Thông tin tài liệu
NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn MỤC LỤC PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1 CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 I. Bất đẳng thức AM-GM 1 II. Các bất đẳng thức phụ hay dùng 1 III. Một số bài toán sử dụng AM-GM thông thường: 2 A. Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM 2 B. Sử dụng hằng đẳng thức: . 2 C. Sử dụng các bất đẳng thức phụ 4 D. Vài bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức AM-GM 6 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 9 I. Kĩ năng dự đoán điểm rơi: 9 II. Kĩ năng biến hóa: 13 $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU 17 CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23 $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23 I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23 II. Một số dạng hay dùng trong đề thi đại học 23 III. Một vài ứng dụng 23 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 28 I. Làm quen với dạng biểu diễn khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28 II. Kĩ thuật chọn điểm rơi 29 III. Kĩ thuật thêm bớt 32 IV. Kĩ năng đưa về đại lượng giống nhau 34 V. Kĩ năng đổi biến số 36 VI. Kĩ năng nhân; chia đại lượng vào tử và mẫu 38 VII. Kết hợp nhiều kĩ năng 39 PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 54 $3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 59 PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ 62 $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN 62 $2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG 66 $3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN 69 $4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 71 PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN 73 $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN 73 $2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN 82 I. Kĩ thuật dồn biến 82 II. Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đằng thức phụ và những ý tưởng nhỏ 87 PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 96 I. Dạng sử dụng các loại bất đẳng thức 98 II. Phương pháp dồn biến trong bất đẳng thức lượng giác 101 PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI 107 1. Một số tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 107 2. Sử dụng tam thức bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 108 3. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh các bất đẳng thức 116 4. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 132 PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC 136 $1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT 136 I. BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 136 II. BÀI TOÁN II: TỬ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 140 III. BÀI TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 144 IV. BÀI TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 148 V. TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL 151 VI. KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS 154 $2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” 156 PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC 162 $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” 162 $2: 131 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI 168 $3 : TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2005 – 2014 240 $4 : BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG 252 PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG 257 $1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG 257 1. Phương pháp S.S 262 2. Phương pháp S.O.S hoán vị 265 $ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG 267 I. Bất đẳng thức Jensen tổng quát 267 II. Bất đẳng thức Karamata 269 III. Bất đẳng thức Muirhead 270 $3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR 272 PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ. 276 PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295 $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295 $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301 I. Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân 301 A. Cơ sở lý thuyết 301 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn B. Bài tập minh họa 301 II. Sử dụng dãy số để chứng minh một số bất đẳng thức ba biến đối xứng 305 $3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN 308 I. Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến 308 II. Bất đẳng thức n biến 314 PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC 324 PHẦN A. ĐỀ BÀI 324 PHẦN B. LỜI GIẢI 328 PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN KHÓ 354 $1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) 354 $2: BÀI TẬP TỔNG HỢP 380 $3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 434 PHỤ LỤC I : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ 437 PHỤ LỤC II : MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC 443 PHỤ LỤC III : TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 446 TÀI LIỆU THAM KHẢO 455 LỜI KẾT 456 PHN VIII: BNG THC CHN LC $1: CHIA S KINH NGHIM T M Phn này tôi s xoay quanh mt bài toán t ng hp mt s kin thc quan trng cho các bn ! Bài toán 1: Cho Tìm giá tr nh nht ca: : Khi gp bài toán này, bu tôi mun bn bit. Khi gp mt bài toán bng thc, ng có hong s, c gng vch ra nhng mà mình có th n vông khi mà b Vi bài toán 1, tôi thy ngay mu tiên: o hàm cho tng bin, bi l các bin x, y, z không ràng buc vào nhau bi mng th, nó li quá phc tp cho vic xét du co hàm. V, hay nói cách khác, ta phi làm gì bây git phi làm gì, các bài toán bng th: 1. , mc ni gi thit và kt lun vi nhau. 2. Th d u bng xy ra. 3. La ch: 1. Công c mnh: n bin. Bng thc Schur. 2. Bng thc c n: Bng thc Cauchy Bng thc Cauchy-Schwarz Bng thc Holder Bng thc Jensen 3. Phi h: Tách, ghép, i bin, bng thc ph, các bài toán, nó ch na u mà tôi nhn mnh : ch không phi là tt c. Ví d c hai, d u bng, rt nhii nói rng: d c du bng có th coi i quyc 50% bài toán. : c khi d , ta ct câu hi: D u b làm gì (m); d ( sai), nhng bài toán nào nên d (ng) tr li nhng câu hi này, tôi s t s ch tiêu sau: - Mt là: Ch nên d ng bài có hình thn, mc tiêu không b tn quá nhiu vào vic d bài toán 1 trên chc ch u vào vic tìm du bng x vy, cn nhn mnh mc tiêu mt: nên d u bng hay không? - Hai là: Theo kinh nghim tôi thy, hu ht các bài toán có du bng xy ra khi: Hoc là mt bin ti biên. (nm gi thit). Hoc là hai bin bng nhau. y, ta ch còn mt bin, tìm ra du bng d i là tt c. - Ba là: D du b làm gì? (mc tiêu). Thì khi b, tng bng thc trong bài, sau khi vit, bn phi kim tra nó có xy ra du bng hay không? Ví d u bng xy ra khi mt trong ba bin x, y, z bng 0 mà bn li xut hi0 trong bng Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thc thì chc chn rng bn làm kia thì li gii s vn sai. Kinh nghim này bn s thy rõ cân bng h s. c ba, a tôi là: t công c mn công c yu. Ti sao tôi l th? gin là ta phnh mc tiêu ca ta: gii quyt bài toán ch không phi tìm ra li gii bài toán . Hai nào? Ý mà tôi mun bn hiu là: + Gii quyt bài toán: là tìm ra kt qu bài toán, tìm ra cách chng minh kt lu n cht . Tc là, dù cách gii dài hay ngn logic. + Tìm ra li gii bài toán: i quyt bài toán, tc là ta phi tìm ra li gii hay, p mt, nhiu khi không theo mt suy lun logic nào c. Chc chn rng, tìm ra li gii s phc ti quyt bài toán. Trong kì thi tuyi hc, th mà chúng ta ci quyu bn nm rõ gc gác v thì ch cn suy lun thông ng tìm ra gi. Tuy nhiên, c ba này, ph, ví d cho bng thc hai bii xng thì ch t dn bin, u mà tôi mun nhc nh: ng quá quy tc, hãy càng linh hot càng tt. Vi mng công c, ta cn chn công c nào cho hp lý???? Quay li bài toán 1, b? ng i mt ln: Toán hn là công thc, mà còn là s tinh t và li Sau mt th, ta có cách bii kinh hoàng: , bài toán 1 tr thành: Bài toán 2: Cho Tìm giá tr nh nht ca: Quá quen thui (*)? là nh vào gi thit , s xut hin nhiu ln ca tích xyz cùng vi s m, nhy cm. Bài toán 2, i gi: Li gii 1: Áp dng bng thc Cauchy-Schwarz dng phân s: Áp dng bng thc ph: Dy ra khi: Các b ng li gii trên i sao ta có li gii này. Vì nó quá quen thuc, xut hin quá nhiu ln? Th , tôi khnh rng: Chúng ta ni gii quyc bài toán. (xem li khái nim gii quyt ra nhé). Bn cht li gic hé m. Hãy quay lm. u tiên mà tôi thy, chc chn rng các bin a;b;c không ph thuc vào nhau, ng o hàm theo bin là không th b qua ! Li gii 2: Gi s Ta xét: Suy ra: ng bin trên Xét hàm s f(x) trên có: , c: Bài toán có các bic lp vi nhau ta có th d làm gim bin s. Tip tng gim bin s, ta có mt mnh: Li gii 3: t: Xét hiu: Xét hàm s f(x) trên có: Lp bng bic: Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Li gii c hai cách khá rõ ràng. Cách ba chính là s dng dn bin: Khá quen thuy. Nh: Bài toán ba bin, i xng, hình thn, có th n bin. (m mt bin) ng th ng thi có rt nhiu i xng, ta có mt li gii: Li gii 4: Xét hiu: Li gin và ngn gn, d i xng, c bing phân thc, có du bng ti các bin bng nhau có m s d Khi các bin di xng, ta vn còn m: Li gii 5: t: Theo bng thc Schur bc ba ta có: Li có: , ta có: i xng ba bin, i bi dùng bng thc Schur. Khi hc v n, t ví d, ta th áp dng xem cho bài này c không? Tìm s có: , ta có li gii 6 : , n là áp dng bng thc Cauchy: ng thêm hai ln na rng ba bng thc lc: Quay sang mt góc nhìn hoàn toàn khác vi s c lp, i xng ta còn thy bng thc trên là bng thc cùng bc. Vì vy ta có th gi s: Bài toán có dng: ta có th gi s mng thích hp không i. , bài toán 2 tr thành: Cho Tìm giá tr nh nht ca: Có bao nhiêu li ging bài tp này. Chc chn ri, s có ít nh: Li gii 7: Ta chng minh: Tht vy ta có: Áp dng (*) ta có: Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Bài toán có g(a) + g(b) + g(c)=0, và cn chng minh: f(a) + f(b) + f(c) ta có th : Li gii 8: , theo bng thc Jensen ta có: Bài toán có tng hoc tích a;b;c và có f(a) + f(b) + f(c), ta có th i bng thc Jensen. Bài toán 1 quy v bài toán 2. Bài toán 2 li có nhng 7, 8 li gii vi nhng khác nhau hoàn toàn. Mng là s t mt công c, cn qquan sát tinh t, suy lun theo li mòn, ri s dn tóng khung trên là mc c ý, chính là ôn li mt s dc h, tip ti là 123 bài toán khin bn có cái nhìn khác v bng thc. Còn na. [...]... bởi sự xuất hiện của đại lượng (1 z z 2 ) , và (1 x x 2 )(1 y y 2 ) là tham số Nếu ta đánh giá được (1 x x 2 )(1 y y 2 ) về một biểu Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức phụ thuộc vào xy thì khả năng thành công khi dùng phương pháp tam thức bậc hai sẽ cao hơn, bởi khi đó cả vế trái và vế phải đều là biểu thức bậc hai theo biến z và tham số xy Ta hãy thử xem sao? Một lẽ tự nhiên... xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Sử dụng Bất đẳng thức giải một số bài toán Vật lí Bài 1 Một điện trở R 9 được cắt thành 9 điện trở nhỏ Với R1 R3 R9 , R2 R4 R5 , R6 R7 R8 được lắp vào mạch như hình vẽ Biết hiệu điện thế đặt vào hai đầu đoạn mạch là U 6V không đổi Xác định giá trị các điện trở được cắt ra để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là... giản nhưng thực hiện thì không hề dễ Một bài toán luôn có nhiều phương pháp giải, nhưng bạn đã tự đặt câu hỏi tại sao người ta hình thành ra những phương pháp đó chưa? Thì với bất đẳng thức hai biến, đại đa số là được hình thành từ cách giải hệ phương trình hai ẩn số? Vì sao vậy? Chúng ta cùng tìm hiểu chúng xem sao nhé $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN Tư tưởng chung: Từ điều kiện bài toán rút một biến... đọc hãy thử sức giải bài toán này theo cách khác), nhưng phương pháp tam thức bậc hai đã thể hiện được hiệu quả của nó Lần đầu tiên tôi gặp bài này, tôi đã giải nó cũng bằng phương pháp tam thức bậc hai nhưng lời giải dài dòng và phức tạp hơn Tôi xin trình bày lại lời giải đó cho mọi người tham khảo, và thấy được tính đặc sắc của phương pháp này Sau khi khai triển, rút gọn thì bất đẳng thức cần chứng... 0 và có biệt thức là (c d 2b)2 2[(b c d )2 3(b2 c2 d 2 )] (c b)2 (d b)2 2(c b)(d b) 2(c d )2 3(c d )2 0 Vậy nên f (a) 0, a, b, c , d R Còn nữa… Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Bất đẳng thức hai hay nhiều biến số gần đây xuất hiện thường xuyên trong đề thi đại học Và về bất đẳng thức hai biến sẽ là rất đơn giản...3 Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 chứng minh các bất đẳng thức Ngoài khả năng tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, phương pháp tam thức bậc hai còn dùng để chứng minh một số bất đẳng thức Chúng ta cần nhớ lại rằng Với tam thức bậc hai f ( x ) ax 2 bx c với... − 2√3x − 2 + 4 1 2 2 5 5 Với − 6 ≤ x ≤ thì 3 ≤ < ≤ 2 3 3 ( √3x − 2) − 2 √3x − 2 + 4 7 12 √6 − 5x + 4 GTLN của P = Do đó f ′ (x) = 0 ⟺ x = −2 Lập bảng biến thiên cho f(x) trên − 6 ≤ x ≤ 1 ta được: 3 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn 1 26√39 f(x) ≥ f ( ) = 19 + { 3 9 3 f(x) ≤ f(−6) = 752 + 60 √20 Vậy ta có kết luận: 26√39 1 khi x = , y = −2 9 3 −21 3 GTLN của P = 752 + 60√20 khi x = −6, y = 20 Nhận... Suy ra: f ′ (x) = 0 ⟺ x = 1 Lại có: x ≥ y ⟺ x ≥ 1 ≥ y ⟺ ln x ≥ 0 ≥ ln y ⟹ x y ln x ≥ y x ln y x ≤ y ⟺ x ≤ 1 ≤ y ⟺ ln x ≤ 0 ≤ ln y ⟹ x y ln x ≤ y x ln y Như vậy: y x ln y − x y ln x ≤ 0 ⟺ x ≥ y (∗∗) Công phá Bất đẳng thức Do đó, kết hợp (∗); (∗∗) ta có: Lovebook.vn x ≥ 1 ⟺ x ≥ y ⟺ f ′ (x) ≤ 0 Do đó: f ′ (x) = 0 ⟺ x = y = 1 Từ đó, lập bảng biến thiên, ta thu được: P = f(x) ≤ f(1) = 2 Còn nữa… PHẦN X:... 0 hoặc các hoán vị a 1 b3 b 1 c3 c 1 a3 Ví dụ 2 (Trần Quốc Anh): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng a b c 1 3 3 b 16 c 16 a 16 6 3 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Lời giải Nhìn hình thức vế trái ta nghĩ ngay đến kĩ thuật AM-GM ngược dấu Ta có a 1 16a 1 a(b3 16) ab3 1 ab3 3 a 3 3 3 3 3 16 b 16 16 b 16 16... thức bậc hai theo a hoặc b Ta viết lại bất đẳng thức này như sau: f (a) (b2 2)a 2 3(b 1)a 2b2 3b 4 0 Ta có f (a ) là một tam thức bậc hai với hệ số của a 2 luôn dương và có biệt thức Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn a 9(b 1) 4(b 2)(2b 3b 4) 2 2 2 (b 1)2 (8b2 4b 23) 0 Do đó, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có f (a ) 0 Bài toán được chứng minh . NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn MỤC LỤC PHẦN I: HAI. được 22 (1 )(1 )x x y y về một biểu Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức phụ thuộc vào xy thì khả năng thành công khi dùng phương pháp tam thức bậc hai sẽ cao hơn, bởi khi đó cả. XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295 $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295 $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301 I. Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức
Ngày đăng: 15/05/2015, 07:34
Xem thêm: Trích đoạn công phá BDT