Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy) 6) Trong mp Oxy cho ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là ! " # $ %&'(')*+, ptrình đường cao BH: )&,('-*+./cạnh AB đi qua M ! -0,- $ 1 Tìm phương trình AC. ĐS: &')('2*+1 7) Cho ABC có điểm A!)03$, trọng tâm G(2;0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên 2 đthẳng " # %&'('4*+ và " 5 %&')(, 2*+. Viết p trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG. ĐS:6 ! ,-0,7 $ .8 ! 40- $ . ! 8 $ % ! &,4 $ 5 ' ! (,- $ 5 * 9# 5: 1 8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ;!/,/-0/-$1 Gọi N là trung điểm cạnh AC. Biết phương trình đường trung tuyến BN là &/,/<(/,/3/*/+ và đường cao AH là 7&/=/(/=/-/*/+. Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. ĐS:AB là: x – y + 2 = 0. AC là 3x + 2y – 9 = 0. 9) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao >> # %)&,('-*+. đường trung tuyến 6;%('3* +. đường trung trực cạnh AB là "%/&/'/(/'/)/*/+. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. ĐS: ? ! ,-0,- $ 1 10) Cho tam giác cân có cạnh bên và một cạnh đáy có phương trình: AB: &')(,-*+0/68%3&,('4*+1/Lập phương trình cạnh bên còn lại biết nó đi qua điểm ; ! -0,3 $ 1/ Giải: Phương trình AC: @ ! &,- $ 'A ! ('3 $ *+B@&'A('3A,@*+. !@ 5 'A 5 C+$. >68 cân tại A nên DEF!>6068$*DEF!>8068$G H I1#J#15 H K I L M# L 1 K # L M5 L * H I1NJ#1O H K I L M# L 1 K N L MO L G4 ! 3@,A $ 5 *@ 5 'A 5 G )A 5 ,-4@A'))@ 5 *+1 Nếu @*+PA*+/(loại). Nếu @C+ thì )Q O N R 5 ,-4Q O N R'))*+GS A* ## 5 @ A*)@ / . Trường hợp 1: A* ## 5 @ chọn @*)0A* /ta được phương trình AC: )&' ('3-*+. Trường hợp 2: A*)@ chọn @*-0A*)/ta được phương trình AC: &')('4*+/(loại do song song với AB)1N Từ đó có thể làm các bài: 11) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: &,)('-*+1/ Ptrình BD: &,2(' -7*+./đường thẳng//>8/đi qua/;!)0-$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: > ! 30) $ .6Q 5# : 0 #I : R.8 ! 703 $ TQ #U : 0 #5 : R1 12) Cho hình vuông ABCD có đỉnh > ! ,704 $ và một đường chéo có phương trình: 2&,('V*+1 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông ABCD. ĐS: 7&'3('-*+03&,7('3)*+03&,7('2*+07&'3(,)7*+1 13) Cho tam giác ABC có diện tích W* I 5 .> ! )0,3 $ .6 ! 30,) $ 1 Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng (d):/3&,(,V*+1 Tìm tọa độ đỉnh C. Giải: >6 X X X X X Y * ! -0- $ P/Z [\ X X X X X X Y * ! -0,- $ .>6* ] ). Phương trình AB: - ! &,) $ ,- ! ('3 $ *+G&,(,4* +1 ^_ ! " $ /nên ^ ! `03`,V $ 1 Do G là trọng tâm nên ta có:a & [ '& \ '& b *31& c ( [ '( \ '( b *31( c / Ga & b *31`,4 ( b *d`,-d / P8 ! 3`,40d`,-d $ 1 Mà: W* # 5 >61" ! 80>6 $ * I 5 G" ! 80>6 $ * I ] 5 G H IeJ:J ! feJ#f $ J: H ] 5 * I ] 5 G H 3,)` H *-Gg `*-P8!,)0,-+$ `*)P8!-0,-$ / . 14) Cho hai đường thẳng " # %/&,(*+ và " 5 %/)&'(,-*+. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh >_ " # , đỉnh C _" 5 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. ĐS: > ! -0- $ .6 ! +0+ $ .8 ! -0,- $ 0T ! )0+ $ h@(/> ! -0- $ .6 ! )0+ $ .8 ! -0,- $ 0T ! +0+ $ . 15) Trong mặt phẳng Oxy cho >!+0)$ và đường thẳng d: &,)(')*+1/Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và >6*)68. 16) *Viết p trình 4 cạnh hình vuông biết 4 cạnh lần lượt qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- 2 ; - 2) và L(2 ; - 4). Giải: ( d ) L C A B C H M G 1) Cho % @& ' A( * i P # / qua ; ! & j 0 ( j $ k l / # o / i p / r` % @ ! & , & j $ ' A ! ( , ( j $ * + / ! # $ 1 Nếu 5 / qua ; ! & j 0 ( j $ k l / 5 s / i p / r` % A ! & , & j $ , @ ! ( , ( j $ * + / ! 5 $ . 2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là 68s>?, nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phương trình đường thẳng BC. (68s>?BZ \b X X X X X X X Y sZ [t X X X X X X X Y ) 3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM. 4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác u b thì thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm cho trước thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC. Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua u b sẽ nằm trên BC và ngược lại. Nếu đề cho phương trình AC, phương trình u b thì ta suy ra tọa độ điểm C và viết được phương trình BC nhờ công thức DEF!680u b $*DEF!u b 0>8$. 5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và >8s!"$. 6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình): a & [ ' & \ ' & b * 3 1 & c ( [ ' ( \ ' ( b * 3 1 ( c / 1 ( d ) ( d' ) (loại do // AB). A B C M PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc. F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 P t AB qua I : ax + by – 2b = 0,pt CD qua K : ax + by + 2a + 2b= 0,pt BC qua J : bx – ay – 5b – 3a =0, Pt AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = 0. Ta có " ! v.8T $ *" ! w.>T $ G H UOM5N H K N L MO L * H IOJN H K O L MN L Gg A*,3@%ihọZ/@*-0A*,3 @*,2A%ihọZ/@*20A*,- / 1 ĐS% AB:x-3y+6=0, , hay AB:, 17) ABC có >6*>8, 6>8 x *d+ j . ;!-0,-$ là trung điểm BC và ^Q 5 I 0+R là trọng tâm. Tìm A, B, C. ĐS:B(4;0), C(-2;-2)1 18) Trong mặt phẳng Oxy cho >68 có >6%&,)('<*+.>8%&')(')*+. tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là v ! )0- $ 1 Viết phương trình cạnh BC biết BC song song với đường thẳng d: )&,('-*+1 ĐS: lưư ý " ! v.68 $ *" ! v.>6 $ và />.v//cùng phía với BC, nếu A, I trái phía với BC thì I là tâm đường tròn bàn tiếp của tam giác ABC. pt BC: )&,(,d*+1 3) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua M (3;0) và cắt đường tròn (C):& 5 '( 5 ')&,7(,)+*+/theo/một dây cung AB có độ dài: a) Lớn nhất, b) Nhỏ nhất. Giải: (C) có tâm v ! ,-0) $ kl/y*4. a) AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C). Do đó ! $ là đường thẳng đi qua 2 điểm M, I. Phương trình của đường thẳng ! $: zJz { z | Jz { * }J} { } | J} { G zJI J#JI * } 5 G&')(,3*+1 Có thể viết bằng cách ;v X X X X X Y * ! ,70) $ PZ ~• X X X X X X Y * ! -0) $ Pr`/;v%&')(,3*+1/b) ẽ/v?s>6. Dây AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Ta có :v?!v;*) ] 4/(đường vuông góc luôn bé hơn đường xiên)Pv? "Nz *) ] 4 khi ? #; , suy ra đi đường thẳng ! $sv; tại M hay đường thẳng ! $ đi qua M có VTPT: Z X X X X Y *;v X X X X X Y . Phương trình ! $: ,7 ! &,3 $ ') ! (,+ $ *+G)&,(,<*+1 4) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua ;/!,-0,3$ và cắt đường tròn (C):/& 5 '( 5 ,)&'7(,7*+/, có tâm I tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác AIB có diện tích lớn nhất. Giải: (C) có tâm v ! -0,) $ kl/y*3. Phương trình đường thẳng ! $ :@ ! &'- $ 'A ! ('3 $ *+G@&'A('@'3A*+/ ! @ 5 'A 5 C+ $ . Diện tích >68% W* # 5 v>1v61F$%>v6/ x * f 5 1F$%>v6/ x ! f 5 1PW "Nz * f 5 GF$%>v6/ x *-G >6v/vuông cân/tại I. ẽ/v?s>6 /Pv?* & ] 5 G" ! v0 $ * I ] 5 G H N1#MO ! J5 $ MNMIO H K N L MO L * I ] 5 G 2A 5 ,V@A'@ 5 *+1/ Nếu @*+ thì A*+/ ! '(ạ) $ 1/Nếu @C+ thì 2Q O N R 5 ,VQ O N R'-*+G* O N *-0ihọZ/@* A*- O N *2%ihọZ/@* A*2 / . Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: ! # $ %&'('7*+. ! 5 $ %2&'('-+*+1 * Lưu ý*:a) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB vuông cân G+ ! ,. $ * - ] . G/ b) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB đều G+ ! ,. $ *,0* ,1 ] 2 . * - ] 2 . G/ c) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho 13*4G+ ! ,. $ *,0* 5 - . ,Q 4 . R . 1 d)Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho +6 ! 1,3 $ *7P89:1,3 x P/;<81,3 x /P;<81,0 x P,01 ê TIẾP TUYẾN: Dạng 1: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước. Ex: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : & 5 ' ! (,- $ 5 *)4 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 ( hoặc song song với đường thẳng 4x+3y=0). Lúc đó R B A I H êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. [é“Thần chú”: Để viết đường thẳng /tạo (hoặc cắt hoặc tiếp xúc) với đường tròn một tam giác hay thỏa bất cứ điều kiện nào thì chỉ cần biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng là xong é[ 1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) và chắn trên đường thẳng ! $ :&,)('7*+ một dây cung có độ dài bằng 4. Giải: Kẽ v?s>6P? là trung điểm của AB. P?>*).v?*" ! v. $ * ] 4Py* ] v? 5 '?> 5 *3Pr`/ ! 8 $ % ! &,3 $ 5 ' ! (,- $ 5 *d1/ 2) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua gốc O và cắt đường tròn (C): ! &,- $ 5 ' ! ('3 $ 5 *)4 theo/một dây cung có độ dài bằng 8. Giải: (C) có tâm v ! -0,3 $ kl/y*4. Phương trình đường thẳng ! $ đi qua gốc O : @ ! &,+ $ 'A ! (,+ $ *+G@&'A(*+/ ! @ 5 'A 5 C+ $ 1/ ẽ/v?s>6P ?/=l/>?@%A/B$ểC/Dủm/DE1P?>*7.v?*" ! v. $ * ] y 5 ,?> 5 *3G H NJIO H K N L MO L *3G7@ 5 '3@A* + G S @ * + % i h ọ Z / A * - @ * , I U A % i h ọ Z / A * 7 0 @ * , 3 / 1 / Vậy có 2 đường thẳng cần tìm % / # % ( * + 0 5 % 3 & , 7 ( * + 1 / B A B A I M H PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com . Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: &,)('-*+1/ Ptrình BD: &,2(' -7*+./đường thẳng//>8/đi qua/;!)0-$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ. " # %/&,(*+ và " 5 %/)&'(,-*+. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh >_ " # , đỉnh C _" 5 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. ĐS: > ! -0- $ .6 ! +0+ $ .8 ! -0,- $ 0T ! )0+ $ h@(/> ! -0- $ .6 ! )0+ $ .8 ! -0,- $ 0T ! +0+ $ Tăng Bạt Hổ 054.3931305__054.3811471__0935961321 êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy) 6) Trong mp Oxy cho ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là ! " # $ %&'(')*+,