Tiểu luận tốt nghiệp về nghiệm của đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TP.HỒ CHÍ MINHKHOA SƯ PHẠM LUẬN VĂN TỐT NGHIỆPĐề tài:NGHIỆM CỦA ĐA THỨCGiáo viên hướng dẫn:Th.S Nguyễn Hoàng XinhSinh viên thực tập:Phạm Nguyễn VũMã số SV: DC1301K067Lớp: Sư phạm Toán họcTp.Hồ Chí Minh, 052015MỤC LỤCMỤC LỤC2CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU31.1 Đặt vấn đề nghiên cứu.31.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.31.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.41.2 Mục tiêu nghiên cứu.41.2.1 Mục tiêu chung.41.1.2 Mục tiêu cụ thể.51.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu.51.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.51.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.51.4 Phạm vi nghiên cứu.51.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)51.4.2 Thời gian51.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.6CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN7VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC72.1) Ví dụ mở đầu.72.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.72.3) Nghiệm bội.82.4) Khai triển của một đa thức theo các nghiệm.92.5) Định lý Viète.92.6) Các ví dụ.92.7) Bài tập vận dụng.19CHƯƠNG 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ ỨNG DỤNG30NGHIỆM CỦA ĐA THỨC303.1) Định lí EISENSTEIN về tiêu chuẩn bất khả quy nghiệm của đa thức.303.1.1) Kiến thức cơ bản.303.1.2) Ví dụ mẫu.313.1.3) Bài tập vận dụng.333.2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức 2 biến bậc 2.373.2.1) Kiến thức căn bản.373.2.2) Ví dụ mẫu.403.2.3) Bài tập vận dụng.413.3) Ứng dụng của nghiệm của đa thức vào việc giải phương trình.433.4) Các bài toán khác.473.4.1) Đa thức với hệ số nguyên.473.4.2) Công thức nội suy Lagrange về nghiệm của đa thức.473.5) Ứng dụng của công thức nội suy Langrange về nghiệm của đa thức.503.5.1) Kiến thức căn bản.503.5.2) Bài tập ví dụ mẫu.50TÀI LIỆU THAM KHẢO52KẾT LUẬN53CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. 1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu.Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng to lớn và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao.Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà nước, giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học Toán học. Vậy dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri thức cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức và nâng cao tư duy về giải toán.Chương trình Toán cấp THCS và cấp THPT, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc về phép tính vv... Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải nằm được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó.Song một yêu cầu cần đạt và vô cùng quan trọng nữa về môn Toán đối với người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán”. Đây là một nội dung khó. Để đạt được điều này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy để giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo từ đó có được kỹ năng giải Toán.Trong chương trình toán cấp THCS và THPT có nhiều kiến thức, kỹ năng ở từng khối. Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải. Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập dạng này phần lớn các học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải. Chính vì vậy tôi thấy sự cần thiết nghiên cứu đề tài “Nghiệm của đa thức” để tìm ra những phương pháp giải đặc trưng nhằm đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài tập Toán”1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn.Chúng ta đã biết rằng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau”. Dạy nhồi nhét, học thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được. Đặc biệt là đối với môn Toán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài. Trong khi đó, từ một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một khuôn mẫu nào cả. Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề toán. Từ đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của chúng ta.Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy, phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề một cách nhanh chóng. Từ đó mà học sinh vừa lĩnh hội được đầy đủ những yêu cầu của chương trình hiện hành, vừa thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được tư duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học.Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là “Giải 1 bài toán bằng 10 phương pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phương pháp”.1.2 Mục tiêu nghiên cứu. 1.2.1 Mục tiêu chung. Nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy hiện nay.Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn. 1.1.2 Mục tiêu cụ thể.Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Các kỹ năng, kiến thức cơ sở về quy tắc tính toán, giá trị tuyệt đối của một biểu thức và giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Nghiệm của đa thức”Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán.1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. 1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định.Giả thiếtH01: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau.H02: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh cũng là như nhau. 1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu.1.Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp THCS và THPT chưa?2.Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này?3.Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh?4.Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào? Tại sao nghĩ thế?1.4 Phạm vi nghiên cứu. 1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Quốc Gia Tp.HCMPhạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Quốc Gia Tp.HCM 1.4.2 Thời gian Được thực hiện vào thánh 0520151.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và chuyên đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau:1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG – Phan Huy Khải.2 Nâng cao và phát triển toán 7 – Vũ Hữu Bình.3 Giúp em học giỏi Toán 7 – Nguyễn Đức Tấn.4 Toán cơ bản và nâng cao – Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Đức Hòa, Phan Hoàng Ngân, Nguyễn Hoàng Vũ, Đỗ Quang Thanh và Nguyễn Anh Hoàng.5 Phương trình hàm đa thức – Trần Nam Dũng.6 Tủ sách THTT – Các bài toán thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 – 20016) .7 Đề kiểm tra định kỳ Toán 7 – Nguyễn Văn Chi.8 Kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ – Nhà xuất bản Giáo Dục.CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨCNghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.2.1) Ví dụ mở đầu.Xét xem số là hữu tỷ hay vô tỷ.Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:1) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ2) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ3) vô tỷNhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:1) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận  làm nghiệm2) Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷViệc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận  làm nghiệm được tiến hành như sau Vấn đề còn lại là chứng minh () không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài.2.2) Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.Định nghĩa. Số thực a (trong một số trường hợp, ta xét cả các số phức) được gọi là nghiệm của đa thức P(x) = anxn + an1xn1 + …+ a1x + a0 nếu P(a) = 0, tức là anan + an1an1 + …+ a1a + a0 = 0.Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức:Định lý 1. a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x – a.Định lý này là hệ quả của định lý sau:Định lý 2. Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x – a là P(a).Cả định lý 1 và định lý 2 đều được gọi là định lý Bezout. Để chứng minh định lý 2, ta chỉ cần chứng minh P(x) – P(a) chia hết cho x – a. Nhưng điều này là hiển nhiên vìP(x) – P(a) = an(xnan) + an1(xn1an1) + … + a1(xa) và xk – ak = (xa)(xk1 + xk2a + …+ ak1)Từ định lý 1, ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau: a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x) = (xa)Q(x) với Q(x) là một đa thức nào đó. Với định nghĩa này, ta có thể phát triển thành định nghĩa về nghiệm bội.Định nghĩa:a được gọi là nghiệm bội r của đa thức P(x) nếu P(x) = (xa)rQ(x) với Q(a)  0.2.3) Nghiệm bội.1.Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên Px được gọi là bất khả qui trên Px, nếu nó không thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc r 0 và bé hơn n , của PxMỗi đa thức bậc m > 0 của Px đều có thể phân tích được thành tích của những đa thức bất khả qui trên P x và sự phân tích đó là duy nhất , nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và không kể đến các nhân tử bậc 0Trên x , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui .Trên x, chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả qui .2.a Giả sử f(x) x và a .Ta nói f(x) nhận làm nghiệm nếu f( ) = 0, khi đó f(x) chia hết cho xa hay nhận xa làm một nhân tử . b Giả sử f(x) x và a và k x, k . Ta nói là nghiệm bội của đa thức f(x) nếu tồn tại g(x) x, g( ) 0 sao cho với .( tức là f(x) chia hết cho nhưng không chia hết cho )Nếu k=1 thì ta nói là nghiệm đơn.Nếu k≥2 thì ta nói là nghiệm bội.