∈ . Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x) ⇔ Hệ phương trình:    = −= kxf axkxf )(' )()( có nghiệm ⇒ f(x) = f’(x)(x - a) ⇔ f(x) – f’(x)(x- a) = 0 ⇔ 2x 3 – 3ax 2 + 3a + 2 = 0 ⇔ (x + 1)[2x 2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0 ⇔ (x + 1).g(x) = 0 Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1) ⇔     − <≠− > ⇔    ≠+=− >−+=∆ 3 2 1 2 0)1(6)1( 0)63)(23( a a ag aa Bài 5: Cho (C): y = x 3 -12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Sáng kiến kinh nghiệm 8 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Lấy bất kì M(m;-4) ∈ đường y = -4. Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) ⇔ Hệ phương trình    = −−= kxf mxkxf )(' 4)()( có nghiệm ⇒ f(x)= f’(x)(x-m) – 4 ⇔ f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0 ⇔ (x - 2)[2x 2 – (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0 ⇔ (x - 2)g(x) = 0 Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C) ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 2 ⇔     ≠< −< ⇔    ≠−= >+−=∆ 2 3 4 4 01224)2( 0)123)(43( m m mg mm Bài 6: Cho (C): y = x 3 – 6x 2 + 9x -1 Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). Giải: Lấy bất kỳ M(2; m) ∈ đường thẳng x = 2. Đường thẳng đi qua M(2;m) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x). ⇔ Hệ    = +−= kxf mxkxf )(' )2()( có nghiệm ⇒ f(x) = f’(x)(x - 2) + m ⇔ f(x) – f’(x)(x - 2) = m ⇔ g(x) = -2x 3 + 12x 2 – 24x + 17 = m Ta có g’(x) = -6(x - 2) 2 0≤ ⇒ Bảng biến thiên x - ∞ 2 + ∞ )( , xg - 0 - g(x) + ∞ - ∞ Sáng kiến kinh nghiệm 9 Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ ∈ đường thẳng x = 2 chỉ kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x). Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m)) ∈ (C): y = f(x). Đường thẳng đi qua M(m;f(m)) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C). ⇔ Hệ    = +−= kxf mfmxkxf )(' )()()( có nghiệm ⇒ f(x) = f’(x)(x-m) + f(m) ⇔ f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0 ⇔ (3ax 2 + 2bx + c)(x-m) – [a(x 3 – m 3 )] + b(x 2 – m 2 ) + c(x - m)] = 0 ⇔ (x - m)[2ax 2 – (am – b)x – m(am + b)] = 0 ⇔ (x - m) 2 [2ax + (am + b)] = 0      + = = ⇔ a bam x mx 2 2 1 Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ x 1 = x 2 ⇔ a b mbam a bam m 3 3 2 )( − =⇔−=⇔ +− = Vậy M( ) 3 (, 3 a b f a b −− ) ∈ (C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0 ⇒ Điểm uốn ; ( ) 3 3 b b U f a a − −    ÷   Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị. Bài tập tự luyện: Sáng kiến kinh nghiệm 10 [...]...  g (0) = 25 ≠ 0  Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số y = x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x−2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5) Bài 2: Cho hàm số y = x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x −1 tại giao điểm của đồ thị với trục tung DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1 Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y =... = −8 x − 1  Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số: y = x 4 − 4 x 2 + 4 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(0;4) 1 2 3 2 Bài 2: Cho hàm số: y = x 4 − 3x 2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) 3 2 đi qua điểm A(0; ) DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ... Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Bài 1: Cho hàm số: y = x3 − 3x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = −1 x +1 9 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 − 3x 2 + 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0 Bài 3: Cho hám số: y = − x3 + 3x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường... duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến Kết quả thu được ở hai lớp như sau: Lớp C1 C3 C Kết luận: Giỏi 10% 25% Khá 62% 35% Trung bình 28% 32% Yếu 0% 8% Các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng đối với học sinh, nó chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi Mục đích của đề tài này là giúp học sinh có kỹ năng giải các bài toán liên quan đến phần tiếp tuyến Trên đây là một số dạng... hai tiếp tuyến ⊥ nhau đến (C) 22 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Bài tập tự luyện: 1.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(1;1) đến (C): 2 Cho đồ thị (C) y = x 2 − 4x + 5 y= x−2 x2 + x − 2 Tìm các điểm A ∈ Ox kẻ được hai tiếp tuyến x+2 đến (C) 5 Hiệu quả đạt được Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư duy khi làm các bài toán về. .. ⇒ tiếp tuyến: y = f(0).x + 4 ⇔ y = 4 Tại x2 = 2 3 ⇒ 2 3 − 16 3 x+4 tiếp tuyến: y = f( )x + 4 ⇔ y = 3 3 9 Tại x3 = −2 3 ⇒ −2 3 16 3 tiếp tuyến: y = f( )x + 4 ⇔ y = x+4 3 3 9 14 Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – 4x3 + 3 Viết phương trình tiếp tuyến tiếp. .. Thiệu Hóa Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x 4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyên với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) ⊥ với nhau Giải: Do A(1;0) ∈ (C); B(-1;0) ∈ (C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1 ⇔ -16m2 + 32m – 15 = 0 ⇔ m = 5 3 hoặc m = 4 4 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của... đến phần tiếp tuyến Trên đây là một số dạng toán mà tôi thấy phù hợp đối với tất cả các học sinh đặc biệt là những học sinh khá, và giỏi, nhằm ôn luyện cho học sinh để từ đó học sinh có thể định hướng cho các bài toán khác Khi làm đề tài có những vấn đề chưa hợp lí, rất mong được sự góp ý của các thầy cô để việc dạy học có được hiệu quả cao hơn Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012 Người viết Đinh Văn Ba 23 Sáng... 2 2 2 2 3 2 2 3 2 ⇒ y0 = ⇒ M 2 ( −1 + , ) 2 2 2 2 Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài 1: Cho (C): y = x 2 + 3x + 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc x+2 với đường thẳng ( ∆ ): 3y – x + 6 = 0 Giải: Do hệ số góc của ( ∆ ): y = 1 1 x − 2 là nên tiếp tuyến ⊥ (∆) có hệ số góc là 3 3 (-3) Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C) ⇔ x 2 + 3x + 3 = −3 x + m có nghiệm... -11; m = -3 ⇒ Có 2 tiếp tuyến ⊥ (∆) là y = -3x – 11 và y = -3x – 3 2x2 − 7x + 7 Bài 2: Cho (C): y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song x−2 song với đường thẳng y = x + 4 Giải: y= 1 2x2 − 7x + 7 = 2x – 3 + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương x−2 x−2 trình y’(x) = 1 ⇔ 2 - x = 1 1 =1⇔  ( x − 2) 2 x = 3 Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3 Tiếp tuyến tại x = 3 có . vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT nhằm mục đích giúp HS phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn. B. Nội dung 1. Thực. một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp tuyến là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các. cát tuyến (M 0 M) là tiếp tuyến (M 0 T) tại điểm M 0 . Tức là: 0 0 lim ( ) M M MM → = Tiếp tuyến M 0 T. Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến