Các phương pháp chứng minh BĐT 1 (phần 1) Các phương pháp chứng minh BĐT 2 Chương I Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó để chứng minh BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng: • Dạng 1: 2 a b ab + ≥ với a,b là các số không âm • Dạng 2: 2 2 2 a b ab + ≥ với mọi a,b Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là: • Hệ quả 1: 2 2 2 2( ) ( ) 4 a b a b ab + ≥ + ≥ với mọi a,b • Hệ quả 2: 1 1 4 a b a b + ≥ + với a,b dương • Hệ quả 3: 2 a b b a + ≥ với a,b dương I.Các bài toán cơ bản Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 1) 4 2) 8 3) 2 2 2 8 a b a b b c c a abc a b a b c b c a c a b a b b c c a   + + ≥ + + + ≥     + + + + + + ≥ + + + Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 a b c a b c ab bc ca + + ≥ + + ≥ + + Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 4 4 6 6 6 1) 2) 4 8 3) 32 a b a b a b a b a b a b + + + ≥ + ≥ + + ≥ Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh: 1 1 1 2 2 2 1) 2) 4 a b c a b b c c a b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + + +   + + ≥ + +   + + +   Các phương pháp chứng minh BĐT 3 Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh: ( ) 1 1 1 1) 9 2) 1 1 1 3) bc ca ab a b c a b c a b c a b c a b c bc ca ab a b c   + + + + ≥ + + ≥ + +     + + ≥ + + Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 1) 2) 4( ) 3) 2 2( ) a b a b a b a b a b b a b a a b a b b a + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + II.Các bài toán nâng cao Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 25 1 1 25 1) 2) 2 2 1 1 25 1 1 25 3) 4) 4 4 a b a b a b b a a b a b a b b a         + + + ≥ + + + ≥                       + + ≥ + + ≥             Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh; 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 1 1 1 2) 3 ( 1) 2 a b c a b c b c c a a b abc a b c a b c b c c a a b abc + + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + = + + + Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 2) 3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 1 1 3) 2 2 2 4 4 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b b c c a a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≤ + + + + + + + + ≤ + + + + + + + ≤ + + + + + + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 4 Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có: 3 3 1) 2 3 2) 2 a b c a b c m m ma b c m m m a b c + + ≥ + + ≥ Với , , a b c m m m là trung tuyến của các cạnh tam giác. Chương II Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để chứng minh Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT Cauchy bốn số và n số. I.Các bài toán cơ bản Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1) 9 2) 16 a b c a b c d a b c a b c d     + + + + ≥ + + + + + + ≥         Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( ) 3 1) 2 2) 2 2 2 64 1 1 1 3) 1 1 1 64 ( 1) a b c b c a c a b a b c b c a c a b abc a b c a b c + + ≥ + + + + + + + + + ≥     + + + ≥ + + =         Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1) 3 2) a b c a b b c c a abc a b c a bc b ca c ab + + ≥ + + ≥ + + ≥ + + Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: Các phương pháp chứng minh BĐT 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1) 2) 3) a b c a b c ab bc ca a b c b c a b c a a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1) 2) a b c a b c b c a a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 2 3 1) 2) a b c a b c b c a abc a b c ab bc ca b c a abc + + + + ≥ + + + + ≥ Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứ ng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a   + + ≥     II.Các bài toán nâng cao Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 2 3 1) d 2) d a b c a b c b c abc a b c ab bc ca b c abc + + + + ≥ + + + + ≥ Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a   + + ≥     Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh: 6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2 a b c d a b c b c d c d a d a b + + + ≥ + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 6 Chương III Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép: Cho một số nguyên dương 2 n ≥ và hai dãy số thực 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b thỏa mãn điều kiện: 1 2 n a a a ≥ ≥ ≥ và 1 2 n b b b ≥ ≥ ≥ . Khi đó ta có: ( )( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 n n n n a b a b a b a a a b b b n + + + ≥ + + + + + + Hay ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≥ + + + + + + Bài tập: Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a b a + + ≥ + + + ( BĐT Nesbit) Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 3( ) 2) 2 a b c a b c b c c a b a a b c a b c b c c a b a + + + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 1 a b c + + = Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 a b b c c a P b c c a a b + + + = + + + + + Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 a b c a b c abc    + + + + ≥    + + + +    Các phương pháp chứng minh BĐT 7 Chương IV Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh BĐT Để chứng minh bất đẳng thức A B ≥ , hay 0 A B − ≥ , ta tìm cách biến đổi biểu thức A B − thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu thức bình phương. I.Các bài toán cơ bản Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1) 2) 3 3) 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c a b c + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 2 2 2 1) 2) 3 bc ca ab a b c a b c bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + + + ≥ + + Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1) 8a 2) 9a a b b c c a bc a b c ab ba ca bc + + + ≥ + + + + ≥ Bài 4.4: Chứng minh 3 3 3 3a a b c bc + + ≥ với 0 a b c + + ≥ Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 6 1 1 1 9 2) a b b c c a c a b a b c a b c + + + + + ≥ + + ≥ + + Các phương pháp chứng minh BĐT 8 II.Các bài toán nâng cao Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho , , a b c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b c a b c b c a b a c c a c c b a + − − + + + − + − + + − + − ≥ Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a b c ≥ ≥ . Chứng minh: 3 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 a b c abc − − − ≤ − Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác . Các phương pháp chứng minh BĐT 1 (phần 1) Các phương pháp chứng minh BĐT 2 Chương I Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó để chứng minh BĐT. để chứng minh BĐT Để chứng minh bất đẳng thức A B ≥ , hay 0 A B − ≥ , ta tìm cách biến đổi biểu thức A B − thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu thức. Các phương pháp chứng minh BĐT 8 II .Các bài toán nâng cao Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + Bài 4.7: Cho a,b,c là các số