Đề thi giáo viên giỏi cấp trờng Năm học: 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài : 120 phút *** Bài 1 ( 2 điểm ) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2 - 2007x - 2008. b) Giải phơng trình : + = + x 4 x 3 x 2 x 1 2006 2007 2008 2009 . Bài 2 ( 2 điểm ) a) Chứng minh a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 với mọi a, b. b) Cho P = n 4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Bài 3 ( 2 điểm ) Chứng minh A = n 3 - 3n 2 - n + 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ. Bài 4 (3 điểm ) Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A (R>R). Vẽ dây AM của đờng tròn (O) và dây AN của đờng tròn (O) sao cho AM và AN vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bài 5 ( 1 điểm ) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức: N = a 2006 + b 2007 + c 2008 . Hết Trờng THCS thân nhân trung Đáp án và hớng dẫn chấm toán Chú ý: Dới đây chỉ là sơ lợc cách giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu giải cách khác mà đúng thì chấm điểm của từng phần tơng ứng. Bài ý Nội dung Điểm Bài 1 (2đ) a (1đ) x 2 - 2007x - 2008 = x 2 + x - 2008x - 2008 =x(x + 1) - 2008(x + 1) = (x + 1)(x - 2008) 0,5đ 0,5đ b (1đ) + = + x 4 x 3 x 2 x 1 2006 2007 2008 2009 + = + x 4 x 3 x 2 x 1 1 1 1 1 2006 2007 2008 2009 + = + x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2006 2007 2008 2009 + = ữ 1 1 1 1 (x 2010) 0 2006 2007 2008 2009 x - 2010 = 0 ( vì + 1 1 1 1 0) 2006 2007 2008 2009 x = 2010 . Vậy phơng trình có nghiệm x = 2010. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 2 (2đ) Bài 3 a (1đ) a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 a 4 + b 4 - a 3 b - ab 3 0 a 4 - a 3 b + b 4 - ab 3 0 a 3 (a - b) + b 3 (b - a) 0 (a 3 - b 3 )(a - b) 0 (a - b) 2 (a 2 + ab +b 2 ) 0. (1) Vì (a - b) 2 0 và a 2 + ab +b 2 = 2 2 3 0 2 4 b a b + + ữ . Suy ra (1) đúng. Vậy a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 . 0,5đ 0,25đ 0,25đ b (1đ) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2 = (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n+1) 2 + 1]. Vì n là số tự nhiên nên (n+1) 2 + 1 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1. Khi đó P = 5 là số nguyên tố. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (2đ) A = n 3 - 3n 2 - n + 3 =n 2 (n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n - 1)(n +1) 0,25 Thay n = 2k + 1 ( k là số nguyên) ta đợc : A = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k +1) 0,25 Ta thấy (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Vậy A chia hết cho 48 0, 5đ 0, 5đ 0, 5đ 0,5đ Bài 4 (3đ) a 1,5đ Chứng minh OM//ON Suy ra đợc ' ' 'O I O N R IO OM R = = Lí luận để chỉ ra I cố định 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b 1,5đ Kẻ OK vuông góc với AM OH vuông góc với AN. Suy ra góc OAK bằng góc AOH (kí hiệu là ) S AMN = 1 2 AM.AN=2AK.AH=RR.2sin .cos (0,5 đ) áp dụng BĐT 2ab a 2 +b 2 ta đợc: 2sin .cos sin 2 +cos 2 =1. Vậy S AMN RR (0,5 đ) Đẳng thức xảy ra <=> sin =cos <=> =45 0 <=> OM và ON vuông góc với OO. Vậy Max S AMN =RR <=> OM và ON vuông góc với OO. (0,5 đ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ H K A I N M O' O Bµi 5 (1®) (1®) a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1 Tõ a 2 + b 2 + c 2 = 1 => 1, 1, 1a b c≤ ≤ ≤ . Ta cã: a 2 + b 2 + c 2 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = 0 ⇔ a 2 (1 - a) + b 2 (1 - b) + c 2 (1 - c) = 0 (1). V× a ≤ 1 => 1 - a ≥ 0, do ®ã a 2 (1 - a) ≥ 0. T¬ng tù ta cã: b 2 (1 - b) ≥ 0, c 2 (1 - c) ≥ 0. Nªn (1) 2 2 2 (1 ) 0 (1 ) 0 (1 ) 0 a a b b c c  − =  ⇔ − =   − =  KÕt hîp víi ®Çu bµi a 2 + b 2 + c 2 = 1 ta ®îc a, b, c { } 0;1∈ trong ®ã cã hai sè b»ng 0 vµ mét sè b»ng 1. VËy N = a 2006 + b 2007 + c 2008 = 1. 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® HÕt . c 3 = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức: N = a 2006 + b 2007 + c 2008 . Hết Trờng THCS thân nhân trung Đáp án và hớng dẫn chấm toán Chú ý: Dới đây chỉ là sơ lợc cách giải và cách cho. Đề thi giáo viên giỏi cấp trờng Năm học: 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian làm bài : 120 phút *** Bài