Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề: SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f (x ) = 0 I. Áp dụng Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0,thì tồn tại ít nhất một điểm c sao cho f(c) = 0. Hay nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). II. Phương pháp: Để chứng minh f(x) = 0 có nghệm trong khoảng (a;b) ta thực hiện 2 bước sau: + Khẳng định được f(x) liên tục trên đoạn + Chứng tỏ f(a).f(b) < 0 III. Bài tập: 1)Chứng minh các phương trình sau có nghiệm. a b (1) c Giải: a Đặt f(x) = Chọn a = 0 ; b = 1 Ta có f(0).f(1) = 1 < 0 Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên . Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm Vậy pt có nghiệm.(đpcm). b Đặt f(x) = (1) VT(1) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R. Nếu a0 > 0 xét nên tồn tại x1 < 0 với đủ lớn để ta có f(x1) < 0 xét nên tồn tại x2 > 0 với đủ lớn để ta có f(x2) > 0 Khi đó f(x1). f(x2) < 0 .Do f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm Nếu a0 < 0 ta làm tương tự Vậy pt
Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế Chuyên đề: SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH f (x ) = 0 I. Áp dụng Định lí: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0,thì tồn tại ít nhất một điểm c ( ; )a b∈ sao cho f(c) = 0. Hay nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). II. Phương pháp: Để chứng minh f(x) = 0 có nghệm trong khoảng (a;b) ta thực hiện 2 bước sau: + Khẳng định được f(x) liên tục trên đoạn [ ] ;a b + Chứng tỏ f(a).f(b) < 0 III. Bài tập: 1)Chứng minh các phương trình sau có nghiệm. a/ 4 3 1 0x x− + = b/ 2 1 2 2 1 0( 0) 0 1 2 2 2 1 0 n n n a x a x a x a x a a n n + − + + + + + = ≠ + (1) c/ 4 2011 5 ( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀ Giải: a/ Đặt f(x) = 4 3 1x x− + Chọn a = 0 ; b = 1 Ta có f(0).f(1) = -1 < 0 Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên 0;1 . Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm (0;1) 0 x ∈ Vậy pt 4 3 1 0x x− + = có nghiệm.(đpcm). b/ Đặt f(x) = 2 1 2 2 1 0( 0) 0 1 2 2 2 1 0 n n n a x a x a x a x a a n n + − + + + + + = ≠ + (1) VT(1) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R. Nếu a 0 > 0 xét l imf(x) x = −∞ →−∞ nên tồn tại x 1 < 0 với 1 x đủ lớn để ta có f(x 1 ) < 0 xét l imf(x) x = +∞ →+∞ nên tồn tại x 2 > 0 với 2 x đủ lớn để ta có f(x 2 ) > 0 Khi đó f(x 1 ). f(x 2 ) < 0 .Do f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên ; 1 2 x x Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm ( ; ) 0 1 2 x x x∈ Nếu a 0 < 0 ta làm tương tự Giáo viên :Hồ Thị Nga 1 Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế Vậy pt 2 1 2 2 1 0( 0) 0 1 2 2 2 1 0 n n n a x a x a x a x a a n n + − + + + + + = ≠ + có nghiệm.(đpcm). c/ 4 2011 5 ( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀ Đặt f(x) = 4 2011 5 ( 1) 100 3200 0;m m x x m+ + + − = ∀ Chọn a = 0 ; b = 2 Ta có f(0) = 3200 f(2) = 4 2011 ( 1)2m m+ + Ta chứng minh f(2) > 0 với mọi m Thật vậy với m 0≥ thì f(2) > 0 Với 3 2 1 ( ) ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 0m f m m m m m m m≤ − ⇒ = + + = + − + + > Với 4 1 0 ( ) ( 1) 0m f m m m− < < ⇒ = + + > Vậy f(2) > 0 với mọi m nên f(0).f( 2) < 0 và f(x) = 4 2011 5 ( 1) 100 3200m m x x+ + + − là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó liên tục trên [ ] 0;2 . Do đó pt luôn có nghiệm với mọi m ( đpcm). 2)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm. 3 2 4 ( 1) ( 4) 3 0;m x x x m− − + − = ∀ Giải: Đặt f(x) = 3 2 4 ( 1) ( 4) 3m x x x− − + − Chọn a = 1; b = 2 Ta có f(1) = - 2; f(2) = 13 Ta có f(1).f(2) = -26 < 0 Và f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R => liên tục trên [ ] 1;2 . Do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm (1;2) 0 x ∈ Vậy pt 3 2 4 ( 1) ( 4) 3 0;m x x x− − + − = có nghiệm m∀ .(đpcm). 3)Chứng minh phương trình 3 2 6 1 0x x− + = có ba nghiệm 2;2 ∈ − Giải: Đặt f(x) = 3 2 6 1x x− + là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó liên tục trên [ ] 2;2− . Chọn a = -2 ; b = 0; c = 1, d = 2 Và f(-2) = -3; f(0) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 5 nên f(-2) . f(0) < 0 và f(0) . f(1) < 0 ; f(1). f(2) < 0 do đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm 1 ( 2;0)x ∈ − ; 2 (0;1)x ∈ ; 2 (1;2)x ∈ Giáo viên :Hồ Thị Nga 2 Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế Vậy pt 3 2 6 1 0x x− + = có ba nghiệm.(đpcm). 4)Cho phương trình 4 2 0x x− − = .Chứng minh pt có nghiệm ( ) 7 1;2 8 0 0 x va x∈ > Giải: Đặt f(x) = 4 2x x− − là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R. Ta có f(1).f(2) = - 24 < 0 Và f(x) là hàm đa thức liên tục trên R do đó liên tục trên [ ] 1;2 . nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm (1;2) 0 x ∈ Chứng minh: 7 8 0 x > Vì (1;2) 0 x ∈ và x 0 là nghiệm của f(x) = 0 nên 0 0 0 0 4 4 4 8 7 2 0 2 2 .2 8 8 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x= +− − = ⇔ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Dấu = xảy ra khi x 0 = 2 ; 2 (1;2)∉ nên 7 8 0 x > Vậy phương trình 4 2 0x x− − = có nghiệm ( ) 7 1;2 8 0 0 x va x∈ > 5)Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm 0;1 ∈ 3 4 9 x x x + = Giải: b/ Đặt f(x) = 3 4 9 x x x −+ là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R do đó liên tục trên [ ] 0;1 . Ta có: f(0) = 1 , f(1) = -2 nên f(0) . f(1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm 0;1 ∈ (đpcm) IV. Bài tập tự luyện: 1) Chứng minh các phương trình sau có nghiệm. a/ 3 2 6 9 10 0x x x− + + = b/ - x + sinx + 1 = 0 c/ cos x + m.cos2x = 0 , m∀ d/ 3 ( 1) ( 2) 2 3 0;m x x x m− + + + = ∀ e/ 2 3 2 (1 )( 1) 3 0;m x x x m− + + − − = ∀ f/ (2 cos 2) 2sin 5 1;m x x m− = + ∀ Giáo viên :Hồ Thị Nga 3 Trường THPT Bùi Thị Xuân- Thừa Thiên Huế 2) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm. a/ 4 3 2 3 4 6 12 20 0x x x x− − + − = b/ 3 2 10 7 0x x− − = d/ 4 3 2 1 0; , ,x ax bx cx a b c+ + + − = ∀ 3) Chứng minh phương trình a/ 3 2 6 1 0x x− + = có ba nghiệm 2;2 ∈ − b/ 3 3 1 0x x− + = Có 3 nghiệm phân biệt. c/ 5 4 3 5 2 0x x x− + − = có ít nhất 3 nghiệm ( ) 2;5∈ − 4) Chứng minh các phương trình sau đây có nghiệm dương. a/ 2 5 3 ( 1) 27 0;m m x x m+ + + − = ∀ b/ 2 4 ( 1) 2 2 0;m m x x m+ + + − = ∀ c/ 3 6 1 2 0x x+ + − = 5) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm. a/ 3 3 2 2 0x x+ − = b/ 2 2 2 ( )( ) 2 0x a x b x a b− − + − − = với 0 < a < b 6) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. a/ 3 1 0x x+ + = 7) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm dương bé hơn ; 2 m π ∀ 2 (2cos 1) 2sin 1m x x− = − 8) Chứng minh phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm âm 2 2013 (2 ) 5 2 0;m x x m− − − = ∀ 9) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm 0;1 ∈ 3 5 3 0x x+ − = 10) Chứng minh các phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc ( 1;1)− a/ 4 2 2 4 3 0x x x+ + − = b/ 4 2 4 2 3 0x x x+ − − = Huế,ngày 20/02/2014 Hồ Thị Nga Giáo viên :Hồ Thị Nga 4