Đang tải... (xem toàn văn)
cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 1 Cung cấp bởicbook.vn ách Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 2 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Phương trình và hệ phương trình” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 3 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................................... 2 MỤC LỤC................................................................................................................................ 3 PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA ............................................................ 5 VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ................................................................... 5 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. ......................................................... 5 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ.................................................................................. 9 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ .................................................................................. 20 IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ....................................................................................... 22 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ..................................................................... 23 VI. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT. ................................................................................. 27 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI.................................. 30 a R A( )x a I)Dạng 1: a (1) (Trong đó ). ................................................................. 31 A( )x B x( ) II) Dạng 2: . .................................................................................................. 31 A B III) Dạng 3: (x) (x) ............................................................................................. 33 0 IV)Dạng 4 : A B( ) ( )x x ....................................................................................... 34 VI) Dạng 5: A B C( ) ( ) ( )x x x ................................................................................... 35 VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT ............................................ 37 KIẾN THỨC CƠ BẢN. ................................................................................................ 37 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT............................................................................ 39 PHẦN B: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA ................................................... 64 VẤN ĐỀ 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.............................. 64 Phương pháp 1: Phương pháp thế. ................................................................................... 64 Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số. ...................................................................... 66 Phương pháp 3: Phương pháp biến đổi thành tích. .......................................................... 71 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 4 Cung cấp bởicbook.vn Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ. ....................................................................... 74 Phương pháp 5: Phương pháp hàm số.............................................................................. 80 Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức. .................................................... 85 VẤN ĐỀ 2: CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ............. 87 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1. ....................................................................... 87 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2. ....................................................................... 95 Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp. ............................................................................... 100 Dạng 4: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực. ........................... 103 VẤN ĐỀ 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT ................................... 112 DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............................................ 112 MŨ VÀ LOGARÍT MẪU MỰC ................................................................................... 112 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............................................ 116 MŨ VÀ LOGARÍT KHÔNG MẪU MỰC VÀ CHỨA THAM SỐ ............................. 116 PHẦN C: TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ............................................................................................................................................... 119 KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 219 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 5 Cung cấp bởicbook.vn PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp A B C D Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau 3 3 3 3A B C A B A B A B C 3 33 . A B ABC C 3 3 A B C 3 . .3 và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình : b) Ví dụ x x x x 3 3 1 2 2 2 Bài 1. Giải phương trình sau : x 0 Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta 1 3 3 1 2 2 1 x x x x x đư ợc: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3x x x x 6 8 2 4 12 1x x x x x2 2 Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa f x g x h x k x Nhận xét : Nếu phương trình : f x h x g x k x Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : f x h x k x g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : 3 1 2 1 1 3 3 x x x x x x Giải: x 1 Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 6 Cung cấp bởicbook.vn Ta có nhận xét : 3 1 2 . 3 1. 1 3 x x x x x x , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : 3 1 2 (2) 3 1 1 3 x x x x x x Bình phương 2 vế ta được: 3 1 2 2 1 3 1 2 2 0 3 1 3 x x x x x x x x x x 1 3, 1 3 Thử lại : l nghiệm f x g x h x k x Qua l ời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x h x k x g x f x h x k x g x . . Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung a) Phương pháp x0 Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn A x x x A x 0 0 0 đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng A x 0 minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể A x 0 đánh gía vô nghiệm b) Ví dụ 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x2 2 2 2 Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x2 2 Ta nhận thấy : v x x x x2 2 2 3 4 3 2 Ta có thể trục căn thức 2 vế : 2 2 2 2 2 4 3 6 3 5 1 3 1 2 3 4 x x x x x x x x x Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . x x x2 2 12 5 3 5 Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 304 đề nghị) : 2 212 5 3 5 0 5 Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 3 x x x x Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng x A x 2 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbookgmail.com 7 Cung cấp bởicbook.vn 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 5 3 0, 12 4 5 3 3 x x x x x 3 x x x2 3 1 1 Bài 3. Giải phương trình : x 3 2 Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình 3 2 3 2 2 3 2 23 3 3 3 3 9 1 2 3 2 5 3 1 1 2 1 4 2 5 x x x x x x x x x x x Ta chứng minh : 3 2 2 2 2 3 3 2 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x 2 3 3 9 2 5 x x x Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp A B C A B C Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : x ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : A B C A B A B A B C 2 A C , khi đĩ ta có hệ: A B b) Ví dụ 2 9 2 1 4x x x x x2 2 Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: 2 9 2 1 2 4x x x x x2 2
cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. ách Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 1 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần Phương trình và hệ phương trình” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 2 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 2 MỤC LỤC 3 PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA 5 VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 5 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 5 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 9 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 20 IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 22 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 23 VI. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT 27 VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI 30 I)Dạng 1: a (1) (Trong đó ) 31 II) Dạng 2: 31 III) Dạng 3: 33 IV)Dạng 4 : 34 VI) Dạng 5: 35 VẤN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT 37 * KIẾN THỨC CƠ BẢN 37 * PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 38 PHẦN B: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA 55 VẤN ĐỀ 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 55 Phương pháp 1: Phương pháp thế 55 Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số 57 Phương pháp 3: Phương pháp biến đổi thành tích 63 Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ 66 Phương pháp 5: Phương pháp hàm số 72 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 3 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 77 VẤN ĐỀ 2: CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 78 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 78 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 86 Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp 92 Dạng 4: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 94 VẤN ĐỀ 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT 103 DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 103 MŨ VÀ LOGARÍT MẪU MỰC 103 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 108 MŨ VÀ LOGARÍT KHÔNG MẪU MỰC VÀ CHỨA THAM SỐ 108 PHẦN C: TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 110 thay vào (4) ta có: 169 thay vào (4) ta có: 212 KẾT LUẬN 213 Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 4 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D+ = + , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau ( ) 3 3 3 3 3 3 3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + = và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C+ = ta được phương trình : 3 3 . .A B A B C C+ + = b) Ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + Giải: Đk 0x ≥ Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + + , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − + Bình phương hai vế ta có : 2 2 6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ = Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x g x k x+ = + , thì ta biến đổi phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + Giải: Điều kiện : 1x ≥ − Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : 3 2 1 . 3 1. 1 3 x x x x x x + + = − + + + , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 5 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. 3 2 1 (2) 3 1 1 3 x x x x x x + ⇔ − + = − + − + + Bình phương 2 vế ta được: 3 2 2 1 3 1 1 2 2 0 3 1 3 x x x x x x x x = − + = − − ⇔ − − = ⇔ + = + Thử lại : 1 3, 1 3x x= − = + l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) . .f x h x k x g x= thì ta biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0 x như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ( ) ( ) 0 0x x A x− = ta có thể giải phương trình ( ) 0A x = hoặc chứng minh ( ) 0A x = vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía ( ) 0A x = vô nghiệm b) Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + Giải: Ta nhận thấy : ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − − v ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2x x x x− − − + = − Ta có thể trục căn thức 2 vế : ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − = − + − + − + + − + Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2 12 5 3 5x x x+ + = + + Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥ Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng ( ) ( ) 2 0x A x− = , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 6 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x − − + − = − + + − ⇔ = − + + + + + + + ⇔ − − − = ⇔ = ÷ + + + + Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3 x x x x x + + − − < ∀ > + + + + Bài 3. Giải phương trình : 2 33 1 1x x x− + = − Giải :Đk 3 2x ≥ Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1 2 5 1 2 1 4 x x x x x x x x x x x − + + + − − + − = − − ⇔ − + = − + − + − + Ta chứng minh : ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < − + − + − + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < − + Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C+ = , mà : A B C α − = ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau : A B C A B A B α − = ⇒ − = − , khi đĩ ta có hệ: 2 A B C A C A B α α + = ⇒ = + − = b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : 2 2 2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + Giải: Ta thấy : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = + 4x = − không phải là nghiệm Xét 4x ≠ − Trục căn thức ta có : 2 2 2 2 2 8 4 2 9 2 1 2 2 9 2 1 x x x x x x x x x x + = + ⇒ + + − − + = + + − − + Vậy ta có hệ: 2 2 2 2 2 0 2 9 2 1 2 2 2 9 6 8 2 9 2 1 4 7 x x x x x x x x x x x x x x = + + − − + = ⇒ + + = + ⇔ = + + + − + = + Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 7 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= 8 7 Bài 5. Giải phương trình : 2 2 2 1 1 3x x x x x+ + + − + = Ta thấy : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = + , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt 1 t x = thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : 1) ( ) 2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + 2) 4 3 10 3 2x x− − = − (HSG Toàn Quốc 2002) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − 4) 23 4 1 2 3x x x+ = − + − 5) 2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 6) 2 3 2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 7) 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 8) 2 2 2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 9) 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − = 2 2 A B= Bài 1. Giải phương trình : 23 3 3 1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + Giải: ( ) ( ) 3 3 0 1 1 2 1 0 1 x pt x x x = ⇔ + − + − = ⇔ = − Bi 2. Giải phương trình : 2 23 3 3 3 1x x x x x+ + = + + Giải: + 0x = , không phải là nghiệm + 0x ≠ , ta chia hai vế cho x: ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x x x x x x + + + = + + ⇔ − − = ⇔ = ÷ Bài 3. Giải phương trình: 2 3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + Giải: : 1dk x ≥ − Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 8 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. pt ( ) ( ) 1 3 2 1 1 0 0 x x x x x = ⇔ + − + − = ⇔ = Bài 4. Giải phương trình : 4 3 4 3 x x x x + + = + Giải: Đk: 0x ≥ Chia cả hai vế cho 3x + : 2 4 4 4 1 2 1 0 1 3 3 3 x x x x x x x + = ⇔ − = ⇔ = ÷ + + + Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : k k A B= Bài 1. Giải phương trình : 3 3x x x− = + Giải: Đk: 0 3x≤ ≤ khi đó pt đ cho tương đương : 3 2 3 3 0x x x+ + − = 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x − ⇔ + = ⇔ = ÷ Bài 2. Giải phương trình sau : 2 2 3 9 4x x x+ = − − Giải: Đk: 3x ≥ − phương trình tương đương : ( ) 2 2 1 3 1 3 1 3 9 5 97 3 1 3 18 x x x x x x x x = + + = + + = ⇔ ⇔ − − = + + = − Bài 3. Giải phương trình sau : ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + + Giải : pttt ( ) 3 3 3 2 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt ( ) t f x= và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn ( ) t f x= thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 9 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_Ôn thi Quốc Gia. Điều kiện: 1x ≥ Nhận xét. 2 2 1. 1 1x x x x− − + − = Đặt 2 1t x x= − − thì phương trình có dạng: 1 2 1t t t + = ⇔ = Thay vào tìm được 1x = Bài 2. Giải phương trình: 2 2 6 1 4 5x x x− − = + Giải Điều kiện: 4 5 x ≥ − Đặt 4 5( 0)t x t= + ≥ thì 2 5 4 t x − = . Thay vào ta có phương trình sau: 4 2 2 4 2 10 25 6 2. ( 5) 1 22 8 27 0 16 4 t t t t t t t − + − − − = ⇔ − − + = 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0t t t t⇔ + − − − = Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,4 1 2 2; 1 2 3t t= − ± = ± Do 0t ≥ nên chỉ nhận các gái trị 1 3 1 2 2, 1 2 3t t= − + = + Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 2 3 vaø x x= − = + Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2 2 6 1 0x x− − ≥ Ta được: 2 2 2 ( 3) ( 1) 0x x x− − − = , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : 2 3 4 5y x− = + và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6x x+ + − = Điều kiện: 1 6x≤ ≤ Đặt 1( 0)y x y= − ≥ thì phương trình trở thnh: 2 4 2 5 5 10 20 0y y y y y+ + = ⇔ − − + = ( với 5)y ≤ 2 2 ( 4)( 5) 0y y y y⇔ + − − − = 1 21 1 17 , 2 2 (loaïi)y y + − + ⇔ = = Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17 2 x − = Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : ( ) ( ) 2 2004 1 1x x x= + − − Giải: đk 0 1x ≤ ≤ Đặt 1y x= − pttt ( ) ( ) 2 2 2 1 1002 0 1 0y y y y x⇔ − + − = ⇔ = ⇔ = Liên hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 10 [...]... tinh chõt cua gia tri tuyờt ụi: A(x) neỏu A(x) < 0 A B < A B ; A B = A.B ; A A = B B A + B = A + B A.B 0; + Phõn biờt c s khac nhau gia phep biờn ụi tng ng va phep biờn ụi ờ a vờ phng trinh hờ qua Bờn canh nhng yờu cõu trờn, tụi a chi cho hoc sinh nhõn biờt c nhng dang c ban cua phng trinh co cha dõu gia tri tuyờt ụi c trinh bay trong sach giao khoa toan 10, ụng thi a ra phng phap giai cu thờ... toan 10 c ban thi ta phai thờm mụt bc th nghiờm) Cach 2: 2x + 1 0 x 3 = 2x + 1 x 3 = 2x +1 2x + 1 0 x 3 = (2x + 1) Liờn h b mụn: bmtoan.cbook@gmail.com 32 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia 1 x 2 2x 1 x = 4 2 x 4 = 0 1x=3 x 2x 1 2 3x 2 = 0 x = 2 3 2 3 + Hai cach giai co cung kờt qua nghiờm nhng cach giai th nhõt ta chi giai mụt hờ con... Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia ờ giai Vi du 5: Giai cac phng trinh sau: a) x 5 + x + 3 = 3x 1 b) x 3 + x 11 = 8 Gii: a) x 5 + x + 3 = 3x 1 (1) (5 x) + (3 x) = 3x 1 -5x = - 3 x= 3 (khụng thuục khoang ang xet nờn ta loai) 5 + Nờu 3 x < 5 thi x 5 = 5 x va x 3 = x 3 phng trinh (1) tr thanh: (5 x) + (x 3) = 3x 1 Cung cp bi cbook.vn + Nờu x < -3 thi x 5 = 5 x va x 3 = 3 x... 1 = x 2 = 0(*) nờn khụng co gia tri nao cua x thoa man (*) nờn phng trinh 2x 1 + x 2 = 0 vụ nghim * Ngoai viờc phõn biờt cho hoc sinh cac dang toan c ban tụi con a ra cho hoc sinh dang bai toan cõn võn dung s linh hoat va sang tao khi giai VI) Dng 5: A( x) + B( x) = C( x) * Phng phỏp gii: + Xet dõu cac biờu trong dõu gia tri tuyờt ụi, phõn khoang bo gia tri tuyờt ụi ờ giai + Ngoai ra mụt sụ trng hp... cac em so sanh c cach giai nao sang tao, ngn hn va hay hn Liờn h b mụn: bmtoan.cbook@gmail.com 30 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia I)Dng 1: A( x ) = a a (1) (Trong ú a R ) * Phng phỏp gii: Nu a < 0 phng trinh (1) vụ nghim - Nu a 0 phng trinh (1) A( x ) = a A( x ) = a (2) Nh vy nghim ca phng trinh (2) chớnh l nghim ca phng trinh (1) 2 2 (Ta co thờ giai theo cach binh... H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia a = 2 x 2 1 b = x 2 3x 2 Gii Ta t : , khi ú ta cú : c = 2 x 2 + 2 x + 3 2 d = x x + 2 Bi 3 Gii cỏc phng trỡnh sau a + b = c + d x = 2 2 2 2 2 a b = c d 1) 4 x2 + 5x + 1 2 x2 x + 1 = 9 x 3 2) x + 4 x ( 1 x ) + 4 ( 1 x ) = 1 x + 4 x3 + 4 x 2 ( 1 x ) 5 t n ph a v h: 5.1 t n ph a v h thụng thng t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x... 2 4 x + 5 co hai nghiờm x = 0 va x = 6 +Nờu ta s dung cach 1 la binh phng hai vờ ta se phai giai mụt phng trinh bõc 4 rõt phc tap III) Dng 3: A(x) = B(x) * Phng phỏp gii: Cach 1: A =B A2 = B 2 ( x) ( x) ( x) ( x) Liờn h b mụn: bmtoan.cbook@gmail.com 33 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia =B A ( x) ( x) A =B Cach 2: ( x) ( x) A = B ( x) ( x) Vớ d 3: Gii cỏc phng trỡnh sau:... 2 2 Võy phng trinh x + 6 x + 9 = 4 x 4 x + 1 cú hai nghim: x = 2 va x = 4 3 + Nờu ta giai phng trinh trờn theo cach binh phng hai vờ ta se thu c phng trinh bõc 4 phc tap hn IV)Dng 4 : A( x) + B( x) = 0 * Phng phỏp gii: Liờn h b mụn: bmtoan.cbook@gmail.com 34 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia =0 A ( x) A +B =0 ( x) ( x) B( x) = 0 Vớ d 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: 2 2 a) x... 2x + 5 + x 1 = 2 9) 11) x 2 + 4 x = x 2 6 x + 11 (11) Cung cp bi cbook.vn 2 x 2 + 10 x = x 2 12 x + 52 29 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia VN 2: GII PHNG TRèNH CHA TR TUYT I gii tt phng trỡnh co cha dõu gia tri tuyờt ụi tụi yờu cu hc sinh cn phi nm c nhng yờu cu c bn sau : x o A = x A = x A = x + Binh phng hai vờ cua phng trinh ta c phng trinh hờ qua + Nm c... 5 = 3 cú 1 nghim x = 8 3 va x = 2 3 b) x + 3 = 5 Vỡ v trỏi l biờu thc nm trong dõu gia tri tuyờt ụi do vy khụng õm, v phi bng (-5) nờn phng trỡnh x + 3 = 5 vụ nghim II) Dng 2: A( x ) = B( x) * Phng phỏp gii: Cach 1: Liờn h b mụn: bmtoan.cbook@gmail.com 31 cbook.vn Chuyờn Phng trỡnh v H phng trỡnh_ễn thi Quc Gia B( x) 0 A( x ) = B( x) 2 2 A ( x) = B ( x) Cach 2: Vớ d 2: Gii cỏc phng trỡnh . trình và Hệ phương trình_ Ôn thi Quốc Gia. PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC GIA VẤN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương. – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_ Ôn thi Quốc Gia. Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 77 VẤN ĐỀ 2: CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 78 Dạng 1: Hệ phương trình. hệ bộ môn: bmtoan.cbook@gmail.com Cung cấp bởi cbook.vn 2 cbook.vn – Chuyên đề Phương trình và Hệ phương trình_ Ôn thi Quốc Gia. MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 2 MỤC LỤC 3 PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI QUỐC